Частотний діапазон. Перетворення уолша та його застосування для обробки сигналів Система стільникового рухомого зв'язку CDMA
Довести, що коефіцієнти ряду Котельникова s(t), це значення сигналу в моменти часу t=nTбуд.
Довести, що функції відліків sinc( t-nTд) та sinc( t-mTд) ортогональні при n¹ m.
Визначте спектральну щільністьімпульсу, заданого аналітичним виразом s(t)=sinc( t-nTд).
Чому неможливе існування функції, що описує сигнал, обмежений у часі та обмежений частотний спектр?
9. Подання сигналів функціями Волша
У 1923 р. американським математиком Уолшем (Walsh J.L.) було введено та вивчено функції, що носять його ім'я. Дискретні сигнали з урахуванням функцій Уолша (ФУ) є повну систему ортогональних функцій типу прямокутної хвилі. Область застосування функцій Уолша, досить велика нині, постійно розширюється.
Функції Уолша графічно можуть бути зображені у різний спосіб. Однак на інтервалі свого визначення вони набувають лише двох значень: +1 і –1. З використанням ФУ зазвичай вводять безрозмірне час, отже.
На рис. 9.1 представлені перші 8 функцій Уолша (прямокутних хвиль) 
на інтервалі значень аргументу.
Рис. 9.1. Функції Уолша, упорядковані та пронумеровані відповідно до кількості змін знака на інтервалі .
Прийняте позначення wal k(q) пов'язане з написанням прізвища Walsh. Індекс kвказує на кількість змін знаків (кількість перетинів нульового рівня) функцією на інтервалі визначення. Тому половину значення kінакше називають частістю коливання wal k(q). Область існування ФУ характеризується розміром базису, де n=1,2,3,.… На рис. 9.1 розмір базису.
Функції Уолша ортонормовані на інтервалі:
Функції Уолша мають властивість мультиплікативності, тобто. перемноження двох ФУ дає іншу ФУ, причому
де операція позначає порозрядне підсумовування за модулем 2 за правилами:
1Å1=0; 0Å0=0; 1Å0=1; 0Å1=1.
Множення ФУ самої себе дає функцію нульового порядку , оскільки у результаті виходять лише твори види. Таким чином,
Розмноження будь-якої ФУ на функцію нульового порядку, тобто.
не змінює першу функцію. У цьому вся сенсі ФУ грає роль своєрідної «одиничної» функції.
Природно, що повна ортонормова система функцій Уолша дозволяє представляти будь-які сигнали рядами Уолша-Фур'є.
.
Процедура знаходження амплітуди кожної прямокутної гармоніки ряду Уолша-Фур'є дуже проста: при відомому сигналі s(t) для k-тої «гармоніки» коефіцієнт визначається за формулою
.
Приклад: розкласти в ряд Уолша-Фур'є функцію 
на інтервалі, обмежившись вісьмома членами розкладання (базис).
Переходячи до безрозмірного часу, слід позначити. Оскільки задана функція s(t) непарна щодо , а всі функції Уолша з парними індексами, включаючи нуль, парні рис. 9.1, то твори 
, де будуть непарними функціями і, отже, інтеграл від цих творів дорівнює нулю: з 0 = 2 = 4 = 6 = 0.
Тепер обчислимо коефіцієнти та:
Коефіцієнт дорівнює:
,
де зазначено , а 
.
Зробивши нескладні викладки можна отримати
Таким чином, розкладання синусоїдального коливання s(t) у базисі функцій Уолша з N=8 має дві ненульові спектральні складові з амплітудами та
.
Результат апроксимації сигналу 
усіченим рядом функцій Волша і спектр цього сигналу в базисі функцій Волша представлений на рис. 9.2, аі бвідповідно.
Рис. 9.2. Подання сигналу розкладанням по ортогональному базису функцій Волша
Середньоквадратична помилка подання сигналу усіченим рядом за функціями Волша становить
Зрозуміло, розкладання синусоїди в ряд Фур'є за тригонометричними функціями дає кращу точність. Стовідсоткова точність забезпечується поряд, що містить лише один член 
. Але розкладання прямокутної меандрової функції, такий як wal 1 (q), в ряд Фур'є
при утриманні всього двох членів ряду забезпечує набагато гіршу точність за середньоквадратичною помилкою, а саме, як випливає з . Природно, що спектр прямокутної функції за функціями Уолша міститиме лише одну складову і представлятиме нею вихідну функцію точно.
Цей приклад ілюструє той факт, що для кожного конкретного типу сигналів завжди є така базисна система, розкладання по якій дає максимально компактне уявлення цього сигналу при заданій точності (або максимально точне уявлення при заданій кількості членів розкладання).
Функції Уолша досить легко генеруються цифровими системами формування та обробки сигналу, виконаними на сучасної елементної базі.
Базова тригонометрична ф-я описується: - Номер гармоніки.
Інтервал ортогональності. При нормуванні за потужністю базова ф-ія:Ω=2π\T
;
;
;
;
, A i -амплітуда гармонік, Θ i -фаза
;
2. Розкладання сигналів і перешкод за функціями Волша.
Ф-ії Уолша складаються з ф-ій Радемахера
k = 1,2 ...; 
sgn-знакова функція.
Інтервал розбивається на 2 k інтервали ∆T. Вони ф-я Радемахера приймає значення “+1” і ”–1”. (Ф-я зберігає свою ортогональність.) wal 0 = 1 - функція-я Уолша "0" порядку 1.
Отримання ф-ії wal більш високих порядків (k = 1,2,3 ...):
1) Записують число kв двійковій системі
прямому коді. 
m-число розрядів коду необхідних для подання ф-ій Уолшаk-го порядку, γ i -ваговий коефіцієнт, що має значення 1 або 0 (залежно від того, враховується чи ні даний розряд при підсумовуванні).
2) Число kперекодують за правилом коду Грея., Код комбінації складають поmod2 з тією ж комбінацією зрушеної на 1 розряд праворуч. При цьому молодший розряд відкидають, отриманий код називають кодом Волша. 
3) Подання ф. Волша в ряд Родомахера: 
Це показує, що ф. Уолша виходить перемноженням ф-ії Родомахера у певній комбінації з коефіцієнтом b i . Для 4kф. Уолша будуємо:
для цієї системи характерні розташування ф-ій у порядку зростання
числа змінних знака на інтервалі. У цій системі парні
щодо середини інтервалу чергуються з непарними при цьому
число змін знака на інтервалі для парних ф-ій
змін знака m/2 та непарних (m+1)/2.
-Ф. Волша в ортогональній системі.
3. Геометричне уявлення сигналів та перешкод.
Математичний об'єкт A i є елементом множини А 1 .
ifнад об'єктомA i можна зробити лінійні операції, то безліч А 1 належить лінійному простору, а його елементиA i є точками цього простору.
Простір має будь-яку розмірність m.
Ifв такому просторі визначено відстань між точками A i і A j то простір - метричний, а відстань між початком координат і будь-якою точкою - норма, а простір нормований. Відповідно норму та відстань можна визначити. У лінійному нормованому просторі визначено норму як 
та відстань 
-простір називається Евклідовим.ifn→∞ - Гільбертове простір.A i - вектор, його довжина - норма.
Тоді коливанню U i (t) можна зіставити точку A i або вектор 
вn-мірному просторі розмірність якого дорівнює числу ступенів свободи коливанняu(t). Нехай коливанняu a (t) і b (t) розкладаються по ортогональній системі функцій φ i (t). 
,
Цим коливанням відповідатимуть вектори 
з координатами 
. Їхня довжина 
. Взявши до уваги умову ортогональності, а точніше ортонормальності. Довжина та норма збігаються. 
P a і P b -середня питома потужність коливання. Довжина вектора в n-мірному просторі визначається ефективним значенням відповідного коливання.
-характеризує ступінь близькості. Відстань можна розглядати як модуль різниці 
, Чим менше ця величина тим менше відмінності між коливаннями.
* - Середнє значення добутку коливань. 
**-ефективна взаємодія між коливаннямиu a іu b .взаємна потужність коливань-P ab .Ifвзяти в якості базисної ф-ії 
, то вирази * і ** співпадуть. ifu a іu b ортогональні =0.If U a =–U b тоді P ab = – P a = – P b . Сигнал та перешкоду можна подати як вектор. При геометричному поданні кодованих сигналів. Широкий-мірний простір в Неевклідовій метриці. Відстань у цьому просторі визначається за алгоритмом 
,n- число елементів комбінації даного коду, а x i і y i значення відповідних розрядів. Геометричною моделлюn-значного двійкового кодує n-вимірний куб з ребром = 1, кожна з вершин якого представляє одну з можливих комбінацій. 000,001,010,100,101,110,011,111 Відстань -. Кодований сигнал у виглядіn-мірного куба.
Базисні функції
Математичне подання
Спектр сигналу можна записати через перетворення Фур'є (можна без коефіцієнта 1 / 2 π (\displaystyle 1/(\sqrt (2\pi )))) у вигляді:
S (ω) = ∫ − ∞ + ∞ s (t) e − i ω t d t (\displaystyle S(\omega)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )s(t)e^ (-i\omega t)dt), де ω (\displaystyle \omega)- Кутова частота рівна 2 π f (\displaystyle 2\pi f).
Спектр сигналу є комплексною величиною і подається у вигляді: S (ω) = A (ω) e − i ϕ (ω) (\displaystyle S(\omega)=A(\omega)e^(-i\phi (\omega))), де A (ω) (\displaystyle A(\omega))- амплітудний спектр сигналу, ϕ (ω) (\displaystyle \phi (\omega))- Фазовий спектр сигналу.
Якщо під сигналом s(t) (\displaystyle s(t))розуміти
Винахід відноситься до галузі обробки інформації та може бути використане в аналізаторах мовних сигналів. Технічним результатом є забезпечення сумісного частотно-часового аналізу. Аналізатор містить генератор тактових імпульсів, генератор функцій Уолша, реверсивний лічильник, регістр, елемент, дільник частоти і послідовно з'єднані зсувний регістр і кільцевий зсувний регістр. 1 іл.
Винахід відноситься до галузі приладобудування і може бути використане для обчислення коефіцієнтів дискретного ортогонального перетворення Уолша над аналоговими сигналами різних пристроях автоматики, наприклад, в аналізаторах мовних сигналів, пристрої обробки зображень і т. п. Пристрої для обчислення коефіцієнтів перетворення Уолша відомі. Відомі пристрої здійснюють спектральне перетворення дискретних сигналів, заданих на кінцевих інтервалах визначення базисі ортогональних функцій Уолша-Адамара . Найбільш жорсткі вимоги до пристроїв для обчислення коефіцієнтів перетворення Уолша насамперед швидкодії пред'являються у разі їх застосування для спільного частотно-часового аналізу радіосигналів . На практиці ширше застосовуються цифрові аналізатори спектра за функціями Уолша. Вони найбільш універсальні та здатні забезпечити кращу точність представлення даних. Вхідний сигнал у таких пристроях повинен бути заданий на кінцевому інтервалі визначення та дискретизований як за амплітудою, так і за часом. Відношення бази розкладання, тобто інтервалу завдання сигналу до кроку дискретизації, дасть число N коефіцієнтів перетворення Уолша, що обчислюються. Загальним недоліком універсальних цифрових аналізаторів спектру Уолша є їхня відносно низька швидкодія. Значно підвищити швидкодію вдається шляхом застосування спеціалізованих пристроїв, орієнтованих виконання однієї чи кількох родинних завдань. В окремому випадку, коли аналогові сигнали мають вигляд однополярних телеграфних або фототелеграфних сигналів функції аналого-цифрового перетворювача та аналізатора спектра, можна поєднати і створити досить простий аналізатор спектру , який забезпечує високу точність перетворення даних при високій швидкодії, що визначається застосовуваною елементною базою. Найбільш близьким за технічною сутністю до пристрою є аналізатор спектру за функціями Уолша , який можна вибрати в якості прототипу. Прототип містить генератор функцій Уолша, кожен із виходів якого підключений до входу управління відповідного реверсивного лічильника. Загальна кількість реверсивних лічильників може бути довільним і визначається характером завдання, що вирішується пристроєм. У випадку число реверсивних лічильників дорівнює числу N базисної системи ортогональних функцій Уолша, що визначається як ціла ступінь числа два N=2 n . Вихід кожного реверсивного лічильника з'єднаний із входом відповідного регістру, що здійснює зберігання розрахованих даних. Інформаційний вхід кожного реверсивного лічильника підключений до виходу елемента, перший вхід якого служить входом пристрою, а другий приєднаний паралельно з синхронізуючим входом генератора функцій Уолша до виходу генератора тактових імпульсів. Залежно від знаку i-ї функціїВолша, що діє на i-му виходігенератора функцій Уолша, i-й реверсивний лічильник перерахує число імпульсів з виходу елемента І в режимі, що накопичує або віднімає. Сигнал на виході елемента І діє лише у разі наявності вхідного сигналу. Тому кожен реверсивний лічильник під час генерування повної системи ортогональних функцій підрахує у заданому коді число імпульсів, пропорційне відповідному коефіцієнту перетворення Волша. Недолік відомого пристрою полягає у неможливості здійснення з його допомогою спільного частотно-часового аналізу, коли необхідно для кожного дискретного відліку часу визначати всі коефіцієнти перетворення Уолша. Залежність цих коефіцієнтів іноді отримала назву " ковзного спектра " . Мета цього винаходу полягає у забезпеченні можливості одночасного обчислення всіх коефіцієнтів перетворення Уолша для кожного дискретного відліку часу та забезпечення тим самим можливості проведення спільного частотно-часового аналізу сигналів. Поставлена мета досягається тим, що у відомий пристрій додатково введені дільник частоти та з'єднані між собою зсувний регістр, кільцевий регістр зсуву, а також дільник. Вихід кільцевого зсувного регістру з'єднаний з входами реверсивних лічильників, при цьому його входи з'єднані з виходами генератора функцій Уолша і зсувного регістру, який, у свою чергу, з'єднаний з тактовим генератором імпульсів через дільник і з виходом елемента І безпосередньо. Вихід дільника також з'єднаний із входами реверсивних лічильників. Зсувний регістр накопичує пачки N імпульсів і під дією імпульсу з дільника частоти подає таку пачку на кільцевий зсувний регістр, з якого імпульси під дією імпульсу з генератора функцій Уолша надходять на відповідні реверсивні лічильники. Частота проходження імпульсів у пачці відповідає частоті тактових імпульсів, які більші за частоту зміни значень функцій Уолша в число разів, що дорівнює значенню дільника частоти. Структурна схема пропонованого пристрою представлена на кресленні. Пристрій містить послідовно з'єднані генератор тактових імпульсів 1, дільник частоти 2, елемент І 3, генератор функцій Уолша 4, регістр зсуву 5, кільцевий зсувний регістр 6, N реверсивних лічильників 7 і N регістрів 8. Входом пристрою служить елемент І 3, другий вхід якого з'єднаний з генератором тактових імпульсів через дільник частоти 2. Вихід дільника частоти з'єднаний також з керуючим входом зсувного регістра 5, з обнулюючим входом кожного i-го реверсивного лічильника 7 і з керуючим входом регістрів зберігання 8. Кожен реверсивний лічильник 7 призначений для підрахунку числа . У цьому кожен реверсивний лічильник вважає накопичення чи віднімання відповідно до знаком сигналу, що надходить з його вхід управління реверсом. Вихід кожного i-го реверсивного лічильника 7 з'єднаний з інформаційним входом відповідного i-го регістра 8. Генератор функцій Уолша 4 призначений для генерування повної системи ортогональних функцій Уолша розміру N, причому кожної генерованої функції відповідає окремий вихід генератора функцій Уолша 4, з'єднаний з входом реверса кожного i-го реверсивного лічильника 7. Генератор тактових 1 імпульсів призначений для генерування синхронізуючих імпульсів. Його вихід з'єднаний з входом дільника частоти 2, з керуючим входом генератора функцій Уолша 4 і керуючим входом кільцевого зсувного регістра 6. Інформаційний вхід кільцевого регістру зсуву 6 з'єднаний з виходом зсувного регістра 5, а його вихід підключений до інформаційного входу кожного реверсивного лічильник. частоти 2 призначений для поділу частоти імпульсної послідовності N разів. Працює пристрій в такий спосіб. Генератор тактових 1 імпульсів безперервно генерує послідовність імпульсів з деякою частотою f n . Ця імпульсна послідовність надходить одночасно на вхід дільника 2 частоти, кільцевий зсувний регістр 6 і генератор функцій Уолша 4. Коефіцієнт поділу частоти блоку 2 обраний рівним N, причому N >> 1. Імпульсна послідовність з виходу дільника частоти 2 з частотою f д = f n / N надходить на обнулюючий вхід кожного реверсивного лічильника 7 і перший вхід елемента І 3, керуючий вхід зсувного регістра 5 і керуючий вхід регістра 8. Входом пристрою є другий вхід елемента І 3, з виходу якого вхідний сигнал під дією керуючого імпульсу з дільника частоти 2 надходить на інформаційний вхід зсувного регістра 5 де формуються пачки імпульсів, які потім надходять на інформаційні входи кільцевого зсувного регістра 6. Кільцевий зсувний регістр послідовно подає імпульси на реверсивні лічильники 7 під дією керуючого імпульсу з виходу генератора тактових імпульсів 1. Одночасно на вхід управління реверсом реверсивного лічильника з номером i надходить напруга з i-го виходу генератора функцій Уолша 4. лічильника 7 діє напруга логічної "1", то лічильник працює на накопичення, тобто веде підсумовування числа імпульсів, що надходять на лічильний вхід. Якщо на вході управління реверсом діє логічний "0", то лічильник 7 працює на віднімання, тобто веде віднімання числа імпульсів, що надходять на рахунковий вхід. За час генерування повної системи функцій Волша в кожному i-му реверсивному лічильнику 7 буде накопичено в заданому коді число імпульсів, пропорційне i-й компонентіспектру Волша. У момент закінчення генерування системи функцій Уолша генератор виробляє на своєму синхронізуючому вході імпульс, який переписує показання кожного реверсивного лічильника 7 відповідний регістр 8. Таким чином, в кожному i-му регістрі 8 зберігатиметься цифровий код, пропорційний i-й компоненті спектра Уолша вхідного аналогового сигналу, Зафіксованого на даний момент часу в зсувному регістрі 5. Одночасно зі скиданням інформації з реверсивних лічильників 7 регістр 8 відбувається зчитування через елемент 3 чергового значення вхідного сигналу. Цикл розрахунку повної системи коефіцієнтів перетворення Волша над значеннями сигналу, що зберігаються в зсувному регістрі, повторюється. Таким чином, періодично, з частотою f д регістри 8 будуть скидатися значення "ковзного" спектру вхідного сигналу, обчислені в базисі повної системи ортогональних функцій Уолша. Література
1. Х. Хартмут. Теорія секвентного аналізу. - М: Мир, 1980. 2. А.А. Алексєєв, А.Б. Кірілів. Технічний аналіз сигналів та розпізнавання радіовипромінювань. – С.-Пб.: Військова академія зв'язку, 1998. Розділ 4. Елементи теорії узагальненого спектрально-часового аналізу, 4.3.2. Розподіл Вігнера-Уолша, стор. 164-209. 3. Аналізатор спектру з функцій Уолша. А.С. N 640305, G06F 15/34, 1976. 4. Виноградов Д.Г., Шабаков Є.І. Аналізатор спектру за функціями Волша. А.С. СРСР N 1203536, G06F 15/332, 1985.
ФОРМУЛА ВИНАХОДУ
Аналізатор спектру за функціями Уолша, що містить генератор тактових імпульсів, виходом підключений до входу синхронізації генератора функцій Уолша, вихід i-ї функції Уолша якого з'єднаний з синхронізуючим входом i-го реверсивного лічильника, підключеного до інформаційного входу i-го регістра, вихід якого є виходом i-йгармоніки аналізатора, а також елемент І, перший вхід якого є інформаційним входом аналізатора, який відрізняється тим, що додатково введені дільник частоти і послідовно з'єднані регістр зсуву і кільцевий зсувний регістр, включені між виходом елемента І і рахунковим входом кожного з реверсивних лічильників, а дільник частоти включений між генератором тактових імпульсів і другим входом елемента І, з'єднаним з керуючим входом зсувного регістру паралельно з керуючим входом кожного реверсивного лічильника і кожного регістра, причому вихід генератора тактових імпульсів підключений до керуючого входу кільцевого зсувного регістру паралельно з входом.Функціями Уолша називається сімейство функцій, що утворюють ортогональну систему, що приймають значення лише 1 і −1 по всій області визначення.
У принципі функції Уолша можуть бути представлені в безперервній формі, але частіше їх визначають як дискретні послідовності з елементів. Група функцій Уолша утворює матрицю Адамара.
Функції Уолша набули широкого поширення в радіозв'язку, де з їх допомогою здійснюється кодовий поділ каналів (CDMA), наприклад, у таких стандартах стільникового зв'язкуяк IS-95, CDMA2000 або UMTS.
Система функцій Уолша є ортонормованим базисом і, як наслідок, дозволяє розкладати сигнали довільної форми до узагальненого ряду Фур'є.
Перетворення Волша-Адамара
Є окремим випадком узагальненого перетворення Фур'є, у якому базисом виступає система функцій Уолша.
Узагальнений ряд Фур'є є формулою:
де це з базисних функцій, а - коефіцієнт.
Розкладання сигналу за функціями Волша має вигляд:
У дискретній формі формула запишеться так:
Визначити коефіцієнти можна, здійснивши скалярний твір сигналу, що розкладається, на відповідну базисну функцію Уолша:
Слід враховувати періодичний характер функцій Уолша.
9. Інтерполяція: спектральне трактування, КІХ-фільтри для поліноміальної інтерполяції 0- та 1-го порядку; Використання поліфазної структури. Інтерполяція – процес цифр. обробки сигналів, що призводить до формування сигналу y(nT) з підвищеною частотою дискретизації з сигналу x(vT')=x(vLT) з нижчою частотою дискретизації при певних обмеженнях на часові та спектральні зміни вих.сигналу.
Виділяють три різновиди процесу інтерполяції ЦГЗ:
1. Збільшення частоти дискретизації здійснюється відповідно до математичного поняття інтерполяції;
2. При збільшенні част. дискр. вихідні відліки дискретного сигналу x(vT') виявляються загубленими, проте відліки вихідного сигала y(nT) можуть розглядатися як відліки вихідного аналогового сигналу x(t), з якого шляхом дискретизації з інтервалом T' утворений вихідний дискретний сигнал x(vT'). У цьому випадку форма огинаючої сигналів x(vT') та y(nT) (і спектр) не змінюються;
3. Збільшення част.дискретизації призводить до зміни форми сигналу, що інтерполується, однак модуль спектру не змінюється.
Д-дискретизатор з інтервалом дискретизації T'=LT., ІІ-ідеальний інтерполятор збільшує част.дискр. в ціле число L. Після ІІ сигнал можна розглядати, як результат дискретизації вих.аналогового сигналу x(t) з інтервалом дискретизації T=T'/L. , Hφ-дискретна система з частотною харкою.
Частотна інтерполяція процесу з коефіцієнтом L:
а) спектр вихідного аналогового сигналу. б) спектр дискретизованого сигналу з частотою дискретизації fд. в) спектр дискретизованого сигналу з частотою дискретизації fд = 3fд.
Т.О. процес підвищення частоти дискретизації (інтерполяції) – перетворення спектра від б) до в), тобто придушення «зайвих» частотних складових вих.
Збільшення частоти дискретизації вих.сигналу в потрібне число разів L здійснює експандер частоти дискретизації (ЕКД).
Використання поліфазної структури при інтерполяції з використанням КІХ-фільтрів.Особливість даної структури в тому, що замість одного фільтра, що працює на високій частотідискретизації, використовується кілька фільтрів, що працюють на низькій частоті. Поліфазний фільтр являє собою набір невеликих фільтрів, що працюють паралельно, кожен з яких обробляє лише підмножина відліків сигналу (якщо всього є N фільтрів, кожен фільтр оброблятиме лише кожен N-й відлік). Еквівалентна схема поліфазної структури:
Проектування КІХ-фільтрів для поліноміальної інтерполяції 0- та 1-го порядку.
Нульовий порядок. При обчисленні чергового відліку вих сигналу y(nT) з інтервалом дискретизації T ісп-ся тільки один відлік вхідного сигналу, що інтерполюється x(vT') з інтервалом дискретизації T'. При збільшенні частоти дискретизації L раз відлік сигналу x(vT') повторюється L разів на тактах n=vL, vL+1, …,vL+L-1:
y(nT)=x(vT'), n=vL, vL+1, …, vL+L-1, v=0,1,2,…
Процес інтерполяції нульового порядку показаний на рис., де Tз-затримка, що вноситься фільтром.
Передатна функція фільтра
Реалізація однорідного фільтра:
Вхідний сигнал x(vT') записується в регістр RG з частотою fд'=1/T', а зчитування сигналу y(nT) проводиться з частотою fд=Lfд'=1/T. Перший порядок (лінійна інтерполяція). Нехай дано сигнал x(n)=cos(2πn∙0,125). Між кожним. відліком вих. сигналу вставляється L-1 відліків (підвищення част.дискретизації). Записується передатна функція
10. Децимація: спектральне трактування, КІХ-фільтри для поліноміальної децимації 0- та 1-го порядку; використання поліфазної структури. Децімація - процес зменшення частоти дискретизації сигналу.
Розглянь сигнал x(t), модуль його спекту а).
x(nT)-дискретизований сигнал з інтервалом дискретизації T, його модуль спектру в першому випадку б), у другому г).
x(лямбдаT)-дискретизований сигнал x(t) з інтервалом дискретизації T'=MT.(M=2), його модуль спектра в першому випадку в), у другому д).
Випадок 1. При дискретизації з частотою wд1 виконалася умова умова wд1 2Мwmax.(у разі wд1 4wmax). Сигнал можна відновити, оскільки спектр не перекривається.
Випадок 2. При дискретизації з частотою wд2 не виконалася умова умова wд2 2Мwmax. Сигнал відновити не можна, тому що спектр накладається.
Для виконання операції децимації ціле число разів М необхідно, щоб частота дискретизації wд сигналу x(nT), що підлягає децимації, задовольняло умові wд 2Мwmax.
Операція децимації здійснюється з допомогою компресора частоти дискретизації(КЧД)(рис зліва). КЧД є ключом, який замикається в моменти t=nMT=лямбдаT', тобто з вхідного сигналу x*(nT) з інтервалом дискретизації Т береться тільки кожен М-й відлік і формує сигнал x(лямбдаT')= x*(лямбдаМТ) ) з інтервалом дискретизації Т=МТ
Використання поліфазної структури при децимації з використанням КІХ-фільтрів.Дана структура містить М паралельних гілок обробки, у кожній з яких знаходиться фільтр, що працює на «низькій» (вихідній) частоті дискретизації. Рівняння, що описує поліфазну структуру децимації:
Де М-целочисл.коефіцієнт,
G-ціле число, r=0, 1,…,M-1.
Тобто. вихідна послідовність y(лямбдаT') схеми є сума М послідовностей yk(лямбдаMT'), k=0,1,…,M-1, кожна з яких є своєю чергою результат фільтрації послідовності yk*(лямбдаMT')=x(лямбдаМТ) -kT) дискретним фільтром з ПФ Hk * (zM) та імпульсної характеристики brk = brM + k, причому відліки імпульсної характеристики k-го фільтра є відліки імпульсної характеристики bl фільтра-прототипу, взяті через М-1 відлік.
Проектування КІХ-фільтрів для поліноміальної децимації 0- та 1-го порядку.
Схема зменшення частоти дискретизації
Нульовий порядок. Як фільтр використовується однорідний, передатна функція якого:
АЧХ однорідного фільтра
Умова, у якому вибирається порядок фільтра: N=k*M.
Перший лад. Як фільтр використовується тріангулярний з ПФ.
