Просторові та динамічні моделі. Об'ємно - Просторова модель. Апроксимаційні методи інтерполяції

До моделей часових рядів, що характеризують залежність результативної змінної від часу, відносяться:

а) модель залежності результативної змінної від трендової компоненти або модель тренду;

б) модель залежності результату. змінної від сезонної компоненти чи модель сезонності;

в) модель залежності результативної змінної від трендової та сезонної компонент або модель тренду та сезонності.

Якщо економічні твердження відбивають динамічну (що залежить від чинника часу) взаємозв'язок включених у модель змінних, значення таких змінних датують і називають динамічними чи тимчасовими рядами. Якщо економічні твердження відображають статичну (що стосується одного періоду часу) взаємозв'язок всіх включених у модель змінних, значення таких змінних прийнято називати просторовими даними. І потреби в їхньому датуванні немає. Лаговими називаються екзогенні або ендогенні змінні економічної моделі, що датуються попередніми моментами часу і перебувають у порівнянні з поточними змінними. Моделі, що включають змінні лагові, відносяться до класу динамічних моделей. Обумовлениминазиваються лагові та поточні екзогенні змінні, а також логові ендогенні змінні

23. Трендові та просторово-часові ЕМ у плануванні економіки

Статистичні спостереження в соціально-економічних дослідженнях зазвичай проводяться регулярно через рівні відрізки часу і подаються у вигляді часових рядів xt, де t = 1, 2, ..., п. Як інструмент статистичного прогнозування часових рядів служать трендові регресійні моделі, параметри яких оцінюються за наявною статистичною базою, а потім основні тенденції (тренди) екстраполюються на заданий інтервал часу.

Методологія статистичного прогнозування передбачає побудову та випробування багатьох моделей кожному за часового ряду, їх порівняння з урахуванням статистичних критеріїв і відбір найкращих їх прогнозування.

При моделюванні сезонних явищ у статистичних дослідженнях розрізняють два типи коливань: мультиплікативні та адитивні. У мультиплікативному випадку розмах сезонних коливань змінюється в часі пропорційно до рівня тренду і відображається в статистичній моделі множником. При адитивної сезонності передбачається, що амплітуда сезонних відхилень постійна і залежить від рівня тренду, а самі коливання представлені у моделі доданком.

Основою більшості методів прогнозування є екстраполяція, пов'язана з поширенням закономірностей, зв'язків і співвідношень, що діють у періоді, що вивчається, за його межі, або - в більш широкому сенсі слова - це отримання уявлень про майбутнє на основі інформації, що відноситься до минулого і сьогодення.

Найбільш відомі та широко застосовуються трендові та адаптивні методи прогнозування. Серед останніх можна виділити такі, як методи авторегресії, ковзного середнього (Бокса - Дженкінса та адаптивної фільтрації), методи експоненційного згладжування (Хольта, Брауна та експоненційної середньої) та ін.

Для оцінки якості досліджуваної моделі прогнозу використовують кілька статистичних критеріїв.

При поданні сукупності результатів спостережень у вигляді часових рядів фактично використовується припущення про те, що величини, що спостерігаються, належать деякому розподілу, параметри якого та їх зміна можна оцінити. За цими параметрами (як правило, за середнім значенням та дисперсією, хоча іноді використовується і більш повний опис) можна побудувати одну з моделей ймовірнісного представлення процесу. Іншим імовірнісним уявленням є модель у вигляді частотного розподілу з параметрами pj для відносної частоти спостережень, що потрапляють у j інтервал. При цьому якщо протягом прийнятого часу попередження не очікується зміни розподілу, рішення приймається на підставі наявного емпіричного частотного розподілу.

При проведенні прогнозування необхідно мати на увазі, що всі фактори, що впливають на поведінку системи в базовому (досліджуваному) та прогнозованому періодах, повинні бути незмінними або змінюватись за відомим законом. Перший випадок реалізується в однофакторному прогнозуванні, другий – при багатофакторному.

Багатофакторні динамічні моделі повинні враховувати просторові та тимчасові зміни факторів (аргументів), а також (за потреби) запізнення впливу цих факторів на залежну змінну (функцію). Багатофакторне прогнозування дозволяє враховувати розвиток взаємозалежних процесів та явищ. Основою його є системний підхід до вивчення досліджуваного явища, а як і процес осмислення явища, як у минулому, і у майбутньому.

У багатофакторному прогнозуванні однією з основних проблем є проблема вибору чинників, що зумовлюють поведінку системи, яка може бути вирішена суто статистичним шляхом, лише з допомогою глибокого вивчення істоти явища. Тут слід наголосити на приматі аналізу (осмислення) перед суто статистичними (математичними) методами вивчення явища. У традиційних методах (наприклад, у методі найменших квадратів) вважається, що спостереження незалежні один від одного (по одному й тому аргументу). Насправді існує автокореляція та її неврахування призводить до неоптимальності статистичних оцінок, ускладнює побудову довірчих інтервалів для коефіцієнтів регресії, і навіть перевірку їх значимості. Автокореляція визначається за відхиленнями від трендів. Вона може мати місце, якщо не враховано вплив суттєвого фактора або кількох менш істотних факторів, але спрямованих «в один бік», або неправильно вибрано модель, яка встановлює зв'язок між факторами та функцією. Для виявлення наявності автокореляції застосовується критерій Дурбіна-Уотсона. Для виключення або зменшення автокореляції застосовується перехід до випадкової компоненти (виключення тренду) або введення часу рівняння множинної регресії як аргумент.

У багатофакторних моделях виникає проблема і мультиколлінеарності – наявність сильної кореляції між факторами, яка може існувати поза будь-якою залежністю між функцією та факторами. Виявивши, які фактори є мультиколінеарними, можна визначити характер взаємозалежності між мультиколлінеарними елементами багатьох незалежних змінних.

У багатофакторному аналізі необхідно поряд з оцінкою параметрів функції, що згладжує (досліджувану), побудувати прогноз кожного фактора (за деякими іншими функціями або моделями). Природно, значення факторів, отримані в експерименті в базисному періоді, не збігаються з аналогічними значеннями, знайденими за прогнозуючими моделями для факторів. Ця відмінність має бути пояснена або випадковими відхиленнями, величина яких виявлена ​​зазначеними відмінностями і повинна бути врахована відразу ж при оцінці параметрів функції, що згладжує, або ця відмінність не випадково і ніякого прогнозу робити не можна. Тобто в задачі багатофакторного прогнозування вихідні значення факторів, як і значення функції, що згладжує, повинні бути взяті з відповідними помилками, закон розподілу яких повинен бути визначений при відповідному аналізі, попередньому процедурі прогнозування.

24. Сутність та зміст ЕМ: структурної та розгорнутої

Економетричні моделі - це системи взаємопов'язаних рівнянь, багато параметрів яких визначаються методами статистичної обробки даних. На сьогодні за кордоном в аналітичних та прогнозних цілях розроблено та використовується багато сотень економетричних систем. Макроеконометричні моделі, як правило, спочатку подаються в природній, змістовній формі, а потім у наведеному структурному вигляді. Природна форма економетричних рівнянь дозволяє кваліфікувати їх змістовну сторону, оцінити їх економічного сенсу.

Для побудови прогнозів ендогенних змінних необхідно висловити поточні ендогенні змінні моделі як явних функцій визначених змінних. Остання специфікація, отримана шляхом включення випадкових обурень, отримана в результаті математичної формалізації економічних закономірностей. Така форма специфікації називається структурної. У загальному випадку у структурній специфікації ендогенні змінні не виражені у явному вигляді через зумовлені.

У моделі рівноважного ринку тільки змінна пропозиції виражена у явному вигляді через зумовлену змінну, тому для подання ендогенних змінних через зумовлені необхідно виконати деякі перетворення структурної форми. Вирішимо систему рівнянь для останньої специфікації щодо ендогенних змінних.

Таким чином, ендогенні змінні моделі виражені у явному вигляді через зумовлені змінні. Така форма специфікації отримала назву наведеною.В окремому випадку структурна та наведена форми моделі можуть збігатися. При правильній специфікації моделі перехід від структурної до наведеної форми завжди можливий, зворотний перехід можливий який завжди.

Система спільних, одночасних рівнянь (або структурна форма моделі) зазвичай містить ендогенні та екзогенні змінні. Ендогенні змінні позначені у наведеній раніше системі одночасних рівнянь як у. Це залежні змінні, число яких дорівнює кількості рівнянь у системі. Екзогенні змінні позначаються як x. Це зумовлені змінні, що впливають ендогенні змінні, але які від них.

Найпростіша структурна форма моделі має вигляд:

де y - Ендогенні змінні; x – екзогенні змінні.

Класифікація змінних на ендогенні та екзогенні залежить від теоретичної концепції прийнятої моделі. Економічні змінні можуть виступати в одних моделях як ендогенні, а в інших як екзогенні змінні. Позаекономічні змінні (наприклад, кліматичні умови) входять до системи як екзогенні змінні. Як екзогенні змінні можуть розглядатися значення ендогенних змінних за попередній період часу (лагові змінні).

Так, споживання поточного року (y t) може залежати не лише від низки економічних факторів, а й від рівня споживання попереднього року (y t-1)

Структурна форма моделі дозволяє побачити вплив змін будь-якої екзогенної змінної на значення ендогенної змінної. Доцільно як екзогенні змінні вибирати такі змінні, які можуть бути об'єктом регулювання. Змінюючи їх і керуючи ними, можна наперед мати цільові значення ендогенних змінних.

Структурна форма моделі у правій частині містить при ендогенних та екзогенних змінних коефіцієнти b i та a j (bi – коефіцієнт при ендогенній змінній, a j – коефіцієнт при екзогенній змінній), які називаються структурними коефіцієнтами моделі. Всі змінні в моделі виражені в відхиленнях від рівня, тобто під x мається на увазі x-(а під y - відповідно у-(. Тому вільний член у кожному рівнянні системи відсутній).

Використання МНК для оцінювання структурних коефіцієнтів моделі дає, як прийнято вважати в теорії, зміщені структурних коефіцієнтів моделі структурна форма моделі перетворюється на наведену форму моделі.

Наведена форма моделі є системою лінійних функцій ендогенних змінних від екзогенних:

За своїм виглядом наведена форма моделі нічим не відрізняється від системи незалежних рівнянь, параметри якої оцінюються традиційним МНК. Застосовуючи МНК можна оцінити δ , а потім оцінити значення ендогенних змінних через екзогенні.

Розгорнута ЕМ(її блоки)

Говорячипро геометричні тіла на першому уроці геометрії, необхідно вказати такі їх види, які вивчатимуться в курсі математики - це куб, паралелепіпед, призма, піраміда, усічена піраміда, куля, циліндр, конус, усічений конус. Можна повідомити тут і назви, не даючи визначень; Попередньо корисно переконатися, які терміни вже відомі школярам, ​​а які - не відомі. Також у розмові з учнями встановлюються особливості цих форм, їх відмітні ознаки.

Бажано, щоб учні на моделях цих тіл показали поверхні криві та плоскі, лінії прямі, криві та ламані точки. Тут же принагідно нагадати терміни «грань», «ребро», «вершина».

Можна виконати серії вправ на підрахунок числа граней, вершин, ребер у куба, піраміди та інших тіл, помістити дані в таблицю. Цікаво зіставити число граней, вершин, ребер куба та прямокутного, прямого похилого паралелепіпедів (терміни не повідомляються). Допоможе зробити правильний висновок модель куба, яка має вертикальні ребра зроблені з гумок. У руках вчителя модель трансформується з куба у прямокутний, потім у похилий паралелепіпед.

Розглянемо деякі приклади використання просторових об'єктних моделей на уроках планіметрії у 7-9 класах середньої школи (табл. 2).

Таблиця 2. Приклади використання просторових моделей під час уроків планіметрії

Очевидно, описаний тут наочно-інтуїтивний вихід у простір щодо курсу планіметрії може супроводжуватися також узагальненням деяких понять, що вводяться. На це піде небагато часу.

Отже, використовуючи стереометричні моделі та їх розрізи вивчення елементів планиметрії, ми досягаємо відразу кількох цілей, головними з яких є :

• 1) забезпечення всебічного, глибшого розуміння планиметричних залежностей;
• 2) розвиток просторових уявлень учнів щодо планиметрии;
• 3) застосування знань з планіметрії під час вирішення просторових завдань, тобто. зближення навчання з можливими додатками у житті;
• 4) додаток вимірювальних та конструктивних навичок до природничих методів вивчення особливостей просторових фігур;
• 5) підготовка до вивчення систематичного курсу стереометрії.

Можна навести ще низку прикладів дуже ефективного використання геометричних моделей постійної форми. Однак такі моделі в даний час не можуть повністю задовольняти сучасним вимогам методики викладання геометрії, коли ідея руху та пов'язані з нею геометричні перетворення міцно увійшли до курсу елементарної геометрії. Виникає необхідність щодо геометрії вводити рухливі наочні посібники, оточуючі ідею руху на геометрії.

Існує модель, яка пов'язує та узгоджує між собою два, на перший погляд далекі один від одного описи людини – психофізичний та трансперсональний. Модель ця має багатовікову історію і спирається на глибокий дослідницький та практичний досвід, що передається безпосередньо від Учителя до Учня. На мові Традиції, представниками якої є автори цієї книги, модель ця має назву Об'ємно - Просторова Модель, (яка неодноразово згадувалася вже в перших розділах). Є деякі паралелі Об'ємно – Просторової Моделі коїться з іншими древніми описами людини (системою Чакр – “тонких” тіл; “енергетичних центрів” – “планів свідомості” та інших.). На жаль, серйозне дослідження цих моделей зараз, в більшості випадків, підмінене поширеним вульгарним уявленням про Чакра, як про якісь просторово – локалізовані утворення, а про “тонкі” тіла, як про своєрідну “матрюшку”, що складається з якихось невидимих ​​неозброєним оком. сутностей. Авторам відомо лише порівняно невелика кількість сучасних тверезих досліджень цього питання [див., наприклад, Йог №20 "Питання Загальної теорії Чакр" СПб 1994.]

Ситуація, що склалася вкрай невигідна: критично мислячі фахівці налаштовані до моделі Чакр і "тонких" тіл скептично, інші ж (іноді незважаючи навіть на тривалий досвід роботи психологом або психотерапевтом) стають в один ряд з домогосподарками (не в образі їм сказано), що відвідують курси " екстрасенсорики”, і поповнюють армію носіїв легенд про Чакри та “Тіла”, що розповсюджуються популярними брошурами. Справа доходить іноді до комічного обороту. Так, одному з авторів цієї книги довелося кілька років тому бути присутнім на психологічному тренінгу, з елементами “езотерики”, де дуже авторитетний ведучий давав приблизно таку інструкцію до однієї з вправ: “... А тепер ви своєю ефірною рукою поставте “якір” прямо клієнту в нижню Чакру...”, що більшість присутніх одразу з ентузіазмом спробували здійснити (звісно, ​​не далі, ніж у своїй уяві).

Далі ми не згадуватимемо Чакри і Тіла, а користуватимемося мовою Обсягів і Просторів. Не слід, однак, проводити однозначну відповідність між Обсягами та Чакрами, Просторами та Тілами; незважаючи на деяку подібність, ці моделі відрізняються; відмінності, у свою чергу, пов'язані не з претензією на більшу чи меншу правильність, а зі зручністю для тієї Практики, яку ми представляємо на сторінках цієї книги.

Повернемося ще раз до визначень Обсягів та Просторів, які ми давали у розділах 1 та 2:

Отже, Обсяги – це частини фізичного тіла і деякі локалізовані області. Кожен обсяг - цілісний психофізичний стан, освіта, що відображає деяку (конгруентну) сукупність певних якостей організму, як цілого. Якщо говорити енергетичною мовою, то Об'єм – певний діапазон енергії, який, при фокусуванні сприйняття на фізичному світі, проявляється у поєднанні тканин, органів, ділянок нервової системи тощо. У досить спрощеному варіанті можна для кожного обсягу знайти найбільш характерну функцію і завдання, яке він виконує в організмі. . Так, функції Копчикового Об'єму можна пов'язати із завданням виживання у всіх його формах (фізичного, соціального, духовного), прояви, народження, становлення... Для Пупкового Об'єму основні завдання (читай – діапазон енергії) – упорядкування, структурування, управління та зв'язування. І так далі. Нас будуть поки що цікавити не конкретні функції обсягів. а загальні механізми роботи з ними.

Кожне переживання, будь-який досвід сприймається нами переважно через той чи інший обсяг. Це стосується будь-якого досвіду – якщо ми хочемо активізувати те чи інше переживання, то збуджується той чи інший Обсяг і ми починаємо сприймати Світ “через нього”. Стосовно психотерапевтичної роботи - коли терапевт звертається до якогось переживання клієнта: "проблемного" або "ресурсного", намагається працювати з якоюсь "частиною особистості", він, тим самим, фокусує свідомість пацієнта в якійсь області того чи іншого обсягу ( до речі, ми коротко згадали функції лише трьох нижніх обсягів тому, що реальне продуктивне фокусування уваги у верхніх обсягах – явище неабияке – тут не все так просто, як описано в книжках). Те саме стосується і Просторів. Простори - схеми сприйняття, що відображають рівні "тонкощі" сприйняття. Один і той же обсяг на різних рівнях сприйняття буде проявлятися по-своєму, зберігаючи свої основні завдання. Так, наприклад, Пупковий Обсяг у Просторі Події проявляється через низку ситуацій, у яких людина щось із чимось пов'язує, упорядковує, управляє тощо., у Просторі Імен – той самий Об'єм проявиться через схематизацію. моделювання, упорядкування думок і поглядів на Світ, побудова планів тощо., у просторі відображень весь емоційний спектр теж буде пофарбований відповідними цьому обсягу завданнями.

Об'ємно-просторову модель організму людини можна умовно подати у вигляді схеми (Рис.3.)

Рис.3. Об'ємно-просторова модель.

На схемі (Рис.3.) наочно видно, кожен Простір охоплює весь спектр енергії певному рівні “тонкощі”, де кожен Об'єм – це “сектор”, який виділяє певний енергетичний діапазон.

Отже – Об'ємно-Просторова Модель дозволяє в Людині та Світі, які сприймаються як динамічні енергетичні структури, виділити різні якості енергії. У сприйнятті ці якості енергії проявляються через певне поєднання найрізноманітніших факторів:

фізіологічних процесів (механічних, теплових, хімічних, електродинамічних), динаміці нервових імпульсів, активізації тих чи інших модальностей, забарвленні емоцій та мислення, поєднанні подій, переплетенні доль; попаданні у відповідні “зовнішні” умови: географічні, кліматичні, соціальні, політичні, історичні, культурні...

Енергопотоки.

Схема, наведена на Рис.3. дає нам енергетичну модель організму людини. З цієї точки зору, все життя людини, як прояв, оформлення цієї енергії або як динаміку самосприйняття, можна уявити у вигляді руху-пульсації деякого “узору” на схемі, де в кожний момент часу активізуються ті чи інші області енергетичного спектру .4.).

Однак динаміка самосприйняття і руху енергії не такі вже й довільні і різноманітні для звичайної людини. Існують області, в яких сприйняття, так би мовити, зафіксоване і досить стійке, деякі області спектра доступні лише зрідка і за особливого збігу обставин. Існують області, практично недоступні для усвідомлення протягом усього життя (для кожної людини різні: для однієї людини недоступне переживання сенсу, інша за все життя так і не пережила по-справжньому своє тіло, третя не в змозі пережити певну якість емоцій, подій, думок і т.п.).

Найбільш ймовірна траєкторія руху та фіксацій сприйняття та усвідомлення визначається Домінантою. Стає зрозуміло, що для того, щоб відірватися від цієї найбільш ймовірної траєкторії та стійких позицій сприйняття, потрібна додаткова енергія і, що найважливіше, вміння направити цю енергію в потрібному напрямку, так, щоб вона не потрапила в напрацьоване стереотипне русло.

Рис.4. Динаміка сприйняття у часі.

Цим і пояснюється наявність важкодоступних і недоступних для сприйняття та усвідомлення діапазонів – зазвичай людина не має цієї додаткової енергії; лише іноді вона може звільнитися внаслідок якихось надзвичайних, найчастіше стресових, обставин, що дозволить сприйняттю зміститися у раніше недоступний діапазон (таке раптове зміщення сприйняття може призвести до появи в людини якихось нових здібностей, недоступних у звичайному стані).

Для більш детального опису цієї ситуації нам потрібно буде звернутися до поняття Енергопотоку. Енергопотік - рух, розвиток точкового імпульсу сприйняття в Об'ємно-Просторовій енергосистемі. Можна сказати ще й так: Енергопотік – динамічне з'єднання різних областей в Індивідуальній Сфері за загальним енергодіапазоном (наприклад, за однією модальністю).

“перебуваючи у безперервному діалозі зі Світом, людина (І.С.) відгукується майже всі сигнали, які надходять “ззовні” рухом Енергопотоків. Причому чутливість І.С. значно вище за поріг сприйняття органів чуття. Відповідно існує безліч неусвідомлених реакцій.

Особливості особистої деформації І.С. створюють постійні характерні індивідуальні Енергопотоки. Те, що ми усвідомлюємо, як відчуття, емоції, думки, рухи тіла та мінливості долі, пам'ять, проекції майбутнього, хвороби, особливості культури та світогляду – все це (і багато іншого) рух Енергопотоків.”

Можна умовно виділити конструктивні та деструктивні Енергопотоки. Конструктивний Е. – динаміка сприйняття, що сприяє усуненню деформацій із І.С. - Жорстких, домінуючих структур. Деструктивний Е. – динаміка сприйняття, що сприяє виникненню нових або підкріпленню наявних деформацій І.С.

У свою чергу, динамікою Енергопотоків ми називатимемо багатофакторний динамічний процес, що переводить сприйняття людини з одного стану в інший (приклад динаміки Енергопотоків зображений на Рис.5.).

У Цілісному організмі можливі будь-які Енергопотоки, для яких він (організм) абсолютно прозорий і проникний. Динаміка Енергопотоків може, у разі, переводити сприйняття у будь-яке становище. (Це еквівалентно тому, що ми назвали наскрізним усвідомленням у Главі 1.).

Динаміка Енергопотоків – процес багатофакторний, т.к. будь-який стан проявляється у вигляді поєднання великої кількості факторів (наприклад, певних відчуттів, характеру рухів. міміки, параметрів голосу, тих чи інших емоцій тощо). Динаміка Енергопотоків переводить один стан в інший (точніше сказати – це процес – безперервна зміна станів) і, відповідно, можуть змінюватись якісь фактори та параметри, через які Енергопотоки виявляються.

Рис.5. Приклад динаміки Енергопотоків, що переводить сприйняття зі стану з жорстко локалізованою структурою (А) у більш Цілісне (Д), в межах одного простору

Якщо тепер звернутися до психотерапії, то виявимо таке:

Пацієнт перебуває у певному стані сприйняття (визначуваному його Домінантою), яке, очевидно, не Цілісно, ​​у його енергетиці є жорстко локалізовані структури, що дає можливості зрушувати сприйняття інші положення. Для виходу з такої ситуації необхідно задати Енергопотоки, що дозволяють зміститися в інший стан, який пацієнт сприйматиме як більш позитивний. У цьому психотерапія, зазвичай, закінчується.

Якщо подивитися з більш загальних позицій, то виявиться, що непацієнт або пацієнт, що вилікувався, за великим рахунком мало чим відрізняється від “хворого”. Відмінність тільки в тому, що "хворий" сприймає свій стан, як дискомфортний, а "здоровий" - як більш - менш комфортний і, можливо, має більше ступенів свободи. Проте, до Цілісності це має жодного стосунку, т.к. і стан "хворого" і "здорового" це, як правило, все одно обмежені, локалізовані та задаються Домінантою фіксації сприйняття.

Цілісність передбачає можливість самостійного завдання будь-яких енергетичних потоків і переживання світу тотально, одномоментно всім організмом.

Динамічний об'єкт - це фізичне тіло, технічний пристрій або процес, що має входи, точки можливого застосування зовнішніх впливів, що сприймають ці впливи, і виходи, точки, значення фізичних величин у яких характеризують стан об'єкта. Об'єкт здатний реагувати на зовнішні дії зміною свого внутрішнього стану та вихідних величин, що характеризують його стан. Вплив на об'єкт, та її реакція у випадку змінюються з часом, вони наблюдаемы, тобто. можуть бути виміряні відповідними приладами. Об'єкт має внутрішню структуру, що складається з динамічних елементів, що взаємодіють.

Якщо вчитатися і вдуматися в наведене вище несуворе визначення, можна побачити, що окремо динамічний об'єкт у "чистому" вигляді, як річ у собі, не існує: для опису об'єкта модель повинна містити ще 4 джерела впливів (генератори):

Середовище та механізм подачі на нього цих впливів

Об'єкт повинен мати протяжність у просторах

Функціонувати у часі

У моделі мають бути вимірювальні пристрої.

Впливом на об'єкт може бути деяка фізична величина: сила, температура, тиск, електрична напруга та інші фізичні величини або сукупність кількох величин, а реакцією, відгуком об'єкта на вплив, може бути рух у просторі, наприклад, зміщення або швидкість, зміна температури, сили струму та ін.

Для лінійних моделей динамічних об'єктів справедливий принцип суперпозиції (накладення), тобто. реакція на сукупність впливів дорівнює сумі реакцій кожне їх, а масштабному зміни впливу відповідає пропорційне зміна реакцію нього. Один вплив може бути доданий до кількох об'єктів або кількох елементів об'єкта.

Поняття динамічний об'єкт містить і висловлює причинно-наслідковий зв'язок між впливом на нього та його реакцією. Наприклад, між силою, прикладеною до масивного тіла, і його положенням і рухом, між електричним напругою, прикладеним до елемента, і струмом, що протікає в ньому.

У загальному випадку динамічні об'єкти є нелінійними, у тому числі вони можуть володіти і дискретністю, наприклад, швидко змінювати структуру при досягненні впливом деякого рівня. Але зазвичай більшу частину часу функціонування динамічні об'єкти безперервні у часі і за малих сигналів вони лінійні. Тому нижче основна увага буде приділена саме лінійним безперервним динамічним об'єктам.

Приклад безперервності: автомобіль, що рухається дорогою - безперервно функціонує у часі об'єкт, його становище залежить від часу безперервно. Значну частину часу автомобіль може розглядатись як лінійний об'єкт, об'єкт, що функціонує в лінійному режимі. І лише при аваріях, зіткненнях, коли, наприклад, автомобіль руйнується, потрібен опис його як нелінійного об'єкта.

Лінійність і безперервність у часі вихідний величини об'єкта просто зручний приватний, але важливий випадок, що дозволяє просто розглянути значну кількість властивостей динамічного об'єкта.

З іншого боку, якщо об'єкт характеризується процесами, які у різних масштабах часу, то часто допустимо і корисно замінити найшвидші процеси їх дискретним у часі зміною.

Дана робота присвячена, перш за все, лінійним моделям динамічних об'єктів при детермінованих впливах. Гладкі детерміновані впливи довільного вигляду можуть бути генеровані шляхом дискретного, порівняно рідкісного адитивного впливу на молодші похідні впливи дозованими дельта - функціями. Такі моделі заможні при порівняно малих впливах для широкого класу реальних об'єктів. Наприклад, саме так формуються сигнали керування в комп'ютерних іграх, що імітують керування автомобілем чи літаком із клавіатури. Випадкові дії поки що залишаються за рамками розгляду.

Спроможність лінійної моделі динамічного об'єкта визначається, зокрема тим, що його вихідна величина досить гладкою, тобто. чи є вона і кілька її молодших похідних за часом безперервними. Справа в тому, що вихідні величини реальних об'єктів змінюються досить плавно у часі. Наприклад, літак не може миттєво переміститися з однієї точки простору до іншої. Більше того, він, як і будь-яке масивне тіло, не може стрибком змінити свою швидкість, на це знадобилася б нескінченна потужність. Але прискорення літака чи автомобіля може змінюватися стрибком.

Поняття динамічний об'єкт не всебічно визначає фізичний об'єкт. Наприклад, опис автомобіля як динамічного об'єкта дозволяє відповісти на питання, як швидко він розганяється і гальмує, як плавно рухається нерівною дорогою і купиною, які впливи будуть відчувати водій і пасажири машини при русі дорогою, на яку гору він може піднятися і т.д. п. Але в такій моделі байдуже, який колір у автомобіля, не важлива його ціна та ін., остільки вони не впливають на розгін автомобіля. Модель повинна відображати головні з точки зору деякого критерію або сукупності критеріїв властивості об'єкта, що моделюється, і нехтувати другорядними його властивостями. Інакше вона буде надмірно складною, що ускладнить аналіз властивостей, що цікавлять дослідника.

З іншого боку, якщо дослідника цікавить саме зміна у часі кольору автомобіля, що викликається різними чинниками, наприклад сонячним світлом чи старінням, то й цього випадку може бути складено і вирішено відповідне диференціальне рівняння.

Реальні об'єкти, як та його елементи, які також можна як динамічні об'єкти, як сприймають впливу деякого джерела, а й самі впливають цей джерело, протидіють йому. Вихідна величина об'єкта управління у часто є вхідний іншого, наступного динамічного об'єкта, яка також, своєю чергою, може проводити режим роботи об'єкта. Т.о. зв'язки динамічного об'єкта із зовнішнім, по відношенню до нього світом, двоспрямовані.

Часто, при вирішенні багатьох завдань, розглядається поведінка динамічного об'єкта тільки в часі, а його просторові характеристики, у випадках, якщо вони безпосередньо не цікавлять дослідника, не розглядаються та не враховуються, за винятком спрощеного обліку затримки сигналу, яка може бути обумовлена ​​часом поширення впливу у просторі від джерела до приймача.

Динамічні об'єкти описуються диференціальними рівняннями (системою диференціальних рівнянь). Багато практично важливих випадках це лінійне, звичайне диференціальне рівняння (ОДУ) чи система ОДУ. Різноманітність видів динамічних об'єктів визначає високу значимість диференціальних рівнянь як універсального математичного апарату їх опису, що дозволяє проводити теоретичні дослідження (аналіз) цих об'єктів і на основі такого аналізу конструювати моделі та будувати корисні для людей системи, прилади та пристрої, пояснювати пристрій навколишнього світу, принаймні у масштабах макросвіту (не мікро- і не мега-).

Модель динамічного об'єкта заможна, якщо вона є адекватною, відповідає реальному динамічному об'єкту. Ця відповідність обмежується деякою просторово-часовою областю та діапазоном впливів.

Модель динамічного об'єкта реалізована, якщо можна побудувати реальний об'єкт, поведінка якого під впливом впливів у певній просторово-часовій області та за деякого класу та діапазону вхідних впливів відповідає поведінці моделі.

Широта класів, різноманіття структур динамічних об'єктів може викликати припущення, що вони разом мають незліченним набором властивостей. Однак спроба охопити і зрозуміти ці властивості, і принципи роботи динамічних об'єктів, у всьому їхньому різноманітті зовсім не така безнадійна.

Справа в тому, що якщо динамічні об'єкти адекватно описуються диференціальними рівняннями, а це саме так, то сукупність властивостей, що характеризують динамічний об'єкт будь-якого роду, визначається сукупністю властивостей, що характеризують його диференціальне рівняння. Можна стверджувати що принаймні для лінійних об'єктів таких основних властивостей існує досить обмежена і порівняно невелика кількість, а тому обмежений і набір основних властивостей динамічних об'єктів. Спираючись на ці властивості та комбінуючи елементи, що володіють ними, можна побудувати динамічні об'єкти з найрізноманітнішими характеристиками.

Отже, основні властивості динамічних об'єктів виведені теоретично з їхньої диференціальних рівнянь і співвіднесені з поведінкою відповідних реальних об'єктів.

Динамічний об'єкт - це об'єкт, що сприймає змінені в часі зовнішні дії і реагує на них зміною вихідної величини. Об'єкт має внутрішню структуру, що складається з динамічних елементів, що взаємодіють. Ієрархія об'єктів обмежена знизу найпростішими моделями та спирається на їх властивості.

Впливом на об'єкт, як та її реакцією, є фізичні, вимірювані величини, може бути і сукупність фізичних величин, математично описувана векторами.

При описі динамічних об'єктів за допомогою диференціальних рівнянь неявно передбачається, що кожен елемент динамічного об'єкта отримує і витрачає стільки енергії (таку потужність), скільки йому потрібно для нормальної роботи відповідно до його призначення з відгуку на впливи, що поступають. Частина цієї енергії об'єкт може отримувати від вхідного впливу і це описується диференціальним рівнянням явно, інша частина може надходити від сторонніх джерел та у диференціальному рівнянні не фігурувати. Такий підхід суттєво спрощує аналіз моделі, не спотворюючи властивостей елементів та всього об'єкта. При необхідності процес обміну енергією із зовнішнім середовищем може бути докладно описаний у явній формі і це будуть також диференціальні та рівняння алгебри.

У деяких випадках джерелом всієї енергії (потужності) для вихідного сигналу об'єкта є вхідний вплив: важіль, розгін масивного тіла силою, пасивний електричний ланцюг та ін.

В загальному випадку вплив може розглядатися як керуючий потоками енергії для отримання необхідної потужності вихідного сигналу: підсилювач синусоїдального сигналу, ідеальний підсилювач і ін.

Динамічні об'єкти, як та його елементи, які також можна як динамічні об'єкти, як сприймають вплив від його джерела, а й самі впливають цього

Просторове об'єднання окремих елементів технічного об'єкта широко поширене завдання проектування у будь-якій галузі техніки: радіоелектроніки, машинобудування, енергетики тощо. буд. алгоритми та програмна реалізація графічних додатків для вирішення цього завдання.

Побудова моделей елементів має універсальний характері і може розглядатися як інваріантна частина багатьох систем просторового моделювання та автоматизованого проектування технічних об'єктів.

Незалежно від можливостей використовуваного графічного середовища характером формування графічних моделей можна виділити три групи елементів:

1.Унікальні елементи, конфігурація та розміри яких не повторюються в інших аналогічних деталях.

2.Уніфіковані елементи, що включають певний набір Фрагментів конфігурацій, притаманних деталей цього класу. Як правило, існує обмежена низка типорозмірів уніфікованого елемента.

3.Складові елементи, що включають як унікальні, так і уніфіковані елементи у довільному наборі. Використані графічні засоби можуть допускати деяку вкладеність складових елементів.

Просторове моделювання унікальних елементів не становить великої складності. Пряме формування конфігурації моделі виконується в інтерактивному режимі, після чого програмна реалізація оформляється на основі протоколу формування моделі або опису текстового отриманого елемента.

2.Почерговий вибір фрагментів просторової конфігурації та визначення їх розмірів;

3.Прив'язка графічної моделі елемента до інших елементів, технічного об'єкта чи системи;

4.Введення додаткової інформації про елемент, що моделюється

Цей підхід формування моделей уніфікованих елементів забезпечує надійну програмну реалізацію.

Модель складових елементів складається із сукупності моделі як унікальних, і уніфікованих елементів. Процедурно модель складеного елемента будується аналогічно моделі уніфікованого елемента, в якій як графічний фрагмент: виступають готові моделі елементів. Основними особливостями є спосіб взаємної прив'язки моделей, що включаються, і механік об'єднання окремих фрагментів у складовий елемент. Останнє визначається головним чином можливостями інструментальних графічних засобів.

Інтеграція графічного середовища та системи управління базами даних (СУБД) технічної інформації забезпечує відкритість системи моделювання для вирішення інших завдань проектування: попередні конструкторські розрахунки, підбір елементної бази, оформлення конструкторської документації (текстової та графічної) та ін. Структура баз даних (БД) визначається як вимогами графічних моделей і інформаційними потребами супутніх завдань. Як інструментальні засоби можна використовувати будь-яку СУБД, що сполучається з графічним середовищем. Найбільш загальний характер має побудова моделей уніфікованих елементів. На першому етапі в результаті систематизації номенклатури елементів, однотипних за призначенням і складом графічних фрагментів, формується гіпотетичний або вибирається існуючий зразок елемента, що моделюється, що володіє повним набором моделюються частин об'єкта.

Методи інтерполяції за дискретно розташованими точками.

Загальне завдання інтерполяції по точках формулюється так: дано ряд точок (вузлів інтерполяції), положення та значення характеристик у яких відомі, необхідно визначити значення характеристик для інших точок, для яких відоме лише положення. При цьому розрізняють методи глобальної та локальної інтерполяції, і серед них точні та апроксимуючі.

При глобальній інтерполяції на всій території одночасно використовується єдина функція обчислення z = F(x, y).У цьому випадку зміна одного значення (х, у)на вході позначається на всій результуючій ЦМР. При локальній інтерполяції часто застосовують алгоритм обчислення для деяких вибірок із загального набору точок, як правило, близько розташованих. Тоді зміна вибору точок позначається лише на результатах обробки невеликої ділянки території. Алгоритми глобальної інтерполяції утворюють згладжені поверхні з невеликою кількістю різких перепадів; вони застосовуються у випадках, якщо ймовірно відома форма поверхні, наприклад тренд. При включенні у процес локальної інтерполяції великої частки загального набору даних вона, власне, стає глобальної.

Точні методи інтерполяції.

Точні методи інтерполяціївідтворюють дані в точках (вузлах), на яких базується інтерполяція, і поверхня проходить через усі точки з відомими значеннями. аналіз сусідства,в якому всі значення моделей, що моделюються, приймаються рівними значенням в найближчій відомій точці. В результаті утворюються полігони Тіссена з різкою зміною значень на кордонах. Такий метод застосовується в екологічних дослідженнях при оцінці зон впливу і більше підходить для номінальних даних.

У методі В-сплайнівбудують шматково-лінійний поліном, що дозволяє створити серію відрізків, які в кінцевому підсумку утворюють поверхню з безперервними першою та другою похідними. Метод забезпечує безперервність висот, ухилів, кривизни. Результуюча ЦМР має растрову форму. Цей метод локальної інтерполяції застосовується, головним чином, для плавних поверхонь і не підходить для поверхонь з чітко вираженими змінами - це призводить до різких коливань сплайну. Він широко використовується в програмах інтерполяції поверхонь загального призначення та згладжування ізолінії при їх малюванні.

У TIN-моделях поверхня в межах кожного трикутника зазвичай представляється площиною. Оскільки для кожного трикутника вона задається висотами трьох його вершин, то в загальній мозаїчній поверхні трикутники для суміжних ділянок точно прилягають по сторонах: поверхня, що утворюється, безперервна. Однак, якщо на поверхні проведені горизонталі, то в цьому випадку вони будуть прямолінійні та паралельні в межах трикутників, а на межах відбуватиметься різка зміна їхнього напрямку. Тому для деяких додатків TIN у межах кожного трикутника будується математична поверхня, що характеризується плавною зміною кутів нахилу на межах трикутників. Аналіз трендів.Поверхня апроксимується многочленом і структура вихідних даних має вигляд функції алгебри, яку можна використовувати для розрахунку значень в точках растру або в будь-якій точці поверхні. Лінійне рівняння, наприклад, z = а + bх + суописує похилу пласку поверхню, а квадратичне z = а + bх+су+dx2 + еху + fy2 -Простий пагорб або долину. Взагалі кажучи, будь-який переріз поверхні т-гопорядку має не більше (т – 1) чергуються максимумів і мінімумів. Наприклад, кубічна поверхня може мати у будь-якому перерізі один максимум і один мінімум. Можливі значні крайові ефекти, оскільки поліноміальна модель надає опуклу поверхню.

Методи ковзного середнього та середнього зваженого на відстанівикористовуються найбільш широко, особливо для моделювання поверхонь, що плавно змінюються. Інтерполовані значення являють собою середню величину значень для пвідомих точок, або середнє, отримане по точках, що інтерполюються, і в загальному випадку зазвичай видаються формулою

Апроксимаційні методи інтерполяції.

Апроксимаційні методи інтерполяціїзастосовуються в тих випадках, коли є певна невизначеність щодо наявних даних про поверхню; в їх основі лежить міркування про те, що в багатьох наборах даних відображається тренд поверхні, що повільно змінюється, на який накладаються місцеві, швидко мінливі відхилення, що призводять до неточностей або помилок у даних. У таких випадках згладжування за рахунок апроксимації поверхні дозволяє зменшити вплив помилкових даних на характер результуючої поверхні.

Методи інтерполяції за ареалами.

Інтерполяція по ареалам полягає у перенесенні даних з одного вихідного набору ареалів (ключового) на інший набір (цільовий) і часто застосовується при районуванні території. Якщо цільові ареали є групуванням ключових ареалів, зробити це просто. Труднощі виникають, якщо межі цільових ареалів не пов'язані з вихідними ключовими.

Розглянемо два варіанти інтерполяції по ареалах: у першому їх результаті інтерполяції сумарне значення інтерполюваного показника (наприклад, чисельності населення) цільових ареалів у повному обсязі не зберігається, у другому - зберігається.

Уявімо, що є дані про чисельність населення для деяких районів із заданими кордонами, і їх потрібно поширити на дрібнішу сітку районування, межі якої загалом не збігаються з першою.

Методика ось у чому. Для кожного вихідного району (ключового ареалу) розраховують щільність населення шляхом поділу загальної кількості мешкаючих на площу ділянки та надають отримане значення центральній точці (центроїду). На основі цього набору точок за допомогою одного з методів, описаних вище, інтерполюється регулярна сітка, для кожного осередку мережі визначається чисельність населення шляхом множення розрахованої густини на площу осередку. Інтерполірована сітка накладається на підсумкову карту, значення по кожному осередку відносяться до кордонів відповідного цільового ареалу. Потім розраховується загальна чисельність населення кожного із підсумкових районів.

До вад методу можна віднести не зовсім чітку визначеність вибору центральної точки; методи інтерполяції за точками неадекватні, і що найважливіше - не зберігається сумарна величина інтерполюваного показника ключових ареалів (у разі загальної чисельності населення зон перепису). Наприклад, якщо вихідна зона розділена на дві цільові, то загальна кількість населення в них після інтерполяції не обов'язково дорівнюватиме чисельності населення вихідної зони.

У другому варіанті інтерполяції застосовують способи ГІС-технології оверлея або побудови гладкої поверхні, що базується на так званій адаптивній інтерполяції.

У першому способі здійснюють накладення ключових та цільових ареалів, визначають частку кожного з вихідних ареалів у складі цільових, величини показника кожного вихідного ареалу ділять пропорційно площам його ділянок у різних цільових ареалах. Вважається, що щільність показника не більше кожного ареалу однакова, наприклад, якщо показник - це загальне населення ареалу, то щільність населення вважається йому постійної величиною.

Метою другого способу є створення гладкої поверхні без уступів (значення атрибутів не повинні різко змінюватися на межах ареалів) та збереження сумарної величини показника в межах кожного ареалу. Методика його така. На картограму, що представляє ключові ареали, накладають густий растр, загальне значення показника для кожного ареалу порівну ділиться між осередками растру, що перекривають її, значення згладжують шляхом заміни величини для кожного осередку растру середнім по околиці (по вікні 2×2, 3× ×5) і підсумовують значення всіх осередків кожного ареалу. Далі значення для всіх осередків коригують пропорційно так, щоб загальне значення показника для ареалу збігалося з вихідним (наприклад, якщо сума менша від початкового значення на 10%, значення для кожної комірки збільшуються на 10%). Процес повторюють доти, доки не. припиняться зміни.

Для описаного методу однорідність у межах ареалів необов'язкова, але дуже сильні варіації показника у межах можуть відбитися як інтерполяції.

Результати можуть бути представлені на карті горизонталями або безперервними напівтонами.

Застосування методу вимагає завдання деяких граничних умов, так як по периферії вихідних ареалів елементи растру можуть виходити за межі області вивчення або сусідити з ареалами, що не мають значення показника, що інтерполюється. Можна, наприклад, привласнити щільності населення значення 0 (озеро тощо) або прийняти її рівною значенням найдальших від центру осередків області вивчення.

При інтерполяції по ареалах можуть виникнути дуже складні випадки, наприклад, коли потрібно створити карту, що показує «ареали розселення», на основі даних про населення окремих міст, особливо якщо ці ареали в масштабі карти є точкою. Проблема виникає й у невеликих вихідних ареалів, коли відсутні файли кордонів, а даних вказується лише положення центральної точки. Тут можливі різні підходи: заміна точок, до яких приписані дані, на кола, радіус яких оцінюється на відстані до сусідніх центроїдів; визначення порогової густини населення для віднесення території до міської; розподіл населення кожного міста на його території так, що в центрі щільність населення вища, а до околиць зменшується; по точках з граничним значенням показника проводять лінії, що обмежують заселені території.

Часто спроба створити безперервну поверхню за допомогою інтерполяції за ареалами за даними, приуроченими лише до точок, призводить до неправильних результатів.

Користувач зазвичай оцінює успішність застосування методу суб'єктивно та, головним чином, візуально. Досі багато дослідників використовують ручну інтерполяцію або інтерполяцію «на вічко» (цей метод зазвичай невисоко оцінюється географами та картографами, проте широко використовується геологами). В даний час робляться спроби «витягти» пізнання експертів за допомогою методів створення баз знань та ввести їх в експертну систему, яка здійснює інтерполяцію.