Спектр прямокутного сигналу із негативною амплітудою. Спектри амплітуд та фаз періодичних сигналів. Застосування аналізу Фур'є до двовимірних часових рядів

Поняття "сигнал" можна трактувати по-різному. Це код або знак, переданий у простір, носій інформації, фізичний процес. Характер сповіщень та їх зв'язок із шумом впливають на його дизайн. Спектри сигналів можна класифікувати декількома способами, але одним із найбільш фундаментальних є їх зміна у часі (постійні та змінні). Друга основна класифікаційна категорія – частоти. Якщо розглянути у тимчасовій області докладніше, у тому числі можна назвати: статичні, квазистатичні, періодичні, повторювані, перехідні, випадкові і хаотичні. Кожен із цих сигналів має певні властивості, які можуть впливати на відповідні проектні рішення.

Типи сигналів

Статичний за визначенням є незмінним протягом дуже тривалого часу. Квазистатичний визначається рівнем постійного струмуТому його необхідно обробляти в схемах підсилювача з низьким дрейфом. Цей тип сигналу не виникає на радіочастотах, тому що деякі подібні схеми можуть створювати рівень напруги, що не змінюється. Наприклад, безперервне хвильове оповіщення із постійною амплітудою.

Термін "квазістатичний" означає "майже незмінний", тому відноситься до сигналу, який надзвичайно повільно змінюється протягом тривалого часу. Він має характеристики, більш схожі на статичні оповіщення (постійні), ніж динамічні.

Періодичні сигнали

Це ті, що точно повторюються на регулярній основі. Приклади періодичних сигналів включають синусоїдальні, квадратні, пилкоподібні, трикутні хвилі і т. д. Характер періодичної форми вказує на те, що вона ідентична в однакових точках вздовж тимчасової лінії. Іншими словами, якщо йде просування по часовій лінії рівно на один період (T), то напруга, полярність та напрямок зміни форми хвилі повторюватимуться. Для форми напруги можна висловити формулою: V (t) = V (t + T).

Сигнали, що повторюються

Є квазіперіодичними за природою, тому мають деяку схожість із періодичною формою хвилі. Основна відмінність між ними виявляється шляхом порівняння сигналу при f(t) та f(t+T), де T - це період оповіщення. На відміну від періодичного оповіщення, у звуках, що повторюються, ці точки можуть бути не ідентичними, хоча вони будуть дуже схожі, так само, як і загальна форма хвилі. Розглянуте оповіщення може містити або тимчасові, або стабільні ознаки, що варіюються.

Перехідні сигнали та імпульсні сигнали

Обидва види або одноразовим подією, або періодичним, у якому тривалість дуже коротка проти періодом форми хвилі. Це означає, що t1<<< t2. Если бы эти сигналы были переходными процессами, то в радиочастотных схемах намеренно генерировались бы в виде импульсов или переходного режима шума. Таким образом, из вышеизложенной информации можно сделать вывод, что фазовый спектр сигнала обеспечивает колебания во времени, которые могут быть постоянными или периодическими.

Ряди Фур'є

Усі безперервні періодичні сигнали можуть бути представлені основною синусоїдальною хвилею частоти та набором косинусних гармонік, які сумуються лінійно. Ці коливання містять форми зиби. Елементарна синусоїдальна хвиля описується формулою: v = Vm sin(_t), де:

• v – миттєва амплітуда.
• Vm – пікова амплітуда.
• "_" – кутова частота.
• t – час у секундах.

Період - це час між повторенням ідентичних подій або T = 2 _ / _ = 1 / F, де F - частота циклів.

Ряд Фур'є, який становить форму хвилі, можна визначити, якщо задана величина розкладається на її складові частоти або банком частотно-виборчих фільтрів, або алгоритмом цифрової обробки сигналів, що називається швидким перетворенням. Також може бути використаний спосіб побудови з нуля. Ряд Фур'є будь-якої форми хвилі може бути виражений формулою: f(t) = a o/2+ _ n -1 .

9. Властивості перетворення Фур'є. Властивості лінійності, зміни масштабу часу та інші. Теореме про спектр похідної. Теорема про спектр інтегралу.

10. Дискретне перетворення Фур'є. Перешкоди радіоприйому. Класифікація перешкод.

Дискретне перетворення Фур'є може бути отримано безпосередньо з інтегрального перетворення дискретизацій аргументів (t k = kt, f n = nf):

S(f) = s(t) exp(-j2ft) dt, S(f n) = ts(t k) exp(-j2f n kt), (6.1.1)

s(t) = S(f) exp(j2ft) df, s(t k) = fS(f n) exp(j2nft k). (6.1.2)

Нагадаємо, що дискретизація функції у часі призводить до періодизації її спектра, а дискретизація спектру за частотою - до періодизації функції. Не слід також забувати, що значення (6.1.1) числового ряду S(f n) є дискретизацією безперервної функції S"(f) спектра дискретної функції s(t k), так само як і значення (6.1.2) числового ряду s(t k) є дискретизацією безперервної функції s"(t), і при відновленні цих безперервних функцій S"(f) і s"(t) за їх дискретними відліками відповідність S"(f) = S(f) та s"(t) = s (t) гарантовано лише під час виконання теореми Котельникова-Шеннона.

Для дискретних перетворень s(kt)  S(nf), і функція, і її спектр дискретні та періодичні, а числові масиви їх уявлення відповідають завданню на головних періодах Т = Nt (від 0 до Т або від - Т/2 до Т/2), та 2f N = Nf (від -f N до f N), де N – кількість відліків, при цьому:

f = 1/T = 1/(Nt), t = 1/2f N = 1/(Nf), tf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)

Співвідношення (6.1.3) є умовами інформаційної рівноцінності динамічної та частотної форм подання дискретних сигналів. Іншими словами: число відліків функції та її спектра мають бути однаковими. Але кожен відлік комплексного спектру представляється двома речовими числами і, відповідно, число відліків комплексного спектру в 2 рази більше від відліків функції? Це так. Однак уявлення спектра в комплексній формі - не більш ніж зручне математичне уявлення спектральної функції, реальні відліки якої утворюються додаванням двох пов'язаних комплексних відліків, а повна інформація про спектр функції в комплексній формі укладена тільки в одній його половині - відліках дійсної та уявної частини комплексних чисел у частотному інтервалі від 0 до f N т.к. інформація другої половини діапазону від 0 до -f N є сполученою з першою половиною і жодної додаткової інформації не несе.

При дискретному поданні сигналів аргумент t k зазвичай проставляється номерами відліків k (за умовчанням t 1, k = 0,1, ... N-1), а перетворення Фур'є виконуються за аргументом n (номер кроку по частоті) на основних періодах. При значеннях N, кратних 2:

S(f n)  S n = k exp(-j2kn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t k)  s k = (1/N)S n exp(j2kn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)

Головний період спектра (6.1.4) для циклічних частот від -0.5 до 0.5, для кутових частот від - до . При непарному значенні N межі головного періоду за частотою (значення f N) знаходяться на половину кроку по частоті за відліками (N/2) і, відповідно, верхня межа підсумовування (6.1.5) встановлюється рівним N/2.

У обчислювальних операціях на ЕОМ для виключення негативних частотних аргументів (негативних значень номерів n) та використання ідентичних алгоритмів прямого та зворотного перетворення Фур'є головний період спектра зазвичай приймається в інтервалі від 0 до 2f N (0 n n N), а підсумовування в (6.1 .5) здійснюється відповідно від 0 до N-1. При цьому слід враховувати, що комплексно пов'язаним відлікам S n * інтервалу (-N,0) двостороннього спектру в інтервалі 0-2f N відповідають відліки S N+1- n (тобто сполученими відліками в інтервалі 0-2f N є відліки S n і S N+1-n).

Приклад:На інтервалі Т= ,N=100, заданий дискретний сигналs(k) =(k-i) - прямокутний імпульс з одиничними значеннями на точкахkот 3 до 8. Форма сигналу та модуль його спектра в головному частотному діапазоні, обчисленого за формулою S(n) = s(k)exp(-j2kn/100) з нумерацією поnот -50 до +50 з кроком по частоті, відповідно,=2/100, наведені на рис. 6.1.1.

Рис. 6.1.1. Дискретний сигнал та модуль його спектра.

На рис. 6.1.2 наведено огинаючу значень іншої форми подання головного діапазону спектра. Незалежно від форми подання спектр періодичний, у чому неважко переконатися, якщо обчислити значення спектра для більшого інтервалу аргументу n зі збереженням того ж кроку за частотою, як показано на рис. 6.1.3 для огинальної значень спектра.

Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано зворотне перетворення Фур'є для дискретного спектру, виконане за формулою s"(k) = (1/100) S (n) exp (j2 kn / 100), яке показує періодизацію вихідної функції s (k), але головний період k = ( 0,99) цієї функції повністю збігається з вихідним сигналом (k).

Рис. 6.1.4. Зворотне перетворення Фур'є.

Перетворення (6.1.4-6.1.5) називають дискретними перетвореннями Фур'є (ДПФ). Для ДПФ, в принципі, справедливі всі властивості інтегральних перетворень Фур'є, проте при цьому слід враховувати періодичність дискретних функцій та спектрів. Створення спектрів двох дискретних функцій (при виконанні будь-яких операцій при обробці сигналів у частотному поданні, як, наприклад, фільтрації сигналів безпосередньо в частотній формі) буде відповідати згортка періодизованих функцій у тимчасовому поданні (і навпаки). Така згортка називається циклічною (див. розділ 6.4) та її результати на кінцевих ділянках інформаційних інтервалів можуть суттєво відрізнятися від згортки фінітних дискретних функцій (лінійного згортки).

З виразів ДПФ можна побачити, що з обчислення кожної гармоніки потрібно N операцій комплексного множення і додавання і відповідно N 2 операцій повне виконання ДПФ. При великих обсягах масивів даних це може призводити до суттєвих витрат часу. Прискорення обчислень досягається з використанням швидкого перетворення Фур'є.

Перешкодами зазвичай називають сторонні електричні збурення, що накладаються на сигнал, що передається і утруднюють його прийом. За великої інтенсивності перешкод прийом стає практично неможливим.

Класифікація перешкод:

а) перешкоди від сусідніх радіопередавачів (станцій);

б) перешкоди від промислових установок;

в) атмосферні перешкоди (грози, опади);

г) перешкоди, зумовлені проходженням електромагнітних хвиль через верстви атмосфери: тропосферу, іоносферу;

д) теплові та дробові шуми в елементах радіоланцюгів, обумовлені тепловим рухом електронів.

Математично сигнал на вході приймача можна уявити або у вигляді суми сигналу і перешкоди, що передається, і тоді перешкоду називають адитивний, або просто шумом, або у вигляді твору переданого сигналу та перешкоди, і тоді таку перешкоду називають мультиплікативної. Ця перешкода призводить до значних змін інтенсивності сигналу на вході приймача і пояснює такі явища, як завмирання.

Наявність перешкод ускладнює прийом сигналів за великої інтенсивності перешкод, розпізнавання сигналу може стати практично неможливим. Здатність системи протистояти перешкоді, що заважає, носить назву завадостійкості.

Зовнішні природні активні перешкоди є шумами, що виникають в результаті радіовипромінювання земної поверхні та космічних об'єктів, роботи інших радіоелектронних засобів. Комплекс заходів, вкладених у зменшення впливу взаємних перешкод РЕМ, називається электромагнитной сумісністю. Цей комплекс включає як технічні заходи вдосконалення радіоапаратури, вибір форми сигналу та способу його обробки, так і організаційні заходи: регламентація частоти, рознесення РЕМ у просторі, нормування рівня позасмугових і побічних випромінювань та ін.

11. Дискретизація безперервних сигналів. Теорема Котельникова (відліків). Поняття частоти Найквіста. Концепція інтервалу дискретизації.

Дискретизація аналогових сигналів. Ряд Котельникова

Будь-яке безперервне повідомлення s(t), що займає кінцевий інтервал часу Т з, може бути передано з достатньою точністю кінцевим числом Nвідліків (вибірок) s(nT), тобто. послідовністю коротких імпульсів, розділених паузою.

Дискретизація повідомлень за часом – процедура, яка полягає у заміні незліченної множини миттєвих значень сигналу їх лічильним (дискретним) множиною, що містить інформацію про значення безперервного сигналу в певні моменти часу.

При дискретному способі передачі безперервного повідомлення можна скоротити час, протягом якого канал зв'язку зайнятий передачею цього повідомлення, Т здо , де - тривалість імпульсу, застосовуваного передачі вибірки; можна здійснити одночасну передачу каналом зв'язку декількох повідомлень (тимчасове ущільнення сигналів).

Найбільш простим є спосіб дискретизації, що базується на теоремі В.А. Котельникова, сформульованої для сигналів з обмеженим спектром (теорема відліків):

якщо найвища частота спектру функції s(t) менше, ніж F m , то функція s(t) повністю визначається послідовністю своїх значень у моменти, віддалені один від одного не більше, ніж на секунд і може бути представлена ​​поряд:

Тут величина означає інтервал між відліками на осі часу, а

Час вибірки, - Значення сигналу в момент відліку.

Ряд (1) називається поруч Котельникова, а вибірки (відліки) сигналу ( s(nT)) Іноді називають тимчасовим спектром сигналу.

має такі властивості:

а) у точці t=nTфункція дорівнює 1, т.к. у цій точці аргумент функції дорівнює 0, а значення її дорівнює 1;

б) у точках t=kT, Функція, т.к. аргумент синуса у цих точках дорівнює, а сам синус дорівнює нулю;

в) спектральна щільність функції u n (nT)рівномірна у смузі частот і дорівнює. Цей висновок зроблено на основі теореми взаємності частоти та часу пари перетворень Фур'є. ФЧХ спектральної щільності лінійна та дорівнює (відповідно до теореми про зсув сигналу). Таким чином,

.

Тимчасове та частотне подання функції u n (t)дано на рис.3.

Графічна інтерпретація ряду Котельникова представлена ​​на рис.4.

Ряд Котельникова (1) має всі властивості узагальненого ряду Фур'є з базисними функціями u n (nT), і тому визначає функцію s(t)у точках відліку, а й у час.

Інтервал ортогональності функції u nдорівнює нескінченності. Квадрат норми

Коефіцієнти ряду, що визначаються за загальною формулою для ряду Фур'є, рівні (з використанням рівності Парсеваля):

отже

При обмеженні спектра сигналу кінцевою найвищою частотою ряд (1) сходить до функції s(t)за будь-якого значення t.

Якщо взяти інтервал Тміж вибірками меншим, ніж , то ширина спектра базисної функції буде більшою за ширину спектра сигналу, отже точність відтворення сигналу буде вищою, особливо у випадках коли спектр сигналу не обмежений за частотою і найвищу частоту F mдоводиться вибирати з енергетичних чи інформаційних міркувань, залишаючи неврахованими "хвости" спектра сигналу.

При збільшенні відстані між вибірками () спектр базисної функції стає вже спектром сигналу, коефіцієнти C nбудуть вибірками іншої функції s 1 (t)спектр якої обмежений частотою .

Якщо тривалість сигналу T cкінцева, то смуга частот дорівнює суворо нескінченності, т.к. умови кінцевих тривалості та смуги несумісні. Однак практично завжди можна вибрати найвищу частоту так, щоб "хвости" містили або малу частку енергії, або слабко впливали на форму аналогового сигналу. При такому припущенні кількість відліків Nна часі Т збуде одно Т з /Т, тобто. N=2F m T c. Ряд (1) у разі має межі 0 , N.

Число Nіноді називають числом ступенів свободи сигналу, або базоюсигналу. Зі збільшенням бази точність відновлення аналогового сигналу з дискретного збільшується.

12. Тимчасові та частотні характеристики лінійних радіотехнічних ланцюгів. Концепція імпульсної характеристики. Концепція перехідної характеристики. Поняття вхідної та передавальної частотної характеристики.

При розгляді радіотехнічних сигналів було встановлено, що сигнал може бути представлений як у часовій (динамічна вистава), так і в частотній (спектральне подання) областях. Очевидно, при аналізі процесів перетворення сигналів ланцюга повинні мати відповідні описи тимчасовими або частотними характеристиками.

Почнемо з розгляду тимчасових характеристик лінійних ланцюгів із постійними параметрами. Якщо лінійний ланцюг здійснює перетворення відповідно до оператора і на вхід ланцюга подається сигнал у вигляді дельта-функції (на практиці дуже короткий імпульс), то вихідний сигнал (реакція ланцюга)

називається імпульсною характеристикоюланцюги. Імпульсна характеристика становить основу одного з методів аналізу перетворення сигналів, що буде розглянуто нижче.

Якщо вхід лінійної ланцюга надходить сигнал , тобто. сигнал виду "поодинокий перепад", то вихідний сигнал ланцюга

називається перехідною характеристикою.

Між імпульсом та перехідною характеристикою існує однозначний зв'язок. Оскільки дельта-функція (див. підрозділ 1.3):

,

то підставляючи цей вираз (5.5), отримаємо:

У свою чергу перехідна характеристика

. (5.8)

Перейдемо до розгляду частотних показників лінійних ланцюгів. Застосуємо до вхідного та вихідного сигналів пряме перетворення Фур'є

Відношення комплексного спектра вихідного сигналу до комплексного спектру вхідного сигналу називається комплексним коефіцієнтом передачі

(5.9)

З цього виходить що

Таким чином, операторомперетворення сигналу лінійним ланцюгом у частотній ділянці служить комплексний коефіцієнт передачі.

Представимо комплексний коефіцієнт передачі у вигляді

де івідповідно модуль та аргумент комплексної функції. Модуль комплексного коефіцієнта передачі як функція частоти називається амплітудно-частотноїхарактеристикою (АЧХ), а аргумент – фазочастотноїхарактеристикою (ФЧХ). Амплітудно-частотна характеристика є парної, а фазочастотна характеристика - непарнийфункцією частоти.

Часові та частотні характеристики лінійних ланцюгів пов'язані між собою перетворенням Фур'є

що цілком зрозуміло, оскільки вони описують той самий об'єкт – лінійний ланцюг.

13. Аналіз впливу детермінованих сигналів на лінійні ланцюги із постійними параметрами. Тимчасовий, частотний, операторний методи.