Складання чисел у восьмеричній системі онлайн. Переклад чисел у двійкову, шістнадцяткову, десяткову, вісімкову системи числення. Розмноження в системах числення
| Інформатика та інформаційно-комунікаційні технології | Планування уроків та матеріали до уроків | 10 класи | Планування уроків на навчальний рік (ФГОС) | Арифметичні операції у позиційних системах числення
Урок 15
§12. Арифметичні операції у позиційних системах числення
Арифметичні операції у позиційних системах числення
Арифметичні операції у позиційних системах числення з основою qвиконуються за правилами, аналогічними правилами, що діють у десятковій системі числення.
У початковій школі для навчання дітей рахунку використовують таблиці складання та множення. Подібні таблиці можна скласти будь-якої позиційної системи числення.
12.1. Додавання чисел у системі числення з підставою q
Розгляньте приклади таблиць додавання в троїчній (табл. 3.2), вісімковій (табл. 3.4) та шістнадцятковій (табл. 3.3) системах числення.
Таблиця 3.2
Додавання в троїчній системі числення
Таблиця 3.3
Додавання в шістнадцятковій системі числення
Таблиця 3.4
Додавання у вісімковій системі числення
qотримати суму Sдвох чисел Аі Б, треба підсумувати цифри, що їх утворюють, за розрядами iсправа наліво:
Якщо a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
якщо a i + b i q, то s i = а i + b i - q, старший (i + 1)-й розряд збільшується на 1.
Приклади:
12.2. Віднімання чисел у системі числення з підставою q
Щоб у системі числення з основою qотримати різницю Rдвох чисел Аі В, треба обчислити різниці утворюють їх цифр за розрядами iсправа наліво:
Якщо a i ≥ b i , то r i = a i - b i старший (i + 1)-й розряд не змінюється;
якщо a i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).
Можна вводити як цілі числа, наприклад 34 так і дробові, наприклад, 637.333 . Для дробових чисел вказується точність перекладу після коми.
Разом з цим калькулятором також використовують такі:
Способи подання чисел
Двійкові (binary) числа – кожна цифра означає значення одного біта (0 або 1), старший біт завжди пишеться ліворуч, після числа ставиться буква «b». Для зручності сприйняття зошити можна розділити пробілами. Наприклад, 1010 0101b.Шістнадцяткові (hexadecimal) числа – кожен зошит представляється одним символом 0...9, А, В, ..., F. Позначатись таке уявлення може по-різному, тут використовується лише символ «h» після останньої шістнадцяткової цифри. Наприклад, A5h. У текстах програм це число може позначатися як 0хА5, і як 0A5h, залежно від синтаксису мови програмування. Незначний нуль (0) додається ліворуч від старшої шістнадцяткової цифри, що зображується літерою, щоб розрізняти числа та символічні імена.
Десяткові (decimal) числа – кожен байт (слово, подвійне слово) представляється звичайним числом, а ознака десяткового уявлення (літеру «d») зазвичай опускають. Байт із попередніх прикладів має десяткове значення 165. На відміну від двійкової та шістнадцяткової форми запису, за десятковою важко в умі визначити значення кожного біта, що іноді доводиться робити.
Восьмеричні (octal) числа – кожна трійка біт (поділ починається з молодшого) записується як цифри 0–7, наприкінці ставиться ознака «про». Те саме число буде записано як 245о. Вісімкова система незручна тим, що байт неможливо розділити порівну.
Алгоритм переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Переведення цілих десяткових чисел у будь-яку іншу систему числення здійснюється діленням числа на підставу нової системичислення до тих пір, поки в залишку не залишиться менше підстави нової системи числення. Нове число записується як залишків розподілу, починаючи з останнього.Переведення правильного десяткового дробу в іншу ПСС здійснюється множенням лише дробової частини числа на підставу нової системи числення доти, доки в дробовій частині не залишаться всі нулі або поки не буде досягнуто заданої точності перекладу. В результаті виконання кожної операції множення формується одна цифра нового числа, починаючи зі старшого.
Переклад неправильного дробу здійснюється за 1 та 2 правилами. Цілу та дробову частину записують разом, відокремлюючи комою.
Приклад №1. 
Переклад з 2 до 8 до 16 системи числення.
Ці системи кратні двом, отже, переклад здійснюється з допомогою таблиці відповідності (див. нижче).
Для переведення числа з двійкової системи числення в восьмирічну (шістнадцяткову) необхідно від коми вправо та вліво розбити двійкове число на групи по три (чотири – для шістнадцяткового) розряду, доповнюючи при необхідності нулями крайні групи. Кожну групу замінюють відповідною восьмирічною або шістнадцятковою цифрою.
Приклад №2. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
тут 001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1
При перекладі в шістнадцяткову систему необхідно ділити число на частини, по чотири цифри, дотримуючись тих же правил.
Приклад №3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
тут 0010 = 2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011 = 13
Переведення чисел з 2 , 8 і 16 в десяткову систему обчислення виробляють шляхом розбивання числа на окремі та множення його на основу системи (з якої перекладається число) зведене в ступінь відповідну його порядковому номеру в кількості, що переводиться. При цьому числа нумеруються вліво від коми (перше число має номер 0) зі зростанням, а в праву сторону зі спаданням (тобто з негативним знаком). Отримані результати складаються.
Приклад №4.
Приклад переведення з двійкової до десяткової системи числення.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2+1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Приклад переведення з вісімкової до десяткової системи числення. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Приклад переведення з шістнадцяткового в десяткову систему числення. 108.5 16 = 1 · 16 2 +0 · 16 1 +8 · 16 0 + 5 · 16 -1 = 256 +0 +8 +0.3125 = 264.3125 10
Ще раз повторимо алгоритм переведення чисел з однієї системи числення до іншої ПСС
- З десяткової системи числення:
- розділити число на основу перекладеної системи числення;
- знайти залишок від розподілу цілої частини числа;
- записати всі залишки від розподілу у зворотному порядку;
- З двійкової системи числення
- Для переведення в десяткову систему числення необхідно знайти суму творів підстави 2 на відповідний рівень розряду;
- Для переведення числа у вісімкову необхідно розбити число на тріади.
Наприклад, 1000110 = 1000110 = 106 8 - Для переведення числа із двійкової системи числення в шістнадцяткову необхідно розбити число на групи по 4 розряди.
Наприклад, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Таблиця відповідності систем обчислення:
| Двійкова СС | Шістнадцяткова СС |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Таблиця для переведення у вісімкову систему числення
Приклад №2. Перевести число 100,12 з десяткової системи числення у вісімкову систему числення і назад. Пояснити причини розбіжностей.
Рішення.
1 етап. .
Залишок від розподілу записуємо у зворотному порядку. Отримуємо число у 8-ій системі числення: 144
100 = 144 8
Для перекладу дробової частини числа послідовно множимо дробову частину на підставу 8. У результаті щоразу записуємо цілу частину твору.
0.12 * 8 = 0.96 (ціла частина 0
)
0.96 * 8 = 7.68 (ціла частина 7
)
0.68 * 8 = 5.44 (ціла частина 5
)
0.44 * 8 = 3.52 (ціла частина 3
)
Отримуємо число у 8-ій системі числення: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2 Етап. Переведення числа з десяткової системи числення у вісімкову систему числення.
Зворотний переведення з вісімкової системи обчислень до десяткової.
Для перекладу цілої частини необхідно помножити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Для перекладу дробової частини необхідно розділити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Різниця в 0,0001 (100,12 – 100,1199) пояснюється похибкою округлень при переведенні у вісімкову систему численнь. Цю похибку можна зменшити, якщо взяти більше розрядів (наприклад, не 4, а 8).
Арифметичні операції у двійковій системі числення
Правила виконання арифметичних дій над двійковими числами задаються таблицями додавання, віднімання та множення.
Правило виконання операції складання однаково для всіх систем числення: якщо сума цифр, що складаються, більша або дорівнює підставі системи числення, то одиниця переноситься в наступний ліворуч розряд. При відніманні, якщо необхідно, роблять позику.
Аналогічно виконуються арифметичні дії у вісімковій, шістнадцятковій та інших системах числення. При цьому необхідно враховувати, що величина перенесення в наступний розряд при складанні та позику зі старшого розряду при відніманні визначається величиною основи системи числення.
Арифметичні операції у восьмеричній системі числення
Для представлення чисел у восьмеричній системі числення використовуються вісім цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), оскільки основа восьмеричной системи числення дорівнює8. Усі операції здійснюються у вигляді цих восьми цифр. Операції складання та множення у восьмеричній системі числення виробляються за допомогою наступних таблиць:
Таблиці складання та множення у вісімковій системі числення
|
Приклад 5.Відняти вісімкові числа 5153-1671і2426,63-1706,71 |
Приклад 6. Помножити вісімкові числа 51 16 і 16,6 3,2 |
Арифметичні операції у шістнадцятковій системі числення
Для представлення чисел у шістнадцятковій системі числення використовуються шістнадцять цифр:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. У шістнадцятковій системі числошістнадцять пишеться як10. Виконання арифметичних операцій у шістнадцятковій системі проводиться як і в десятирічній системі, але при виконанні арифметичних операцій над великими числами необхідно використовувати таблиці додавання та множення чисел у шістнадцятковій системі числення.
Таблиця додавання в шістнадцятковій системі числення
Таблиця множення у шістнадцятковій системі числення 
|
Приклад 7. Скласти шістнадцяткові числа |
Складання та віднімання чисел у будь-якій позиційній системі числення виконується порозрядно. Для знаходження суми складаються одиниці однієї й тієї ж розряду, починаючи з одиниць першого розряду (праворуч). Якщо сума одиниць розряду, що складається, перевищує число, рівне підставі системи, то з цієї суми виділяється одиниця старшого розряду, яка і додається до сусіднього розряду зліва. Тому додавання можна проводити безпосередньо, як і в десятковій системі, в "стовпчик", використовуючи таблицю складання однозначних чисел.
Наприклад, у системі числення з підставою 4 таблиця складання має такий вигляд:
Ще простіше таблиця додавання в двійковій системі числення:
| 0 + 0 = 0 | 0 + 1 = 1 | 1 + 1 = 10. |
|
Приклад:
|
Відніманнявиконуємо так само, як і в десятковій системі: підписуємо віднімання під зменшуваним і робимо віднімання чисел у розрядах, починаючи з першого. Якщо віднімання одиниць у розряді неможливо, " займаємо " одиницю у вищому розряді і перетворимо їх у одиниці сусіднього правого розряду.
|
Приклад: 2311 4 - 1223 4 .
|
Приклади переведення чисел у різні системи числення
Приклад №1
Перекладемо число 12 з десяткової до двійкової системи числення
Рішення
Перекладемо число 12 10 в 2-ічну систему числення, за допомогою послідовного поділу на 2, доки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків розподілу записане праворуч наліво.
| 12 | : | 2 | = | 6 | залишок: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | залишок: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | залишок: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | залишок: 1 |
12 10 = 1100 2
Приклад №2
Перекладемо число 12.3 з десяткової до двійкової системи числення
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
РішенняПерекладемо цілу частину 12 числа 12.3 10 в 2-ічну систему числення, за допомогою послідовного поділу на 2, доки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків розподілу записане праворуч наліво.
| 12 | : | 2 | = | 6 | залишок: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | залишок: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | залишок: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | залишок: 1 |
12 10 = 1100 2
Перекладемо дробову частину 0.3 числа 12.3 10 в 2-ічну систему числення, за допомогою послідовного множення на 2, доти, поки в дробовій частині твору не вийде нуль або не буде досягнуто необхідної кількості знаків після коми. Якщо в результаті множення ціла частина не дорівнює нулю, необхідно замінити значення цілої частини на нуль. В результаті буде отримано число цілих частин творів, записане зліва направо.
| 0.3 | · | 2 | = | 0 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.3 10 = 0.010011001100110011001100110011 2
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
Приклад №3
Перекладемо число 10011 із двійкової системи до десяткової системи числення
Рішення
Перекладемо число 10011 2 в десяткову систему числення, для цього спочатку запишемо позицію кожної цифри в числі права наліво, починаючи з нуля
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 2, оскільки система числення 2-а. Необхідно послідовно помножити кожне число 10011 2 на 2 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.
10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10
Приклад №4
Перекладемо число 11.101 із двійкової системи до десяткової системи числення
11.101 2 = 3.625 10
РішенняПереведемо число 11.101 2 у десяткову систему числення, для цього спочатку запишемо позицію кожної цифри в числі
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 2, оскільки система числення 2-а. Необхідно послідовно помножити кожне число 11.101 2 на 2 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.
11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10
Приклад №5
Перекладемо число 1583 з десяткової системи до шістнадцяткової системи числення
1583 10 = 62F 16
РішенняПерекладемо число 1583 10 в 16-ічну систему числення, за допомогою послідовного поділу на 16, доки неповне приватне не буде дорівнює нулю. В результаті буде отримано число залишків розподілу записане праворуч наліво.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | залишок: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | залишок: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | залишок: 6 |
1583 10 = 62F 16
Приклад №6
Перекладемо число 1583.56 із десяткової системи до шістнадцяткової системи числення
1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
РішенняПерекладемо цілу частину 1583 числа 1583.56 10 в 16-ічну систему числення, за допомогою послідовного поділу на 16, доки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків розподілу записане праворуч наліво.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | залишок: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | залишок: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | залишок: 6 |
1583 10 = 62F 16
Перекладемо дробову частину 0.56 числа 1583.56 10 в 16-ичну систему числення, за допомогою послідовного множення на 16, доти, поки в дробовій частині твору не вийде нуль або не буде досягнуто необхідної кількості знаків після коми. Якщо в результаті множення ціла частина не дорівнює нулю, необхідно замінити значення цілої частини на нуль. В результаті буде отримано число цілих частин творів, записане зліва направо.
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0.56 10 = 0.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
Приклад №7
Перекладемо число A12DCF з шістнадцяткової системи до десяткової системи числення
A12DCF 16 = 10563023 10
РішенняПерекладемо число A12DCF 16 в десяткову систему числення, для цього спочатку запишемо позицію кожної цифри в числі права наліво, починаючи з нуля
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 16, оскільки система 16-річна числення. Необхідно послідовно помножити кожне число A12DCF 16 на 16 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.
2
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 16, оскільки система 16-річна числення. Необхідно послідовно помножити кожне число A12DCF.12A 16 на 16 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.
A 16 = 1010
D 16 = 1310
C 16 = 1210
F 16 = 1510
A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 ⋅ 1
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 2, оскільки система числення 2-а. Необхідно послідовно помножити кожне число 1010100011 2 на 2 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.
1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10
Перекладемо число 675 10 в 16-ічну систему числення, за допомогою послідовного розподілу на 16, доки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків розподілу записане праворуч наліво.
| 675 | : | 16 | = | 42 | залишок: 3 |
| 42 | : | 16 | = | 2 | залишок: 10, 10 = A |
| 2 | : | 16 | = | 0 | залишок: 2 |
675 10 = 2A3 16
