Синтез системи автоматичного керування методом логарифмічних частотних характеристик. Синтез лінійних сау частотним методом Частотний метод синтезу сау гідності та недоліки

Головна / Основний функціонал

Метод логарифмічних частотних характеристиквикористовується визначення частотних передавальних функцій коригувальних пристроїв, наближають динамічні показники до бажаним. Найбільш ефективно цей метод застосовується для синтезу систем з лінійними або цифровими пристроями, що коригують, оскільки в таких системах частотні характеристики ланок не залежать від амплітуди вхідних сигналів. Синтез САУ методом логарифмічних частотних характеристик включає наступні операції:

На першому етапі за відомою передатною функцією незмінної частини САУ будується її логарифмічна частотна характеристика. Найчастіше досить використання асимптотичних частотних характеристик.

На другому етапі будується бажана логарифмічна частотна характеристика САУ, яка б задовольняла поставленим вимогам. Визначення виду бажаної ЛАЧХ проводиться, виходячи з призначення системи, часу перехідного процесу, перерегулювання та коефіцієнтів помилок. При цьому часто використовуються типові частотні характеристики для систем із різним порядком астатизму. При побудові бажаної ЛАЧХ необхідно бути впевненим, що вид амплітудної характеристики повністю визначає характер перехідних процесів, і немає необхідності розглядати фазову частотну характеристику. Останнє справедливе у разі мінімально-фазових систем, для яких характерна відсутність нулів та полюсів, розташованих у правій напівплощині. При виборі бажаних логарифмічних амплітудних і фазових характеристик важливо, щоб остання забезпечила необхідний запас стійкості при частоті зрізу системи. Для цього використовують спеціальні номограми, вид яких наводиться на рис. 1.

Рисунок 16‑1 Криві для вибору запасу стійкості за амплітудою (а) та фазою (б) залежно від величини перерегулювання

Задовільні якісні показники САУ в динамічних режимах досягаються при перетині амплітудної характеристики осі абсцис з нахилом -20 дБ/дек.

Малюнок 16‑2 Визначення характеристик ПКУ

На останньому етапі порівняння частотних характеристик некоректованої системи та бажаних частотних характеристик визначаються частотні властивості коригуючого пристрою. При використанні лінійних засобів корекції логарифмічна частотна характеристика послідовного коригувального пристрою (ПКУ) може бути знайдена відніманням ЛАЧХ некоригованої системи з бажаної ЛАЧХ САУ, тобто

Отже

Слід зазначити, що з передавальної функції послідовного коригувального пристрою легко визначити передавальні функції ланок у ланцюзі прямого або зворотного зв'язку, за допомогою яких здійснюється корекція динамічних показників САУ.

Наступним етапом є визначення способу реалізації, схеми та параметрів коригуючого пристрою.

Останнім етапом синтезу пристрою корекції є перевірочний розрахунок САУ, який полягає у побудові графіків перехідних процесів для системи з вибраним пристроєм, що коригує. На цьому етапі доцільне використання коштів обчислювальної технікита моделюючих програмних комплексів VinSim, WorkBench, CircuitMaker, MathCAD.

Під синтезом розуміють побудову, створення, проектування, налаштування оптимальної системи стосовно її параметрів. Тому синтезом займаються проектувальники, творці САР. При експлуатації вже створених систем, наприклад, що серійно випускаються, мова може йти тільки про підстроювання параметрів при виході системи з необхідних режимів з тих чи інших причин.

Методи синтезу

1. При створенні САУ необхідного призначення насамперед дбають про те, щоб вона виконувала свої функції управління та регулювання із заданою точністю, мала оптимальний за техніко-економічними показниками склад елементної бази (підсилювачі, регулятори, перетворювачі, двигуни, датчики тощо). ), щоб вона забезпечувала необхідну потужність, швидкість, моменти руху, була простою, надійною, зручною в експлуатації та економічною.

На цьому етапі питання динаміки вдається враховувати лише у грубому наближенні, наприклад – не вибирати елементи свідомо нестійкі, з великими постійними часами, резонансні тощо.

2. Питання забезпечення статичних характеристик, точності відпрацювання команд і високих техніко-економічних показників є для технологічних процесівта економіки центральними та для вирішення найважчими. Тому, незважаючи на те, що без хорошої якостідинамічних режимів САУ не буде прийнято в експлуатацію, синтез її структури для забезпечення необхідних режимів проводиться на другому етапі, коли функціональна схема, склад елементів та параметри системи попередньо встановлені. Поєднати скільки-небудь ефективно обидва етапи не вдається.

Загалом спроектована на першому етапі САУ зазвичай є багатоконтурною структурою зі складною передатною функцією, аналіз якої дає незадовільні результати щодо якості перехідних процесів. Тому її необхідно спростити до бажаних характеристик та скоригувати.

Синтез САУ необхідної якості

Синтез системи повинен проводитись шляхом зміни структури для задоволення необхідним вимогам. Характеристики системи, що відповідають вимогам, називають бажаними характеристиками на відміну від наявних, які мають вихідна неоптимальна система.

Основою побудови бажаних характеристик служать необхідні показники системи: стійкість, швидкодія, точність та ін. Оскільки найбільшого поширення набули логарифмічні частотні характеристики, то розглянемо синтез САУ за бажаними ЛАЧХ та ЛФЧХ.

1. Побудова бажаних характеристик починають із середньочастотної ділянки, що характеризує стійкість, швидкодію та форму перехідного процесу системи. Положення його визначається частотою зрізу с. (Рис.1.8.1).

Частота зрізу визначається за потрібним часом перехідного процесу tпп і допустимим перерегулюванням:

Рис.2.

2. Через точку c проводять середньочастотну асимптоту бажаних показників з нахилом 20 дБ/дек (рис.1.8.1.).
3. Знаходимо низькочастотну складову з 2.

Зазвичай задаються добротністю системи швидкості Dск і прискорення Dск.

Знаходимо частоту

Перетин цієї асимптоти з середньочастотною обмежує її зліва на частоті, що сполучає.

4. Сполучну частоту 3 вибирають так, щоб 3/ 2=0,75 або lg 3-lg 2=0,7дек, що забезпечує умови стійкості.

У цій умові враховано співвідношення:

які можна використовувати для обмеження середньочастотної асимптоти.

Якщо немає обмежень у явному вигляді, то вибирають 2 та 3 з умов (рис.1.8.1,б)

L2=(616)дбLc(c) =-(616)дб(1.8.4)

Збільшення ділянки 3 – 2 недоцільно.

5. Знаходимо низькочастотну складову з 1. За добротністю швидкості визначаємо коефіцієнт посилення

Dск = Kск. (1.8.5)

Відкладаємо на осі частот Kск, проводимо асимптоту з нахилом 20 дБ/дек через цю точку і закінчуємо на перетині з другою асимптотою. Точка перетину є низькочастотною складовою з 1.

6. Перевіряємо на запас стійкості по фазі

фаза на частоті зрізу не повинна перевищувати - з гарантією 45.

7. Перевіряємо виконання умов непопадання бажаної ЛАЧХ до забороненої зони (рис.1.8.1,а).

і LK = 20lgKск, (1.8.7)

де Kск = - коефіцієнт посилення розімкнутої системи або добротність за швидкістю.

Наведемо лише деякі результати розв'язання задачі синтезу САУ та назвемо їх авторів.

До перших результатів розв'язання задачі синтезу САУ слід зарахувати гіперболу І.А. Вишнеградського (1832-1895), за допомогою якої визначається область стійкості та область нестійкості САУ, поведінка якої описується ДК третього порядку. Гіпербол І.А. Вишнеградського спрямовано рішення завдання стабілізації САУ у вигляді «вхід-вихід»; вона дозволяє виділити області аперіодичних і коливальних перехідних процесів. Із результатом І.А. Вишнеградського тісно пов'язана задача модального управління, формалізована Н.М. Розенброком, та аналітичне вирішення цього завдання для скалярного випадку, запропоноване Ю. Аккерманом.

1940 року В.С. Кулебакін сформульований підхід, який можна назвати принципом двоетапного синтезу регуляторів (принцип двоетапної корекції). Зміст його полягає в тому, що на першому етапі вибирається еталонний оператор замкнутої системи (для стаціонарних систем - еталонна передатна функція (ПФ) Wе(s)), а на другому - структурна схема та параметри регулятора, а також виконавчий елемент, що має потужність, забезпечує необхідну швидкодію.

Що стосується класу стаціонарних лінійних САУ, то суттєві результати щодо вибору еталонних передавальних функцій систем, що задовольняють технічним вимогам за деяких типових корисних сигналів, були отримані в роботах В.А. Боднера, Б.М. Петрова, В.В. Солодовнікова, Г.С. Поспєлова, Т.М. Соколова, С.П. Стрєлкова, А.А. Фельдбаум.

При вирішенні завдань синтезу САУ, схильних до впливу випадкових процесів, важливу роль відіграє знаходження динамічних характеристик оптимальної (еталонної) системи. Велике значення у вирішенні цієї проблеми мають роботи Н. Вінера, Л. Заде та Дж. Рагацціні, В.В. Солодовнікова, В.С. Пугачова, П.С. Матвєєва, К.А. Пупкова, В.І. Кухтенко.

У частотному методі, розробленому В.В. Солодовниковим і широке поширення в інженерній практиці, розрахунок проводиться з використанням типових логарифмічних амплітудних частотних характеристик, для яких побудовані докладні номограми показників якості процесів управління. За допомогою цих номограм можна побудувати еталонну амплітудну частотну характеристику (реалізація 1-го етапу) системи, що синтезується, визначити її передатну функцію, знайти частотні характеристики і передатну функцію коригувального пристрою.

Я.З. Ципкіним розглянуто завдання визначення еталонної характеристики замкнутої САУ для випадків, коли показниками якості обрано інтегральне квадратичне відхилення та енергія управління.

Теоретичні становища, є основою рішення завдання синтезу, відбито у роботах Е.П. Попова та В.А. Безсекерського.

Широкий спектр підходів до вирішення завдання побудови ММ еталонної системи, наприклад, з використанням фільтрів Баттерворса, розглянуто А.А. Первозванським.

В.С. Кулебакіним було запропоновано метод синтезу систем автоматичного керування, що описуються лінійними диференціальними рівняннями другого та третього порядків, що задовольняють деяким технічним вимогам. Для таких систем еталонна передатна функція вибирається з умови реалізації заданої форми перехідного процесу. На основі вибраної еталонної передавальної функції можна знайти параметри реальної системи. Такий метод синтезу зветься методом стандартних коефіцієнтів. Характерна особливість цього методу полягає в тому, що параметри, що шукаються, визначаються при вирішенні системи рівнянь, отриманих шляхом прирівнювання коефіцієнтів при відповідних операторах еталонної і реальної передавальних функцій системи управління.

Основними недоліками методу стандартних коефіцієнтів під час вирішення завдання синтезу є у часто нерозв'язність системи рівнянь, що служить визначення параметрів цієї системи.

В.А. Боднером показано, що при включенні певним чином зворотних паралельних пристроїв коригують система стає розв'язною.

Істотні результати, спрямовані на вирішення задачі визначення параметрів елементів, що входять до системи управління та забезпечують рівність еталонної ММ та ММ проектованої системи, отримані В.В. Солодовниковим, В.Г. Сегаліним, Гуллемін, Т.М. Соколовим, В.Р. Евансом, В.А. Боднером, В.С. Кулебакіним, Е.Г. Удерманом та ін.

Для вирішення інженерних завдань розроблялися методи синтезу САУ у таких постановках:

1. Синтез за заданим розташуванням полюсів зображень процесів (передаточної функції), а також з використанням D-розбиття площини коефіцієнтів знаменника зображення (або площини параметрів системи).
2. Синтез за заданим розташуванням полюсів і нулів передавальної функції, у тому числі метод кореневих годографів.
3. Синтез за інтегральними оцінками.
4. Синтез методом подібності амплітудно-фазових та речових частотних характеристик.

Методи синтезу розташування полюсів передавальної функції розглянуті на роботах Г.Н. Микільського, В.К. Попова, Т.М. Соколова, З.Ш. Блоха, Ю.І. Неймарка та ін.

Метод синтезу за заданим (взаємним) розташуванням полюсів і нулів передавальної функції може забезпечити всі показники якості перехідного процесу. Він у роботах С.П. Стрєлкова, Є.П. Попова, Траксела та ін.

Крім того, кореневі методизапропоновано К.Ф. Теодорчик, Г.А. Бендріковим, Г.В. Римським, Гуллемін.

Метод розроблений Н.Т. Кузовковим, дозволяє використовувати зв'язок основних показників якості процесу управління з величинами домінуючих полюсів і нулів синтезованої системи, а також встановити зв'язок цих полюсів і нулів з параметром, що варіюється.

Для визначення частини параметрів використовуються також інтегральні оцінки якості перехідного процесу, що розвиваються на роботах Л.І. Мандельштама, Б.В. Булгакова, В.С. Кулебакіна, А.А. Фельдбаум, А.А. Красовського та ін.

Параметри системи визначаються внаслідок мінімізації функціоналу

де V - у випадку квадратична форма.

Інтеграл I без інтегрування диференціальних рівнянь системи.

Синтез ланок за амплітудно-фазовими характеристиками скоригованої та нескоригованої систем запропонований у роботі О.В. Фатєєва.

А.В. Башаріним розроблено графічний методсинтезу нелінійних систем керування, який може застосовуватися також до систем із змінними параметрами.

Н.М. Соколовим вивчено широкий спектр завдань синтезу лінеаризованих систем автоматичного управління, при цьому основну увагу приділено методам визначення еталонних функцій. Підходи до вирішення задачі синтезу регуляторів, доведення її до алгоритму обчислення параметрів ланцюгів, що коригують, з використанням лінійних диференціальних операторів у класі систем зі змінними параметрами вивчені А.В. Солодовим.

p align="justify"> Зворотні завдання динаміки систем складають один з провідних розділів аналітичної механіки, суть яких полягає в тому, що за заданим описом моделі динамічної системи необхідно знайти систему сил, дія яких породжує її рух із заданими властивостями. Взаємозв'язок задачі формування заданих рухів на виході керованої динамічної системи із зворотними завданнями динаміки розглядали Л.М. Бойчук, О.О. Жевнін, К.С. Колесников, А.П. Крищенко, В.І. Толокнов, Б.М. Петров, П.Д. Крутько, О.П. Попов, Г.Є. Пухов, К.Д. Жук, А.В. Тимофєєв та ін.

Внаслідок дослідження умов придушення (парування) впливу збурень на поведінку об'єкта управління О.С. Востриковим було сформульовано принцип локалізації як структурну вимогу до побудови алгоритмів управління динамічними об'єктами, суть якого полягає у організації у системі управління спеціальної швидкої підсистеми, де локалізуються обурення, вплив яких поведінка об'єкта потрібно паріровать. Метод синтезу САУ, які забезпечують формування заданих показників якості перехідних процесів за умов дії неконтрольованих збурень з урахуванням використання старшої похідної разом із великим коефіцієнтом посилення у законі зворотний зв'язок, було запропоновано роботах А.С. Вострикова і отримав розвиток у методі локалізації. Крім того, як загальна методична основа для синтезу нелінійних систем управління був запропонований принцип локалізації як структурна вимога до проектованої системи управління, що полягає у формуванні спеціальної швидкої підсистеми для придушення впливу сигнальних і параметричних збурень. Структурне уявлення систем, що задовольняють даним принципом, дозволяє виділити контур - «контур локалізації», при цьому розрахунок системи управління зводиться головним чином до вирішення двох завдань: проектування еталонного рівняння та стабілізації швидких процесів у контурі локалізації. Принципу локалізації задовольняють різні типисистем, зокрема, системи зі ковзними режимами, системи з великими коефіцієнтами в законі зворотного зв'язку, а також ряд адаптивних системта систем, близьких за властивостями до адаптивних.

В даний час можна виділити кілька найбільш розвинених напрямів у теорії синтезу систем управління, що дозволяють забезпечити формування необхідних показників якості перехідних процесів по вихідним змінним, а також їх інваріантність по відношенню до змінних характеристик об'єкта та неконтрольованих збурень.

Важливий напрямок - це теорія синтезу систем зі змінною структурою і, зокрема, систем управління з організацією ковзних режимів руху вздовж різноманіття, заданого простором станів об'єкта. Основи цього напряму розглядалися на роботах Е.А. Барбашина, Є.І. Геращенко, С.М. Геращенко, С.В. Ємельянова, Б.М. Петрова, В.І. Уткіна і отримали розвиток у роботах багатьох дослідників. Цей напрямок інтенсивно розвивається і в даний час.

Системи зі змінною структурою (УПС), введені в теорію та практику автоматичного управління С.В. Омеляновим, знаходять великий теоретичний розвиток та практичне застосування. Основна ідея побудови УПС полягає в організації кількох структур регулятора та зміні їх у процесі управління об'єктом таким чином, щоб найбільшою мірою використовувати позитивні властивості кожної зі структур та отримати нові рухи системи, можливо невластиві жодній із окремо взятих структур регулятора. При цьому вся система загалом може отримати якісно нові властивості.

Розв'язання задачі компенсації у вигляді функціональних статечних рядів розглянуто Г. Ван-Трісом. Їм же побудовані алгоритми визначення компенсуючих ядер у прямому ланцюзі та ланцюзі зворотного зв'язку.

К.А. Пупковим, А.С. Ющенко та В.І. Капаліним систематично та з єдиних методологічних позицій викладено теорію нелінійних систем; розроблено методи синтезу регуляторів у класі нелінійних систем, поведінка яких описується функціональними рядами Вольтерра. Клас систем із випадковими параметрами досліджено на роботах Е.А. Федосова та Г.Г. Себрякова, а застосування теорії чутливості – у роботах Р.М. Юсупова.

Апарат багатовимірних імпульсних перехідних функцій (ІПФ), ПФ, частотних характеристик, а також багатовимірних інтегральних перетворень Лапласа та Фур'є дозволив О.М. Кисельову, Б.Л. Шмульяну, Ю.С. Попкову та Н.П. Петрову розробити конструктивні алгоритми ідентифікації та оптимізації нелінійних стохастичних систем, включаючи синтез регуляторів. Я.З. Ципкіним та Ю.С. Попковим розглянуто методи синтезу регуляторів у класі дискретних систем.

А.С. Шаталовим, В.В. Барковським, В.М. Захаровим розглянуто широкий спектр питань щодо проблеми синтезу систем автоматичного управління, результати відображені у їхніх роботах. Апарат обернених завдань динаміки керованих систем використаний П.Д. Крутко для синтезу оператора зворотного зв'язку, а також для вирішення низки інших завдань.

І.А. Орурком розглянуто завдання синтезу в наступній постановці: параметри регулятора визначаються таким чином, щоб:

1) відтворювався перехідний процес hе(t), що відноситься до координати x(t), при обуреннях певного виду; при цьому з допустимою похибкою повинна відтворюватися крива hе(t) її екстремальні значення, швидкість та час перебігу перехідного процесу;
2) забезпечувалася заданий ступінь стійкості та коливальність системи. Конструктивні алгоритми синтезу регуляторів для широкого класу систем із використанням апарату математичного програмування запропоновані І.О. Дідуком, А.С. Орурком, А.С. Коноваловим, Л.А. Осиповим.

В.В. Солодовниковим, В.В. Семеновим та О.М. Дмитрієвим розроблено спектральні методи розрахунку та проектування САУ, що дозволяють побудувати конструктивні алгоритми синтезу регуляторів, В.С. Медведєвим та Ю.М. Астаповим розглянуто алгоритми знаходження еталонних ПФ при випадкових впливах, а також методи синтезу коригувальних пристроїв з використанням логарифмічних частотних характеристик за заданими власними значеннями матриці системи управління лінійними об'єктами за квадратичним критерієм якості.

В.І. Сівцовим та Н.А. Чуліним отримані результати, дозволяють вирішувати завдання автоматизованого синтезу систем управління з урахуванням частотного методу; В.А. Карабановим, Ю.І. Бородіним та А.Б. Іонісіаном розглянуто деякі завдання узагальнення частотного методу на клас нестаціонарних систем. У роботах О.Д. Теряєва, Ф.А. Михайлова, В.П. Булекова та ін. Розглянуто завдання синтезу нестаціонарних систем.

Надзвичайно важкою є проблема синтезу регуляторів у багатовимірних системах. У роботах, що розглядають питання про розв'язання задач синтезу регуляторів при виконанні відомих вимог, отримано відповідні умови розв'язності (Р. Брокетт, М. Месарович). В.В. Солодовніковим, В.Ф. Бірюковим, Н.Б. Філімоновим отримані результати, створені задля вирішення завдань синтезу регуляторів у класі багатовимірних систем; ними запропоновано критерій якості, що адекватно відображає динамічну поведінку багатовимірних систем; сформульовані умови, за яких завдання синтезу можна розв'язати. Цінні результати отримано А.Г. Олександровим. Багатьма авторами (Б. Андерсон, Р. Скотт та ін.) розглянуто підхід, в основу якого покладено «модельну відповідність» синтезованої системи та бажаної моделі. У цьому вся руслі з допомогою методу простору станів перебувають роботи Б. Мура, Л. Силвермана, У. Уонема, А. Морзе та інших. Використовується «геометричний підхід», розглянутий У. Уонемом і Д. Персоном.

Однією з проблем, пов'язаних із синтезом регуляторів у класі багатовимірних систем, є проблема «розв'язки» каналів. У руслі вирішення цієї проблеми знаходяться роботи Є. Джильберта, С. Уанга, Є. Девісона, В. Воловича, Г. Бенгстона та ін.

Питання синтезу регуляторів у багатовимірних системах з використанням різних підходів викладено у роботах О.М. Смагіна, X. Розенброка, М. Явдана, А.Г. Александрова, Р.І. Івановського, А.Г. Таранова.

С. Кант та Т. Калат вивчили «проблему мінімального проектування». Питання, пов'язані з діагональною домінантністю, вивчали О.С. Соболєвим, X. Розенброком, Д. Хаукінсом.

Окремим питанням проблеми синтезу багатовимірних систем присвячено роботи М.В. Меєрова, Б.Г. Ільясова. Діяльність Е.А. Федосова розглянуто перспективні методи проектування багатовимірних динамічних систем.

Сучасний період розвитку теорії управління характеризується постановкою і вирішенням завдань, що враховують неточність наших знань про об'єкти управління та зовнішніх збурень, що діють на них. Завдання синтезу регулятора та оцінювання стану з урахуванням невизначеності в моделі об'єкта та характеристиках вхідних впливів є одними з центральних у сучасній теорії управління. Їх важливість обумовлена насамперед тим, що практично в будь-якому інженерному завданні конструювання САУ є невизначеність у моделі об'єкта та у знанні класу вхідних збурень.

Вирішенню проблем теорії автоматичного управління, що визначають прогрес науки про управління останні десятиліття, присвячені книги І.В. Мірошника, В.О. Никифорова та А.Л. Фрадкова, Б.Р. Андрієвського та А.Л. Фрадкова, С.В. Ємельянова та С.К. Коровіна, В.М. Афанасьєва, В.Б. Колмановського та В.Р. Носова.

Монографія В. Д. Юркевича присвячена проблемам синтезу безперервних та дискретних САУ в умовах неповної інформації про зовнішні неконтрольовані обурення при змінних параметрах об'єкта управління.

Нові підходи відбито у монографії В.А. Подчукаєвим, де отримано розв'язання задач синтезу у явному вигляді (в аналітичній формі) без використання будь-яких ітераційних чи пошукових процедур.

Результати, що характеризують сучасний етап розвитку важливих напрямів теорії автоматичного керування, отримані Є.А. Федосовим, Г.Г. Себряковим, С.В. Ємельяновим, С.К. Коровіним, А.Г. Бутковським, С.Д. Земляковим, І.Є. Козаковим, П.Д. Крутько, В.Ю. Бутковським, А.С. Ющенко, І.Б. Ядикіним та іншими.

Слід зазначити, що підручники, що вийшли за останні роки, зачіпають, як правило, лише окремі сторони сучасної теорії. Деяку інформацію можна отримати із статей та оглядів російською мовою, проте все це дає лише мозаїчну картину предмета. У книзі Б.Т. Поляка та П.С. Щербакова «Робасна стійкість та управління» дано систематичний виклад сучасної теорії управління.

В останні десятиліття опубліковано низку монографій та статей, пов'язаних з розглядом таких проблем, як застосування в теорії систем геометричних методів, теорії катастроф та теорії хаосу, адаптивного та робастного управління, класу інтелектуальних систем та нейрокомп'ютерів та ін.

Введено поняття біфуркацій, розглядаються відповідні визначення, класу операторів визначено точки біфуркації, тобто. точки, у яких у рівнянні з відповідним оператором відбувається народження нового, нетривіального розв'язання цього рівняння. Показано також, що хаотична поведінка динамічних систем визначається високою чутливістю до початкових умов та неможливістю передбачення поведінки на великому інтервалі часу.

Розглянуто деякі положення робастного управління. Проектувальник часто не має в своєму розпорядженні повною інформацієюпро моделі об'єктів, тобто. останні містять невизначеності і, таким чином, мають місце інформаційні обмеження, наприклад, при проектуванні нових технологічних процесів, об'єктів нової техніки та ін. класичної теорії управління засновані на припущенні, що всі характеристики керованого процесу відомі заздалегідь і тому можливе використання закону управління, заданого у явній формі, то за умов невизначеності завдання забезпечення необхідної якості управління забезпечується застосуванням методів робастного управління.

При проектуванні систем автоматичного управління часто використовують властивість адаптації, коли недостатній ступінь апріорної інформації заповнюється обробкою відповідних алгоритмів поточної інформації. Системи, що мають властивість адаптації (що дозволяє скоротити терміни їх проектування, налагодження та випробувань), називають адаптивними.

З урахуванням сказаного можна поставити питання вирішення проблеми оптимізації в умовах неповної апріорної інформації (адаптивне оптимальне управління).

Вивчення теорії автоматичного управління без урахування фізичних процесів, що протікають у проектованій системі, може призвести до повної безпорадності у постановці та вирішенні практичних завдань. Тому приділяється велика увага вивченню та застосуванню чисельних методів для дослідження та синтезу досить складних автоматичних системз метою дати уявлення про реально використовувані алгоритми та такі поняття, як коректність, стійкість та обумовленість обчислювальних схем.

Завдання корекції полягає в підвищенні точності систем як в режимах, що встановилися, так і в перехідних. Вона виникає тоді, коли прагнення зменшити помилки управління в типових режимах призводить до необхідності використання таких значень коефіцієнта посилення розімкнутої САУ, при яких без вживання спеціальних заходів (установки додаткових ланок - пристроїв, що коригують) система виявляється нестійкою.

Типи коригувальних пристроїв

Розрізняють три види основних коригувальних пристроїв (Рис.6.1): послідовні (W к1 (p)), у вигляді місцевого зворотного зв'язку (W к2 (p)) та паралельні (W к3 (p)).

Рис.6.1. Структурні схемикоригувальних пристроїв.

Спосіб корекції за допомогою послідовних коригувальних пристроїв простий у розрахунках та легко технічно реалізується. Тому він знайшов широке застосування, особливо під час корекції систем, у яких використовуються електричні ланцюгиіз немодульованим сигналом. Послідовні коригувальні пристрої рекомендується застосовувати в системах, де немає дрейфу параметрів ланок. В іншому випадку потрібне підстроювання параметрів корекції.
Корекція систем керування за допомогою паралельного коригуючого пристрою ефективна, коли є необхідність високочастотного шунтування інерційних ланок. У цьому випадку формуються досить складні закони управління з введенням похідних та інтегралів від сигналу помилки з усіма недоліками, що з цього випливають.
Корекція місцевим (локальним) зворотним зв'язком використовується в системах автоматичного керування найчастіше. Перевагою корекції у вигляді місцевого зворотного зв'язку є істотно послаблення впливу нелінійностей характеристик ланок, що входять до місцевого контуру, а також зниження залежності параметрів регуляторів від дрейфу параметрів пристроїв.
Використання тієї чи іншої виду коригувальних пристроїв, тобто. послідовних ланок, паралельних ланок або зворотних зв'язків, Визначається зручністю технічної реалізації. У цьому випадку передатна функція розімкнутої системи повинна бути однією і тією ж при різному включенні коригувальних ланок:

Наведена формула (6.1) дозволяє зробити перерахунок одного типу корекції на інший, щоб вибрати найбільш простий і реалізований.

Кафедра Дистанційного та Заочного

Синтез САУ

Синтез системи – це спрямований розрахунок, метою якого є: побудова раціональної структури системи; знаходження оптимальних величин параметрів окремих ланок. При множині можливих рішеньСпочатку потрібно сформулювати технічні вимоги до системи. А за умови накладених на САУ певних обмежень необхідно вибрати критерій оптимізації – статична та динамічна точність, швидкодія, надійність, витрати енергії, ціна тощо.
При інженерному синтезі ставляться завдання: досягнення необхідної точності; забезпечення певного характеру перехідних процесів. У цьому випадку синтез зводиться до визначення виду та параметрів коригувальних засобів, які необхідно додати до незмінної частини системи, щоб забезпечити показники якості не гірше за задані.
Найбільшого поширення інженерної практиці отримав частотний метод синтезу з допомогою логарифмічних частотних характеристик.
Процес синтезу системи управління включає наступні операції:
- побудова ЛАЧХ L 0 (ω) вихідної системи W 0 (ω), що складається з регульованого об'єкта без регулятора та без коригувального пристрою;
- побудова низькочастотної частини бажаної ЛАЧХ на основі вимог точності (астатизму);
- побудова середньочастотної ділянки бажаної ЛАЧХ, що забезпечує задане перерегулювання та час регулювання t п САУ;
- узгодження низько-з середньочастотним ділянкою бажаної л.а.г. за умови отримання найбільш простого пристрою, що коригує;
- уточнення високочастотної частини бажаної л.а.г. на основі вимог щодо забезпечення необхідного запасу стійкості;
- визначення виду та параметрів послідовного коригувального пристрою L ку (ω) = L ж (ω) - L 0 (ω), т.к. W ж (р) = W ку (р) * W 0 (р);
- технічна реалізація коригувальних пристроїв. У разі потреби проводиться перерахунок на еквівалентну паралельну ланку або ОС;
- перевірочний розрахунок та побудова перехідного процесу.
Побудова бажаної л.а.г. виробляється вроздріб.
Низькочастотна частина бажаної л.а.г. формується з умови забезпечення необхідної точності роботи системи управління в режимі, що встановився, тобто з умови того, що встановилася помилка системи Δ() не повинна перевищувати задане значення Δ()≤Δ з.
Формування забороненої низькочастотної області для бажаної л.а.г. можливо різними способами. Наприклад, при подачі на вхід синусоїдального сигналу потрібно забезпечити такі допустимі показники: m - максимальна амплітуда помилки; v m – максимальну швидкість стеження; ε m – максимальне прискорення стеження. Раніше було показано, що амплітуда помилки при відтворенні гармонійного сигналу m = g m / W(jω k) , тобто. визначається модулем передавальної функції розімкнутої САУ та амплітудою вхідного впливу g m . Для того, щоб помилка САУ не перевищувала Δ з, бажана л.а.г. повинна проходити не нижче контрольної точки А з координатами: ω=ω к, L(ω к)= 20lg|W(jω k)| = 20lg m/Δm.
Відомі співвідношення:
g(t) = g m sin(ω k t); g"(t) = g m (ω k t); g""(t) = -g m k 2 sin(ω k t);
vm = gmk; ε m = g m ω k 2; g m = v m 2 / ε m; ω k = ε m / v m. (6.2)
Заборонена область, що відповідає системі з астатизмом 1-го порядку і забезпечує роботу з необхідною похибкою по амплітуді стеження, швидкості та прискорення стеження, представлена на рис. 6.2.

Рис.6.2. Заборонена область бажаної л.а.г.

Добротність за швидкістю K ν = v m / Δ m , добротність за прискоренням K ε = ε m / Δ m . У разі, якщо потрібно забезпечити лише статичну помилку регулювання при подачі на вхід сигналу g(t)=g 0 =const, то низько-частотний ділянку бажаної л.а.х. повинен мати нахил 0 дБ/дек і проходити на рівні 20lgK тр, де К тр (необхідний коефіцієнт посилення розімкнутої САУ) розраховується за формулою

Δ з ()=ε ст =g 0 /(1+ К тр), звідки К тр ≥ -1.

Якщо потрібно забезпечити стеження із заданою точність від впливу g(t)=νt при ν=const, то швидкісна помилка ε ск () =ν/К тр. Звідси знаходиться К тр =ν/ε cк і проводиться низькочастотна частина бажаної ЛАХ з нахилом -20 дБ/дек через добротність за швидкістю К ν = К тр =ν/ε cк або точку з координатами: ω=1 c -1, L( 1) = 20lgk тр дБ.
Як було показано раніше, середньочастотна ділянка бажаної л.а.г. забезпечує основні показники якості перехідного процесу - перерегулювання і час регулювання t п. Середньочастотний ділянку бажаної л.а.х. повинен мати нахил -20 дБ/дек і перетинати вісь частот на частоті зрізу ω ср, яка визначається за номограм В.В.Солодовникова (рис.6.3). Рекомендується враховувати порядок астатизму проектованої системи та вибирати ω ср за відповідною номограмою.

Рис.6.3. Номограми якості Солодовнікова:
а – для астатичних САУ 1-го порядку; б – для статичних САУ

Так, наприклад, для σ m =35% і t п =0.6 с, користуючись номограмою (рис.6.3,а) для астатичної системи 1-го порядку, отримаємо t п =4.33 π/ω ср або ω ср =21.7 с -1 .
Через ср =21.7 з -1 необхідно провести пряму з нахилом -20 дБ/дек, а ширина середньочастотної ділянки визначається з умови забезпечення необхідного запасу стійкості по модулю і фазі. Відомі різні підходи до встановлення запасів стійкості. Необхідно пам'ятати, що чим вище в системі частота зрізу, тим більша ймовірність того, що при розрахунках позначиться похибка малих постійних часу окремих пристроїв САУ. Тому рекомендується зі зростанням ω ср штучно збільшувати запаси стійкості по фазі та модулю. Так, для двох типів САУ рекомендується користуватися наведеною в таблиці. При високих вимогах до якості перехідних процесів, наприклад,

20%<σ m <24%; ,

25%<σ m <45%; ,

рекомендуються такі середні показники стійкості: φ зап = 30 °, H м = 12 дБ, - H м = 10 дБ.
На рис.6.4 наведено вид середньочастотної ділянки бажаної л.а.х., ширина якого забезпечує необхідні запаси стійкості.

Рис.6.4. Середньочастотна частина бажаної л.а.г.

Після цього ділянки середніх і низьких частот сполучаються відрізками прямих з нахилами -40 або -60 дБ/дек з умови отримання найпростішого пристрою, що коригує.
Нахил високочастотної ділянки бажаної л.а.г. рекомендується залишити рівним нахилу високочастотної ділянки л.а.г. У цьому випадку коригуючий пристрій буде більш захищеним. Узгодження середньо- та високочастотних ділянок бажаної л.а.г. також проводиться з урахуванням отримання простого коригувального пристрою та, крім того, забезпечення потрібних запасів стійкості.
Передатна функція бажаної розімкнутої системи W ж (p) знаходиться на вигляд бажаної л.а.х. L ж (?). Потім будуються фазова частотна характеристика бажаної розімкнутої САУ та перехідна характеристика бажаної замкнутої системи та оцінюються реально отримані показники якості проектованої системи. Якщо вони задовольняють необхідним значенням, то побудова бажаної л.а.г. вважається закінченим, інакше побудовані бажані ЛЧХ необхідно скоригувати. Для зниження перерегулювання розширюють середньочастотну ділянку бажаної л.а.г. (Збільшують значення ±H м). Для підвищення швидкодії системи необхідно збільшити частоту зрізу.
Для визначення параметрів послідовного коригувального пристрою необхідно:
а) відняти з бажаної л.а.г. L ж наявну л.а.г. L 0, тобто. знайти л.а.г. мінімально-фазового коригувального пристрою L ку;
б) на вигляд л.а.х. послідовного коригуючого пристрою L ку написати його передатну функцію і користуючись довідковою літературою підібрати конкретну схему та реалізацію.
На рис.6.5 наведено приклад визначення передавальної функції послідовного коригувального пристрою.

Рис.6.5. ЛАХ L 0 , бажаної L ж розімкнутої системи
та послідовного коригувального пристрою L ку

Після графічного віднімання отримуємо наступну передатну функцію коригувального пристрою

Паралельний коригуючий пристрій або коригуючий пристрій у вигляді місцевого зворотного зв'язку може бути отриманий перерахунком за формулою (6.1).
За отриманою передатною функцією W ку (р) необхідно спроектувати реальний коригуючий пристрій, який може бути реалізований апаратно або програмно. У разі апаратної реалізації потрібно підібрати схему та параметри коригувального ланки. У літературі є таблиці типових коригувальних пристроїв як пасивних, і активних, як у постійному, і змінному струмі. У тому випадку, якщо використовується для управління САУ ЕОМ, то краще програмна реалізація.

© В.М. Бакаєв, Вологда 2004. Розробка електронної версії: М.А.Гладишев, І.А. Чуранів.
Вологодський державний технічний університет.
Кафедра Дистанційного та Заочного навчання

Великого поширення набули нині системи, побудовані за принципом підлеглого регулювання, що пояснюється рис.6.6. У системі передбачається n контурів регулювання зі своїми регуляторами W pi (p), причому вихідний сигнал регулятора зовнішнього контуру є вказаним значенням внутрішнього контуру, тобто. робота кожного внутрішнього контуру підпорядкована зовнішньому контуру.

Рис.6.6. Структурна схема САУ підпорядкованого регулювання

Два основних переваги визначають роботу систем підлеглого регулювання.
1. Простота розрахунку та налаштування. Налаштування в процесі налагодження ведеться з внутрішнього контуру. Кожен контур включає регулятор, за рахунок параметрів і структури якого виходять стандартні характеристики. Причому кожному контурі компенсується найбільша постійна часу.
2. Зручність обмеження граничних значень проміжних координат системи. Це досягається за рахунок обмеження певним значенням вихідного сигналу регулятора зовнішнього контуру.
Разом з тим, з принципу побудови системи підпорядкованого регулювання очевидно, що швидкодія кожного зовнішнього контуру буде нижчою за швидкодію відповідного внутрішнього контуру. Дійсно, якщо в першому контурі частота зрізу л.а.г. становитиме 1/2T μ , де 2T μ - сума малих некомпенсованих постійних часу, то навіть за відсутності у зовнішньому контурі інших ланок з малими постійними часом, частота зрізу його л.а.г. буде 1/4T μ і т.д. Тому системи підлеглого регулювання рідко будуються із кількістю контурів більше трьох.
Візьмемо типовий контур рис.6.7 і налаштуємо його на модульний (МО) та симетричний (СО) оптимуми.

Рис.6.7. Схема типового контуру

На схемі рис.6.7 позначені: Т μ – сума малих постійних часу;
Т про - велика постійна часу, що підлягає компенсації; До ε і К O - відповідно коефіцієнти посилення блоків з малими постійними часами та об'єктом управління. Слід зазначити, що від типу ланки, постійну час якої слід компенсувати, залежить і тип регулятора W p (p). Він може бути П, І, ПІ та ПІД. Як приклад візьмемо ПІ - регулятор:

Для модульного оптимуму виберемо параметри:

Тоді передатна функція розімкнутого контуру матиме вигляд:

Логарифмічні частотні характеристики, що відповідають передавальній функції W(p), зображені на рис.6.8,а.

Рис.6.8. ЛЧХ і h(t) при модульному налаштуванні

При ступінчастому управляючому вплив вихідна величина вперше досягає встановленого значення через час 4,7Тμ, перерегулювання становить 4,3%, а запас по фазі 63 ° (рис.6.8, б). Передатна функція замкнутої САУ має вигляд

Якщо уявити характеристичне рівняння замкнутої САУ як Т 2 р 2 +2ξТр+1=0, то коефіцієнт демпфування при модульному оптимумі має величину . У водночас видно, що час регулювання залежить від великої постійної часу Т о. Система має астатизм першого порядку. При налаштуванні системи на симетричний оптимум вибирають параметри ПІ – регулятора таким чином:

Тоді передатна функція розімкнутого контуру має вигляд

Відповідні їй логарифмічні частотні характеристики та графік перехідного процесу представлені на рис.6.9.

Рис.6.9. ЛЧХ та h(t) при налаштуванні на симетричний оптимум

Час першого досягнення вихідний величиною встановленого значення становить 3,1Т μ, максимальне перерегулювання досягає 43%, запас по фазі -37°. САУ набуває астатизму другого порядку. Слід зазначити, що ланка з найбільшою постійної часу є аперіодичне 1-го порядку, то з ПІ - регулятором при Т о =4Т μ перехідні процеси відповідають процесам при налаштуванні на МО. Якщо то<4Т μ , то настройка регулятора на τ=Т μ теряет смысл. Необходимо выбрать другой тип регулятора.
У ТАУ відомі інші типи оптимальних налаштувань регуляторів, наприклад:
- биномиальная, коли характеристичне рівняння САУ представляється як (p+ω 0) n - де ω 0 - модуль n - кратного кореня;
- Батерворт, коли характеристичні рівняння САУ різних порядків мають вигляд

Ці налаштування доцільно застосовувати, коли в системі використовується модальне керування за кожною координатою.

© В.М. Бакаєв, Вологда 2004. Розробка електронної версії: М.А.Гладишев, І.А. Чуранів.
Вологодський державний технічний університет.

Побудова перехідного процесу

Існують три групи методів побудови перехідних процесів: аналітичні; графічні, що використовують частотні та перехідні характеристики; побудова перехідних процесів з допомогою ЕОМ. У найскладніших випадках використовують ЕОМ, які дозволяють крім моделювання САУ, підключати до машини окремі частини реальної системи, тобто. близькі до експериментального методу. Перші дві групи використовуються переважно у разі простих систем, і навіть на етапі попереднього дослідження за значного спрощення системи.
Аналітичні методи ґрунтуються на розв'язанні диференціальних рівнянь системи або визначенні зворотного перетворення Лапласа від передавальної функції системи.
Розрахунок перехідних процесів за частотними характеристиками використовують тоді, коли аналіз САУ від початку ведеться частотними методами. В інженерній практиці для оцінки показників якості та побудови перехідних процесів у системах автоматичного управління набув поширення метод трапецеїдальних частотних характеристик, розроблений В.В.Солодовниковим.
Встановлено, що й у систему діє одиничний задає вплив, тобто. g(t)=1(t), а початкові умови є нульовими, то реакцію системи, яка є перехідною характеристикою, в цьому випадку можна визначити як

(6.3)
(6.4)

де P(ω) - речова частотна характеристика замкнутої системи; Q(ω) - уявна частотна характеристика замкнутої системи, тобто. Фg(jω)=P(ω)+jQ(ω).
Метод побудови полягає в тому, що побудовану речову характеристику P(ω) розбивають на ряд трапецій, замінюючи приблизно криві лінії прямолінійними відрізками так, щоб при складанні всіх ординат трапецій вийшла вихідна характеристика рис.6.10.

Рис.6.10. Речовина характеристика замкнутої системи

де: ω рi і ω срі - відповідно частота рівномірного пропускання і частота зрізу кожної трапеції.
Потім кожної трапеції визначається коефіцієнт нахилу ω рi /ω срi і з таблиці h-функцій будуються перехідні процеси від кожної трапеції hi. У таблиці h-функцій надано безрозмірний час τ. Для отримання реального часу t i необхідно розділити на частоту зрізу даної трапеції. Перехідний процес кожної трапеції необхідно збільшити в P i (0) раз, т.к. у таблиці h-функцій дано перехідні процеси від одиничних трапецій. Перехідний процес САУ виходить підсумовуванням алгебри побудованих h i процесів від усіх трапецій.

Запитання по темі №6

1. Що розуміється під поліпшенням якості процесу управління та як це досягається?
2. Назвіть стандартний лінійний закон керування.
3. Розкажіть про типові закони управління та типові регулятори.
4. Яке призначення коригувальних пристроїв? Вкажіть способи їх включення та особливості.
5. Поясніть постановку задач синтезу систем.
6. Перерахуйте етапи синтезу систем.
7. Поясніть побудову бажаної ЛАХ проектованої системи.
8. Як формується передатна функція розімкнутої проектованої системи?
9. Як визначаються передавальні функції коригувальних пристроїв?
10. Які переваги та недоліки паралельних та послідовні коригувальних пристроїв?
11. Як користуються номограмами "замикання"?
12. Перерахуйте методи побудови перехідних процесів.
13. Як за речовою характеристикою визначити значення перехідного процесу?
14.Як змінити бажану л.а.г. підвищення запасів стійкості?

© В.М. Бакаєв, Вологда 2004. Розробка електронної версії: М.А.Гладишев, І.А. Чуранів.
Вологодський державний технічний університет.
Кафедра Дистанційного та Заочного

Тема №7: Нелінійні САУ

Вступ

Більшість показників реальних пристроїв у випадку є нелінійними і з них неможливо знайти лінеаризовані, т.к. мають розриви другого роду і до них шматково-лінійна апроксимація не застосовується. Роботу реальних ланок (пристроїв) можуть супроводжувати такі явища як насичення, гістерезис, люфт, наявність зони нечутливості і т.д. Нелінійності можуть бути природними та штучними (навмисно введені). Природні нелінійності притаманні системам з нелінійного прояви фізичних процесів і властивостей в окремих пристроїв. Наприклад, механічна характеристика асинхронного двигуна. Штучні нелінійності вводяться розробниками у системи, щоб забезпечити необхідну якість роботи: для оптимальних по швидкодії систем застосовують релейне управління, наявність нелінійних законів у пошукових та безпошукових екстремальних системах, системи зі змінною структурою тощо.
Нелінійною системоюназивається така система, до складу якої входить хоча б один елемент, лінеаризація якого неможлива без втрати істотних властивостей системи управління загалом. Істотними ознаками нелінійності є: якщо деякі координати або їх похідні за часом входять до рівняння у вигляді творів чи ступеня, відмінного від першого; якщо коефіцієнти рівняння є функціями деяких координат чи їх похідних. При складанні диференціальних рівнянь нелінійних систем спочатку становлять диференціальні рівняння кожного пристрою системи. При цьому характеристики пристроїв, що допускають лінеаризацію, лінеаризуються. Елементи, що не допускають лінеаризації, називаються суттєво нелінійними. В результаті одержують систему диференціальних рівнянь, в якій одне або кілька нелінійних рівнянь. Пристрої, що допускають лінеаризацію, утворюють лінійну частину системи, а пристрої, які не можуть бути лінеаризовані, становлять нелінійну частину. У найпростішому випадку структурна схема САУ нелінійної системи є послідовним з'єднанням безінерційного нелінійного елемента і лінійної частини, охопленим зворотним зв'язком (рис.7.1). Оскільки для нелінійних систем не застосовується принцип суперпозиції, то, проводячи структурні перетворення нелінійних систем, єдиним обмеженням проти структурними перетвореннями лінійних систем, те, що не можна переносити нелінійні елементи через лінійні і навпаки.

Рис. 7.1. Функціональна схема нелінійної системи:
НЕ – нелінійний елемент; ЛЧ – лінійна частина; Z(t) та X(t)
відповідно вихід та вхід нелінійного елемента.

Класифікація нелінійних ланок можлива за різними ознаками. Найбільшого поширення набула класифікація за статичними та динамічними характеристиками. Перші у вигляді нелінійних статичних характеристик, а другі - як нелінійних диференціальних рівнянь. Приклади таких характеристик наведені у . На рис.7.2. наведено приклади однозначних (без пам'яті) та багатозначних (з пам'яттю) нелінійних характеристик. У цьому випадку враховується напрямок (знак) швидкості сигналу на вході.

Рис.7.2. Статичні характеристики нелінійних елементів

Поведінка нелінійних систем за наявності суттєвих нелінійностей має ряд особливостей, відмінних від поведінки лінійних САУ:
1. вихідна величина нелінійної системи непропорційна вхідному впливу, тобто. параметри нелінійних ланок залежить від величини вхідного впливу;
2. перехідні у нелінійних системах залежить від початкових умов (відхилень). У зв'язку з цим, для нелінійних систем запроваджено поняття стійкості "у малому", "у великому", "загалом". Система стійка "у малому", якщо вона стійка при малих (нескінченно малих) початкових відхиленнях. Система стійка "у великому", якщо вона стійка при великих (кінцевих за величиною) початкових відхиленнях. Система стійка "в цілому", якщо вона стійка за будь-яких великих (необмежених за величиною) початкових відхилень. На рис.7.3 наведені фазові траєкторії систем: стійкої "в цілому" (а) та системи стійкої "у великому" та нестійкої "в малому" (б);

Рис.7.3. Фазові траєкторії нелінійних систем

3. для нелінійних систем характерний режим незагасаючих періодичних коливань з постійною амплітудою та частотою (автоколивань), що виникає в системах за відсутності періодичних зовнішніх впливів;
4. при загасаючих коливаннях перехідного процесу в нелінійних системах можлива зміна періоду коливань.
Ці особливості зумовили відсутність загальних підходів під час аналізу та синтезу нелінійних систем. Розроблені методи дозволяють вирішувати лише локальні нелінійні завдання. Усі інженерні методи дослідження нелінійних систем поділяються на дві основні групи: точні та наближені. До точних методів відноситься метод А. М. Ляпунова, метод фазової площини, метод точкових перетворень, частотний метод В. М. Попова. Наближені методи засновані на лінеаризації нелінійних рівнянь системи із застосуванням гармонійної чи статистичної лінеаризації. Межі застосування того чи іншого методу будуть розглянуті нижче. Слід зазначити, що у найближчому майбутньому є необхідність подальшого розвитку теорії та практики нелінійних систем.
Потужним та ефективним методом дослідження нелінійних систем є моделювання, інструментарієм якого є комп'ютер. В даний час багато складних для аналітичного рішення теоретичних і практичних питань порівняно легко можуть бути вирішені за допомогою обчислювальної техніки.
Основними параметрами, що характеризують роботу нелінійних САУ, є:
1. Наявність чи відсутність автоколивань. Якщо автоколивання є, необхідно визначити їх амплітуду і частоту.
2. Час виходу регульованого параметра режим стабілізації (швидкість).
3. Наявність або відсутність режиму ковзання.
4. Визначення особливих точок та особливих траєкторій руху.
Це не повний перелік досліджуваних показників, які супроводжують роботу нелінійних систем. Системи екстремальні, самоналаштовуються, зі змінними параметрами вимагають оцінки та додаткових властивостей.

Ідея методу гармонійної лінеаризації належить Н.М. Крилову та Н.М. Боголюбову і базується на заміні нелінійного елемента системи лінійною ланкою, параметри якого визначаються при гармонійному вхідному впливі з умови рівності амплітуд перших гармонік на виході нелінійного елемента та еквівалентної лінійної ланки. p align="justify"> Метод є наближеним і може бути використаний тільки у випадку, коли лінійна частина системи є фільтром низьких частот, тобто. відфільтровує всі виникаючі на виході нелінійного елемента гармонійні складові, крім першої гармоніки. При цьому лінійна частина може бути описана диференціальним рівнянням будь-якого порядку, а нелінійний елемент може бути однозначним, так і багатозначним.
У основі методу гармонійної лінеаризації (гармонічного балансу) лежить припущення, що у вхід нелінійного елемента подається гармонійний вплив із частотою і амплітудою А, тобто. x = А sin?t. У припущенні, що лінійна частина є фільтром низьких частот, спектр вихідного сигналу лінійної частини обмежується лише першою гармонікою, яка визначається поруч Фур'є (у цьому і полягає наближеність методу, тому що вищі гармоніки викидаються з розгляду). Тоді зв'язок між першою гармонікою вихідного сигналу та вхідним гармонійним впливом нелінійного елемента представляється у вигляді передавальної функції:

(7.1)

Рівняння (7.1) називається рівнянням гармонійної лінеаризації, а коефіцієнти q і q" - коефіцієнтами гармонійної лінеаризації, що залежать від амплітуди А і частоти ω вхідного впливу. Для різних видів нелінійних характеристик коефіцієнти гармонійної лінеаризації зведені в таблицю. Слід зазначити. q"(А)=0. Піддавши рівняння (7.1) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах з наступною заміною оператора p на jω (p = jω), отримаємо еквівалентний комплексний коефіцієнт передачі нелінійного елемента

W не (j?, A) = q + jq". (7.2)

Після того, як проведена гармонійна лінеаризація, для аналізу та синтезу нелінійних САУ можливе застосування всіх методів, що застосовуються для дослідження лінійних систем, у тому числі використання різних критеріїв стійкості. При дослідженні нелінійних систем на основі методу гармонійної лінеаризації насамперед вирішують питання про існування та стійкість періодичних (автоколивальних) режимів. Якщо періодичний режим стійкий, то в системі існують автоколивання з частотою 0 і амплітудою А 0 . Розглянемо нелінійну систему, що включає лінійну частину з передавальною функцією

(7.3)

та нелінійний елемент з еквівалентним комплексним коефіцієнтом передачі (7.2). Розрахункова структурна схема нелінійної системи набуває вигляду рис.7.5.

Рис.7.5. Структурна схема нелінійної САУ

Для оцінки можливості виникнення автоколивань у нелінійній системі методом гармонійної лінеаризації необхідно знайти умови межі стійкості, як це робилося під час аналізу стійкості лінійних систем. Якщо лінійна частина описується передатною функцією (7.3), а нелінійний елемент (7.2), то характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (7.4)

З критерію стійкості Михайлова кордоном стійкості буде проходження годографа Михайлова через початок координат. З виразів (7.4) можна знайти залежність амплітуди та частоти автоколивань від параметрів системи, наприклад, коефіцієнта передачі k лінійної частини системи. І тому необхідно у рівняннях (7.4) коефіцієнт передачі k вважати змінної величиною, тобто. це рівняння записати у вигляді:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0 ,K) +Jm(ω 0 ,A 0 ,k) = 0 (7.5)

де ω o і A o - можливі частота та амплітуда автоколивань.
Тоді, прирівнюючи до нуля дійсну та уявну частини рівняння (7.5)

(7.6)

Досі в основному вивчали завдання аналізу САУ, коли математична модель замкнутої САУ вважалася заданою, і потрібно визначити якість її роботи: стійкість, точність відтворення вхідного сигналу тощо.

Важливою і складнішою є завдання синтезу, коли заданими вважаються математична модель керованого об'єкта (і може бути вимірювального та виконавчого пристроїв). Потрібно вибрати структуру САУ, закон керування та числові значення параметрів регулятора, що визначають бажану якість САУ.

Із завданнями синтезу ми вже зустрічалися. Синтез САУ можна проводити, використовуючи критерії стійкості, Д-розбиття, методи кореневих годографів.

Синтез одновимірних одноконтурних САУ з одиничною ООС за допомогою ЛАФЧХ розімкнутої системи

Цей метод використовує тісний зв'язок між перехідною функцією замкнутої САУ при ступінчастому впливі і частиною частотної частотної характеристики замкнутої САУ.

Тут. (1)

Т.о. за частотними характеристиками розімкнутої системи можна визначити частотні характеристики замкнутої системи і навпаки. Є номограми, що пов'язують ці частотні показники.

Тому ми можемо оцінити перехідний процес (див. (1)). Отже, знаючи, ми можемо оцінити перехідний процес в системі.

Вирішувати задачу синтезу САУ за частотними характеристиками зручніше, коли частотні характеристики побудовані у логарифмічному масштабі.

У логарифмічному масштабі по осі ординат увідкладається в дб.

Збільшення цього співвідношення у 10 разів відповідає збільшенню

По осі абсцис відкладається частота в логарифмічному масштабі.

Декада – зміна частоти удесятеро.

Головна перевага побудови частотних характеристик у логарифмічному масштабі полягає в тому, що їх можна будувати приблизно, практично без обчислень.

Візьмемо інерційна ланка. Його передатна функція

АЧХ. Частота, де , тобто. - Частота сполучення.

При наближеній побудові ЛАЧХ:

1) у нехтуємо і , а дБ

2) у нехтуємо 1 та й у логарифмічному масштабі

Визначимо нахил при:

Отже, ладу АЧХ в логарифмічному масштабі, можна спадну частину характеристики замінити прямий з нахилом - 20дб/дек.Найбільша похибка буде у точці вигину ().

Інтегруюча ланка.

При .

Розглянемо спочатку на прикладіпринцип побудови наближеної ЛАЧХ (ФЧХ розраховуються точно за формулами).

Наближеність побудови ЛАЧХ у тому, що у частотної характеристиці у членах :

1) при нехтують членом і ланка розглядають як підсилювальну;

2) при нехтують 1 і розглядають їх як інтегруючу ланку з частотною характеристикою, нахил характеристики якої - 20 дб/декі за величина амплітуди дорівнює 20lgK.

Частота, де - називається частотою сполучення.

Визначимо частоти сполучення, де ()

На що перетвориться з урахуванням зроблених припущень:

Відкладаємо на осі частот частоти сполучення.

Побудову починаємо з інтегруючої ланки: на частоті відкладаємо 20lgK=20lg100=40дбта проводимо лінію з нахилом -20дб / Гру.На частоті «підключаємо» ще одну інтегруючу ланку – нахил став -40дб / Гру.

На частоті «під'єднуються» дві диференційні ланки. В однієї диференціює ланки нахил +20дб/дек, у двох інтегруючих ланок нахил буде +40дб/дек,отже, результуючий нахил при буде -40дб/дек+40дб/дек=0 дб/дек.

Фазочастотна характеристика розраховується.

			1зв 2зв

0,2
0,8

∞

За допомогою ЛАЧХ та ФЧХ неважко встановити стійкість замкнутої системи.

Згідно з критерієм стійкості Найквіста, замкнута САУ стійка, якщо АФЧХ розімкнутої системи має вигляд (астатична система):

На частоті амплітуда дорівнює 1 і тому запас стійкості по фазі.

Коли фаза дорівнює , то запас стійкості по амплітуді.

Для стійкості САУ необхідно, щоб

Синтез САУ за допомогою ЛАЧХ

проводиться наступним чином:

САУ представляють

Входять об'єкт і відомі елементи регулятора, наприклад, вимірювальні, виконавчі пристрої.

Коригуючий пристрій, який треба визначити у процесі синтезу.

Тоді передатна функція розімкнутої системи

Тут - передатна функція САУ, динаміка якої задовольняє вимогам до проектованої системи.

Тоді в логарифмічному масштабі

Для мінімально-фазових САУ вид ЛАЧХ повністю визначає перехідний процес і не слід розглядати фазо-частотну характеристику.

Мінімально-фазові ланки (системи) – такі, у яких коріння чисельника та знаменника розташовані у лівій напівплощині. Таким чином, передатна функція мінімально-фазової системи не повинна мати нулів та полюсів у лівій напівплощині.

На вигляд можна записати передатну функцію коригуючої ланки. В даному випадку вона матиме вигляд:

У літературі наводяться таблиці, що пов'язують вигляд з

І з відповідними схемами коригувальних пристроїв, що реалізують ці . Наведена вище може бути реалізована у вигляді наступного коригувального ланцюжка:

Тут ми знаємо.

За графіком визначаємо і , .

Звідси знаходимо.

За графіком визначаємо.

Звідси визначаємо.

Визначивши параметри ланки, що коригує, вводимо його в систему і моделюємо САУ, отримуємо перехідний процес. Якщо він не влаштовує – змінюємо параметри ланки.

Вимоги до .

Бажана ЛАЧХ розімкнутої системи будується із загальних вимог до системи:

1. точність (визначає коефіцієнт посилення),

2. порядок астатизму,

3. час перехідного процесу,

4. перерегулювання.

1. має перетинати вісь частот у точці, що забезпечує заданий час перехідного процесу

А можна інакше:

Знаходиться з номограм, що визначають залежність, тут – перерегулювання.

Наприклад,

2. Щоб САУ була стійкою, повинна перетинати вісь частот з нахилом - 20 дБ/дек.

3.Для забезпечення заданого

4.Середньочастотну частину характеристики треба робити якнайширше. Чим більший діапазон, тим ближче процес до експоненційного.

Середньочастотна частина переважно і визначає якість перехідного процесу.

Низькочастотна частина визначає точність процесу управління.

Існує й інший спосіб визначення кінцевих точок центрального відрізка:

Запас стійкості по фазі в точці при , що визначається по ЛФЧХ, повинен бути не меншим

Запас стійкості за модулем (за амплітудою) у точці L 2вибирається в залежності від перерегулювання:

Поєднання центрального відрізка ЛАЧХ з низькочастотною частиною проводиться прямий з нахилом - 40 дб/декабо - 60 дБ/дек.

Високочастотна частина, щоб не ускладнювати пристрій, що коригує, вибирають аналогічною вихідної ЛАЧХ.

Після побудови слід перевірити запас стійкості по фазі. (на)

На жаль, цей метод синтезу не гарантує необхідної якості перехідного процесу.

Порядок розрахунків при синтезі САУ із послідовним

коригуючим пристроєм

1. Будується ЛАЧХ незмінної частини САУ (без коригувального уст-

рійства).

2.По заданим вимогам до якості будується бажана ЛАЧХ.

3. По будується відповідна ЛФЧХ.

4. Визначаються запаси стійкості за амплітудою та фазою.

5. Шляхом віднімання з знаходять ЛАЧХ коригувального пристрою.

6.По вибирають його технічний аналог.

7. Якщо технічний аналог відрізняється, треба скоригувати з урахуванням технічного аналога.

Якщо отримано добрий результат, то розв'язання задачі синтезу закінчується. Якщо результат не задовольняє, вибирається інший аналог.

Синтез САУ методом кореневих годографів

Якість проектованої САУ з точки зору швидкодії та запасу стійкості може характеризуватись розташуванням коренів чисельника та знаменника передавальної функції замкнутої системи.

Знаючи коріння, можна зобразити їхнє розташування на комплексній площині. Коріння може бути визначено розрахунками з використанням стандартних програм.

Чим більше - ступінь стійкості, і чим менше - ступінь коливання, тим краща якість САУ.

При плавній зміні значення будь-якого параметра коріння переміщатиметься на площині коренів, прокреслюючи деяку криву, яка називається траєкторією коренів або кореневим годографом. Побудувавши траєкторії всіх коренів, можна вибрати таке значення параметрів, що варіюються, які відповідають найкращому розташуванню коренів.

Нехай є передатна функція замкнутої системи

Коефіцієнти чисельника та знаменника певним чином виражені через параметри об'єкта, регулятора, коригувальних пристроїв. Якщо потрібно вибрати величину будь-якого параметра, необхідно прийняти деякі постійні значення всім інших параметрів, а шуканого параметра задавати різні числові значення. Для кожного значення, що варіюється параметра необхідно обчислювати значення коренів чисельника і знаменника і будувати траєкторії коренів, за якими вибирають те значення параметра, яке забезпечує найкраще розташування коренів.

Синтез із використанням стандартних перехідних процесів

(метод стандартних коефіцієнтів)

p align="justify"> Приватний спосіб використання цього методу - діаграма Вишнеградського для систем третього порядку.

Стандартні перехідні процеси будуються в нормованому вигляді за одиничного вхідного впливу за безрозмірним часом , де

Синтез лінійних САУ шляхом виділення меж стійкості та меж заданого ступеня стійкості

Виділивши методом Д-розбиттяобласть стійкості, ми маємо вибирати робочу точку (визначувану параметрами системи) всередині цієї області. Проте різним точкам відповідатиме різний розподіл коренів характеристичного рівняння, отже, і різний характер перехідного процесу. Хотілося б мати добрий перехідний процес.

Відомо, що тривалість перехідного процесу визначається найближчим до уявної осі коренем.

Якщо нам задано необхідний час перехідного процесу, ми можемо визначити. Якщо коріння буде розташовано ліворуч, то тривалість перехідного процесу буде меншою за заданий. .

Якщо в рівнянні (3) параметри, у площині яких хочемо побудувати межу заданого ступеня стійкості, входять до характеристичного рівняння лінійно незалежно, то до рівняння (3) можна застосувати розглянутий метод раніше Д-розбиття.Виділений кордон буде лінією заданого ступеня стійкості.

Вибір редакції