Будь-яка хаотична система повинна мати нелінійні елементи чи властивості. У лінійній системі може бути хаотичних коливань. У лінійній системі періодичні зовнішні дії викликають після згасання перехідних процесів періодичний відгук того ж періоду (рис. 2.1). (Винятком є ​​параметричні лінійні системи.) У механічних системах можливі такі нелінійні компоненти:

1) нелінійні пружні елементи;

Мал. 2.1. Схема можливих перетворень сигналу в лінійних та нелінійних системах.

2) нелінійне згасання, подібне до тертя спокою та ковзання;

3) мертвий хід, зазор чи білінійні пружини;

4) більшість гідродинамічних явищ;

5) нелінійні граничні умови.

Нелінійні пружні ефекти можуть бути пов'язані або з властивостями речовин або з геометричними особливостями. Наприклад, співвідношення напруг у зразку з гуми та її деформації нелінійно. Проте, хоча співвідношення напруг і деформацій стали зазвичай лінійно до межі плинності, сильні вигини балки, плити або оболонки можуть бути нелінійно пов'язані з прикладеними силами і моментами. Подібні ефекти, пов'язані з сильними зміщеннями чи поворотами, у механіці зазвичай називаються геометричними нелінійностями.

Нелінійні властивості електромагнітних систем обумовлені такими факторами:

1) нелінійними опорами, ємностями чи індуктивними елементами;

2) гістерезисом у феромагнітних матеріалах;

3) нелінійними активними елементами, подібними до вакуумних ламп, транзисторів і діодів;

4) ефектами, характерними для середовищ, що рухаються, наприклад електрорушійною силою , де v - швидкість, а В - магнітне поле;

5) електромагнітними силами, наприклад , де J - Струм, або , де М - дипольний магнітний момент.

Прикладами нелінійних пристроїв є звичайні елементи електричних ланцюгів, як діоди і транзистори.

Мал. 2.2. Нелінійні завдання з кількома положеннями рівноваги: ​​а - поздовжній вигин тонкого пружного стрижня під дією осьового навантаження на торці; 6 - поздовжній згин пружного стрижня нелінійними магнітними масовими силами.

Такі магнітні матеріали, як залізо, нікель чи ферити характеризуються нелінійними матеріальними співвідношеннями між полем намагнічування та щільністю магнітного потоку. За допомогою операційних підсилювачів та діодів деяким експериментаторам вдається зібрати негативні опори з білінійною вольт-амперною характеристикою (див. гл. 4).

Не в будь-якій системі легко виявити нелінійність, по-перше, тому що ми часто привчаємо міркувати мовою лінійних систем, а по-друге, тому що основні компоненти системи можуть бути лінійними і нелінійність є тонким ефектом. Наприклад, окремі елементи ферми кріплення можуть бути лінійно пружними, але вони зібрані так, що є зазори і є нелінійне тертя. Таким чином, нелінійність може ховатися у граничних умовах.

У прикладі з вигнутим стрижнем нелінійні елементи виділяються легко (рис. 2.2). У будь-якому механічному пристрої, що має більше одного положення статичної рівноваги, є зазор, мертвий хід або нелінійна жорсткість. У разі стрижня, вигнутого навантаженням на кінці (рис. 2.2 а), винуватцем є геометрична нелінійність жорсткості. У стрижні, що згинається магнітними силами (рис. 2.2, б), джерелом хаотичної поведінки системи є нелінійні магнітні сили.

Нелінійні залежності z = f(x) можна класифікувати за різними ознаками:

1. По гладкості характеристик: гладка - якщо у будь-якій точці характеристики існує похідна dz/dx, тобто функція диференційована (рис. 1а, б); кусочно-линейная - характеристика, у якій похідні мають розрив першого (рис.2а) чи другого роду (рис. 2б).

По однозначності: однозначні - у яких кожному значенню вхідної величини відповідає одне значення вихідної величини (рис. 3a); багатозначні - у яких кожному значенню вхідної величини x відповідає кілька значень вихідний величини z (рис.3б, в, г).

По симетрії: парно-симетричні – симетричні щодо осі ординат, тобто z(х) = z(-х) (рис. 4а); непарно-симетричні - симетричні щодо початку координат, при цьому z(х) = - z(-х) (рис. 4б); не симетричні (рис. 4в).

Нелінійні ланцюги

Нелінійними називаються ланцюги, до складу яких входить хоча б один нелінійний елемент. Нелінійні елементи описуються нелінійними характеристиками, які мають суворого аналітичного висловлювання, визначаються експериментально і задаються таблично чи графіками.

Нелінійні елементи можна розділити на дво- та багатополюсні. Останні містять три (різні напівпровідникові та електронні тріоди) та більше (магнітні підсилювачі, багатообмотувальні трансформатори, тетроди, пентоди та ін.) полюсів, за допомогою яких вони приєднуються до електричного ланцюга. Характерною особливістю багатополюсних елементів є те, що в загальному випадку їх властивості визначаються сімейством характеристик, що представляють залежності вихідних характеристик від вхідних змінних і навпаки: вхідні характеристики будують для ряду фіксованих значень одного з вихідних параметрів, вихідні для ряду фіксованих значень одного з вхідних.

За іншою ознакою класифікації нелінійні елементи можна поділити на інерційні та безінерційні. Інерційними називаються елементи, характеристики яких залежить від швидкості зміни змінних. Для таких елементів статичні характеристики, що визначають залежність між діючими значеннями змінних, відрізняються від динамічних характеристик, що встановлюють взаємозв'язок між миттєвими змінними значеннями. Безінерційними називаються елементи, характеристики яких залежить від швидкості зміни змінних. Для таких елементів статичні та динамічні характеристики збігаються.

Поняття інерційних та безінерційних елементів відносні: елемент може розглядатися як безінерційний у допустимому (обмеженому зверху) діапазоні частот, при виході за межі якого він переходить у розряд інерційних.

Залежно від виду характеристик розрізняють нелінійні елементи із симетричними та несиметричними характеристиками. Симетричною називається характеристика, яка залежить від напрямку визначальних її величин, тобто. має симетрію щодо початку системи координат. Для несиметричної властивості ця умова не виконується, тобто. Наявність у нелінійного елемента симетричної характеристики дозволяє у ряді випадків спростити аналіз схеми, здійснюючи їх у межах одного квадранта.

За типом характеристики можна розділити всі нелінійні елементи на елементи з однозначною і неоднозначною характеристиками. Однозначною називається характеристика, яка має кожному значенню х відповідає єдине значення y і навпаки. У разі неоднозначної характеристики якимось значенням х може відповідати два чи більше значення y чи навпаки. У нелінійних резисторів неоднозначність характеристики зазвичай пов'язана з наявністю падаючої ділянки, а у нелінійних індуктивних та ємнісних елементів – з гістерезисом.

Нарешті, всі нелінійні елементи можна розділити на керовані та некеровані. На відміну від некерованих керовані нелінійні елементи (зазвичай три-і багатополюсники) містять керуючі канали, змінюючи напругу, струм, світловий потік та ін. в яких змінюють їх основні характеристики: вольт-амперну, веб-амперну або кулон-вольтну.

Залежно від виду складових нелінійних елементів називають нелінійні ланцюги.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «МАГНІТОГОРСЬКА ДЕРЖАВНА ТЕХНІЧНА

УНІВЕРСИТЕТ ім. Г.І. НОСОВА»

КАФЕДРА ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ ТА ЕЛЕКТРОТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ

О.І. Пєтухова, Л.В. Яббарова, Ю.І. Мамлєєва

МЕТОДИ АНАЛІЗУ НЕЛІНІЙНИХ ЛАНЦЮГІВ

1.1. Нелінійні елементи та їх характеристики 3

1.2.3.

Розрахунок ланцюгів при змішаному з'єднанні елементів 7

1.2.4.

Перетворення активних нелінійних двополюсників 8

1.2.5.

Аналіз розгалужених ланцюгів 10

1.3.

Апроксимація характеристик нелінійних елементів 12

1.3.1.

Вибір апроксимуючої функції 12

1.3.3.

Апроксимація ВАХ на околицях робочої точки 18

2. МАГНІТНІ ЛАНЦЮГИ 19

2.1.

Основні поняття 19

Характеристики більшості реальних елементів тією чи іншою мірою нелінійні. В одних випадках нелінійність елементів невелика і при побудові спрощеної моделі нею можна знехтувати, в інших – нелінійністю знехтувати не можна. Більше того, функціонування більшості радіоелектронних пристроїв неможливе без нелінійних елементів (випрямлення, множення, обмеження, генерування тощо).

Реальні нелінійні елементи поділяються на безінерційні та інерційні. Якщо залежність між миттєвими значеннями струму та напруги елементів при періодичній дії визначається статичною вольт - амперною характеристикою (ВАХ), то елемент відноситься до безінерційних нелінійних елементів. Якщо статична ВАХ і динамічна, знята при частоті, що дорівнює або меншій робочій, не збігаються, то такий елемент слід розглядати як інерційний.

Таким чином, інерційний нелінійний елемент є лінійним щодо миттєвих значень струму та напруги, а ВАХ, що зв'язує діючі значення, виявляється нелінійною. Безінерційні елементи є нелінійними як щодо миттєвих значень
,
, так і щодо діючих і .

Залежно від кількості зовнішніх висновків розрізняють нелінійні елементи двополюсні (діоди, термістори) і багатополюсні (транзистори, тріоди, пентоди). Вольт - амперна характеристика нелінійного двополюсного елемента може бути симетричною чи несиметричною. ВАХ двополюсника із симетричною характеристикою представлена ​​на рис.1. Для неї виконується умова:

,
. (1)

Очевидно, що режим роботи нелінійного ланцюга не зміниться, якщо висновки нелінійного елемента із симетричною характеристикою поміняти місцями. Якщо умова (1) не виконується, ВАХ – несиметрична.

Відношення напруги, що вимірюється відрізком АВ до струму, що вимірюється відрізком ОВ (див. рис.1.), визначає в деякому масштабі
статичний опір R у точці А.

(2)

Межа відношення збільшення напруги на ділянці ланцюга до збільшення струму в ньому або похідна від напруги по струму в тому ж масштабі
, Визначає диференціальний опір:

. (3)

Розрізняють нелінійні елементи з монотонною і немонотонною ВАХ. Для монотонних ВАХ або завжди більше за нуль.

Немонотонні характеристики поділяються на N- та S-типи. У елементів з N-подібною характеристикою (рис. 2.а) тому самому значенню струму може відповідати кілька різних напруг. У S-подібної ВАХ одному значенню напруги може відповідати кілька струмів (рис. 2.б).

Рис.2. ВАХ різних нелінійних елементів

а) немонотоннаN-Типу; б) немонотоннаS– типу;

в) ВАХ неелектрично керованого двополюсника – термістора.

Вид ВАХ нелінійного елемента може залежати від деякої величини, не пов'язаної зі струмами та напругами ланцюга, до якого включений елемент, зокрема від температури (рис. 2.в), освітленості, тиску і т.д. Такі елементи відносяться донеелектрично керованих двополюсників .

Рис.3. Електрично керований елемент

а) транзистор; б) сімейство вхідних ВАХ;

в) сімейство вихідних ВАХ.

Найважливіший клас нелінійних елементів складають електрично керовані елементи (транзистори, тиристори, і т.д.). Вони мають два основні електроди та один керуючий (рис.3.а). Струм елемента визначається рівняннями:

або
. (4)

Висновки нелінійного керованого триполюсника утворюють з рештою ланцюга два контури - основний (вихідний) і керуючий (вхідний).

Керовані елементи характеризуються сімействами ВАХ: вихідними та вхідними. (Рис.3.б,с)

Вид ВАХ нелінійного керованого елемента залежить від схеми включення елемента, тобто. від того який з електродів є загальним для основного та керуючого контурів. На важливих електричних схемах реальні нелінійні елементи зображуються з допомогою встановлених ЕСКД умовних графічних позначень (рис.4).

Рис.4 Позначення нелінійних елементів

Нелінійний елемент

Нелінійним елементом називають елемент, параметри якого залежать від струму, що протікає через нього, або від прикладеного до нього напруги. Типовими нелінійними елементами є діод та транзистор. Їхні параметри суттєво змінюються при впливі робочих струмів і напруг .

Раніше розглядалися лінійні елементи, параметри яких не залежать від струму, що протікає, і прикладеної напруги. Наприклад, у робочому діапазоні напруг та струмів такі радіоелементи, як резистори та конденсатори, вважаються лінійними елементами. На рис. 3.1 наведено вольт-амперні характеристики (ВАХ) нелінійного (1) та лінійного (2) резисторів. Тільки при дії малої напруги нелінійні елементи можна приблизно замінювати лінійними елементами. Наприклад, характеристики діодів та транзисторів лінеаризуються, якщо впливає напруга DU < 0,1 В.

Зазначимо, що крім лінійних та нелінійних елементів використовуються параметричні елементи, параметри яких залежать від часу . Деякі властивості параметричних елементів близькі до властивостей нелінійних елементів, оскільки практично змін параметрів домагаються подачею додаткових сигналів на параметричний елемент, і параметри параметричних елементів у результаті виявляються залежними від напруг чи струмів в ланцюзі.

Якщо в ланцюгу, крім лінійних елементів, містяться нелінійні резистори та (або) нелінійні конденсатори та (або) нелінійні котушки, то така ланцюг називається нелінійною . Процеси у такому ланцюзі у випадку описуються нелінійним диференціальним рівнянням. Загальних аналітичних методів розв'язання цих рівнянь немає. Зазвичай, ці рівняння вирішують на ЕОМ з допомогою чисельних методів. Наприклад, за допомогою чисельних методів аналізуються нелінійні ланцюги у програмах схемотехнічного моделювання.

Основні явища, властиві будь-якого нелінійного ланцюга, не обов'язково вивчати, складаючи та вирішуючи складні нелінійні диференціальні рівняння. Загальні властивості нелінійного ланцюга виявлятимуться у простих ланцюгах, що містять один нелінійний резистор. До речі, прості нелінійні ланцюги найчастіше використовують у радіоелектроніці. Для їх аналізу використовують один із аналітичних методів – метод тригонометричних формул .

Відповідно до методу тригонометричних формул вольт-амперну характеристику нелінійного резистора апроксимуємо поліномом:

де коефіцієнти аi(i = 0, 1, 2, …, n) Залежать від виду ВАХ.

Нехай до нелінійного елемента прикладена гармонійна напруга Для простоти початкова фаза цієї напруги обрана рівною нулю. Підставляючи цю напругу у формулу (3.1), отримаємо струм, що протікає через нелінійний елемент:

Використовуючи відомі тригонометричні формули:

перепишемо вираз для струму у вигляді суми постійної складової та гармонік струму з кратними частотами (у вигляді ряду Фур'є):

З аналізу виразу (3.2) випливає загальна властивість нелінійних цепей - породжувати в спектрі вихідного сигналу нові частоти, яких не було в спектрі вхідного сигналу. Номер найвищої гармоніки в діапазоні вихідного сигналу відповідає ступеню апроксимуючого полінома.

Як відомо, сума гармонік різних, але кратних частот утворює періодичний сигнал, форма якого відрізняється від форми гармонійного коливання. Отже, в нелінійних ланцюгах у загальному випадку спотворюється форма сигналу . Гармонійний сигнал стає негармонічним, трикутний сигнал може стати трапецеїдальним і т.п.

На рис. 3.2 показані спектри вхідного (рис. 3.2, а) та вихідного (рис. 3.2, б) сигналів нелінійного ланцюга, що описується поліномом третього ступеня. Як бачимо, у вихідному сигналі з'явилася
стоянна складова, а також друга і третя гармоніки. Зазначимо, що виникнення нових гармонік, яких не було у вхідному сигналі, не порушує законів причинності та збереження енергії.

Нові частоти, постійну складову і другу гармоніку, можна отримати за допомогою параметричного елемента - аналогового перемножувача, подаючи на нього гармонійний керуючий сигнал з частотою, точно рівною частоті прикладеного до елемента вхідної напруги.

Властивість нелінійних ланцюгів породжувати нові гармоніки і спотворювати форму сигналу широко використовується в радіоелектроніці при створенні різноманітних пристроїв. Розглянемо деякі з цих пристроїв, що найчастіше зустрічаються на практиці.

Нелінійний підсилювач

Нелінійний підсилювач - Це підсилювач на працюючому в нелінійному режимі транзисторі, що має збільшений коефіцієнт корисної дії (рис. 3.3).

Відмінною особливістю схеми є постійної напруги зміщення з урахуванням транзистора. Тому транзистор за відсутності вхідного сигналу буде закритий, і його постійні струми бази, колектора та емітера будуть практично рівними нулю. Транзистор буде відкриватися тільки при подачі позитивної напівхвилі великої амплітуди вхідної напруги (амплітуда повинна бути набагато більше 0,1 В). Зазначимо, що у деяких нелінійних підсилювачах може використовуватися джерело напруги усунення. У цьому випадку напруга вибирається або замикаючим, або невеликим відкриває.

Робота нелінійного підсилювача описується за допомогою діаграми струмів та напруг (рис. 3.4). На рис. 3.4, анаведено передатну ВАХ транзистора. Залежність від часу напруги з урахуванням транзистора наведено на рис. 3.4, в. Ця гармонійна напруга надійшла через розділовий конденсатор із вхідних затискачів каскаду. Як бачимо, тільки позитивні напівхвилі вхідної напруги відкривають транзистор.

Залежність струму колектора, що виникає, від часу (рис. 3.4, б) отримана на основі кривих рис. 3.4, ата 3.4, в. Послідовність побудови показана стрілками. Струм колектора, протікаючи по резистору R Н(див. рис. 3.3), створює на колекторі транзистора змінну напругу (рис. 3.4, г). Зазначимо, що при збільшенні струму колектора напруга на колекторі зменшується, оскільки збільшується падіння напруги на резисторі. R Н. Цим пояснюється ефект інвертування фази сигналу, що у каскадах ОЕ.

Форма напруги на колекторі транзистора суттєво відрізняється від форми гармонійного вхідного сигналу. У цих спотвореннях форми сигналу проявляється властивість нелінійних ланцюгів, зумовлене виникненням струму транзистора додаткових гармонік. Для зменшення спотворень використовують двотактну схему. У схемі використовуються два транзистори різних типів, що працюють на загальне навантаження. Причому якщо транзистор типу п-р-пвідкривається при подачі позитивної напівхвилі напруги, то інший, р-п-р-транзистор, що відкривається при подачі негативної напівхвилі вхідної напруги.

Основне перевага нелінійного підсилювача - Збільшений коефіцієнт корисної дії (ККД). Збільшення ККД пояснюється тим, що істотну частину часу транзистор у нелінійному підсилювачі, що працює, закритий і не споживає енергії від джерела живлення.

Нелінійні підсилювачі використовуються в автогенераторах (наприклад, в імпульсних джерелах живлення ЕОМ), у підсилювачах потужності (наприклад, у потужних підсилювачах звукової частоти), як підсилювачі-обмежувачі, передавачі і т.д.

Помножувач частоти

Помножувач частоти – це нелінійний пристрій, частота на виході якого у кілька разів більша за частоту вхідного сигналу. У помножувачі частоти використовується властивість нелінійних елементів – породжувати гармоніки із частотами, кратними частоті вхідного сигналу.

Найпростіша схема помножувача частоти будується з урахуванням схеми резонансного підсилювача (рис. 3.5). При подачі на вхід каскаду гармонійного сигналу з великою амплітудою у складі струму колектора транзистора виникають гармоніки з частотами, що у цілу кількість разів перевищують частоту вхідного сигналу. Резонансний контур (навантаження каскаду) налаштовують на частоту однієї з
найвищих гармонік. На цій частоті в контурі виникає резонанс, а на коливальному контурі та на виході каскаду з'являється гармонійна напруга, частота якого в ціле число разів більша за частоту вхідного сигналу. Зазначимо, що смуга пропускання контуру має бути достатньо малою, щоб виділялася лише одна найвища гармоніка.

Розрахунок вихідної напруги помножувача частоти проводиться за такою формулою:

де – комплексний опір паралельного коливального контуру, – амплітуда n-й гармоніки струму колектора транзистора При точному налаштуванні паралельного контуру на частоту гармоніки, що виділяється, отримаємо: так як реактивний опір котушки індуктивності компенсується реактивним опором конденсатора контуру.

Збільшення частоти вдвічі можна отримати, використовуючи параметричну ланцюг (аналоговий перемножувач) і подаючи гармонійний сигнал одночасно на обидва входи перемножувача. Помножувачі частоти широко використовуються в комп'ютерах для отримання збільшених тактових частот при використанні відносно низькочастотного кварцового генератора, що задає.

Л11 НЕЛІНІЙНІ ЛАНЦЮГИ

Теми СРСП

Підготовка до вимірювань, догляд за приладами. [Л1], стор.135-140.

Основна література

1. М.С.Стернзат та А.А.Швецьов, Метеорологічні прилади, спостереження та їх обробка, Л, ГМІ, 1959 р.

2.О.А.Городецький, І.І.Гуральник, В.В.Ларін, Метеорологія, методи та технічні засоби спостережень, ГМІ, Л, 1984

додаткова література

1. Настанови гідрометеорологічним станціям та постам, ч.1, Алмати, 2002 р.

2. А.В.Капустін, Н.П.Сторожук, Технічні засоби гідрометеорологічної служби, СП, 2005

3. Н.П.Фатєєв, Повірка метеорологічних приладів, ГМІ, Л, 1975

4. Посібник з перевірки метеорологічних приладів, ГМІ, Л, 1967

Властивості елементів електричного кола (опору, індуктивності, ємності) описуються їх статичними характеристиками. Статичною характеристикою активного опору є його вольтамперна характеристика. Для індуктивності статичною характеристикою є вебер-амперна характеристика: залежність між струмом i магнітним потоком Ф. Статична характеристика ємності являє собою залежність між зарядом q і напругою u c . Вона називається кулон-вольтною характеристикою.

Статична характеристика елемента ланцюга виражається деякою функціональною залежністю y=f(x).

Функцію у можна розглядати як відгук на вплив х.

Статичним параметром елемента ланцюга називають відношення

Диференціальний параметр дорівнює

Диференціальний параметр часто називають крутістю (S)

Так як у = рх, то

Параметри лінійних елементів залежить від режиму роботи тобто. від величини дії х.

Тому статична характеристика лінійного (пасивного) елемента є прямою, яка проходить через початок координат (рис. 9.1.), а диференціальний параметр – пряму, паралельну осі х (рис. 9.2.).

Мал. 9.1. Статична характеристика лінійного елемента

Мал. 9.2. Диференціальний параметр лінійного елемента

Значення статичного та диференціального параметрів лінійного елемента збігаються, тобто.

де m y і m x - масштаби по х і у, при m y = m x P = P d = tga.

Для нелінійного елемента характерно, що його параметри залежить від режиму роботи, тобто. від величини дії х.

Намалюємо статичну характеристику якогось Н.Э. (Мал. 9.З).

Мал. 9.3. Статична характеристика Н.Е.

У будь-якій довільній точці характеристики m, статичний параметр визначається кутом a - нахилу січної, проведеної з початку координат в точку m (рис. 9.3).

Якщо m x = my, то P = tga.

Диференціальний параметр (крутість) у тій же точці пропорційна тангенсу кута b між дотичною до кривої в даній точці та віссю х (рис. 9.3).