Спектральний та кореляційний аналіз детермінованих сигналів. Кореляційний аналіз дискретних сигналів Спектральні щільності кореляційних функцій

У теорії зв'язку кореляційна теорія використовується при дослідженні випадкових процесів, дозволяючи встановити зв'язок між кореляційними та спектральними властивостямивипадкових сигналів. Часто виникає завдання виявлення одного сигналу, що передається в іншому або в перешкодах. Для надійного виявлення сигналів і застосовується метод кореляціїзаснований на кореляційній теорії. На практиці виявляється корисним аналіз характеристики, що дає уявлення про швидкість зміни в часі, а також тривалість сигналу без розкладання його гармонійні складові.

Нехай копія сигналу u(t -т) зміщена щодо свого оригіналу u(t)на інтервал часу т. Для кількісної оцінки ступеня відмінності (зв'язку) сигналу u(t)та його зміщеної копії u(t -т) використовують автокореляційну функцію(АКФ). АКФ показує ступінь подібності між сигналом та його зсунутою копією - що більше значення АКФ, то це подібність сильніше.

Для детермінованого сигналу кінцевої тривалості (фінітного сигналу) аналітичний запис АКФ є інтегралом виду

Формула (2.56) показує, що за відсутності зсуву копії щодо сигналу (т = 0) АКФ позитивна, максимальна і дорівнює енергії сигналу:

Така енергія [Дж] виділяється на резисторі з опором 1 Ом, якщо до його висновків підключити деяку напругу u(t)[В].

Однією з найважливіших властивостей АКФ є її парність: В(т) = В(-т). Дійсно, якщо у виразі (2.56) провести заміну змінної х = t -т, то

Тому інтеграл (2.56) можна подати в іншому вигляді:

Для періодичного сигналу з періодом Г, енергія якого нескінченно велика (оскільки сигнал існує нескінченний час), обчислення АКФ за формулою (2.56) є неприйнятним. У цьому випадку визначають АКФ за період:

Приклад 2.3

Визначимо АКФ прямокутного імпульсу, що має амплітуду Ета тривалість т і (рис. 2.24).

Рішення

Для імпульсу обчислення АКФ зручно провести графічно. Така побудова показана на рис. 2.24, а - г,де наведено відповідно вихідний імпульс u(t)= u tзсунута на т його копія м т (?) = u(t- т) = м т та їх твір u(f)u(t- т) = uu vРозглянемо графічне обчислення інтегралу (2.56). твір u(t)u(t- т) не дорівнює нулю на інтервалі часу, коли є накладення один на одного будь-яких частин сигналу та його копії. Як випливає з рис. 2.24, цей інтервал дорівнює х - т м, якщо тимчасове зсув копії менше тривалості імпульсу. У таких випадках для імпульсу АКФ визначиться як В(т) = Е 2 (т і - | т |) при тимчасовому зрушенні копії на поточний час|т| В(0) = = Е 2т і = Е (див. рис. 2.24, г).

Рис. 2.24.

а -імпульс; 6 - Копія; в -твір сигналу та копії; г -АКФ

Часто вводять зручний для аналізу та порівняння сигналів числовий параметр - інтервал кореляціїт до, аналітично і графічно дорівнює ширині основи АКФ. Для даного прикладуінтервал кореляції т к = 2т і.

Приклад 2.4

Визначимо АКФ гармонійного (косинусоїдального) сигналу u(t) == t/m cos(co? + а).

Рис. 2.25.

а -гармонійний сигнал; б -АКФ гармонійного сигналу

Рішення

Використовуючи формулу (2.57) та позначивши У п (т) = В(т), знаходимо

З цієї формули випливає, що АКФ гармонійного сигналу теж гармонійною функцією (рис. 2.25, б)і має розмірність потужності (2). Відзначимо ще один дуже важливий факт, що обчислена АКФ не залежить від початкової фази гармонійного сигналу (параметр

З проведеного аналізу випливає важливий висновок: АКФ практично будь-якого сигналу залежить від його фазового спектра.Отже, сигнали, амплітудні спектри яких повністю збігаються, а фазові різняться, матимуть однакову АКФ. Ще одне зауваження полягає в тому, що по АКФ не можна відновити вихідний сигнал (знову ж таки внаслідок втрати інформації про фазу).

Зв'язок між АКФ та енергетичним спектром сигналу. Нехай імпульсний сигнал u(t)має спектральну щільність 5(з). Визначимо АКФ за формулою (2.56), записавши і(С)у вигляді зворотного перетворення Фур'є (2.30):

Ввівши нову змінну х = t -т, з останньої формули отримаємо інтеграл

є функція, комплексно-пов'язана спектральної щільності сигналу

З урахуванням співвідношення (2.59) формула (2.58) набуде вигляду функцію

називають енергетичним спектром (спектральною щільністю енергії) сигналу,що показує розподіл енергії за частотою. Розмірність енергетичного діапазону сигналу відповідає величині IP/с) - [(В 2 -с)/Гц].

Враховуючи співвідношення (2.60), остаточно отримаємо вираз для АКФ:

Отже, АКФ сигналу є зворотне перетворення Фур'є з його енергетичного спектра. Пряме перетворення Фур'є від АКФ

Отже, пряме перетворення Фур'є (2.62) АКФ визначає енергетичний спектр,а зворотне перетворення Фур'є енергетичного спектру(2.61) - АКФ детермінованого сигналу.Ці результати є важливими з двох причин. По-перше, виходячи з розподілу енергії та спектру стає можливим оцінити кореляційні властивості сигналів - чим ширший енергетичний спектр сигналу, тим менше інтервал кореляції. Відповідно, що більше інтервал кореляції сигналу, то коротше його енергетичний спектр. По-друге, співвідношення (2.61) та (2.62) дозволяють експериментально визначити одну з функцій за значенням іншої. Найчастіше зручніше спочатку отримати АКФ, а потім за допомогою прямого перетворенняФур'є обчислити енергетичний спектр. Цей прийом широко застосовують під час аналізу властивостей сигналів у реальному масштабі часу, тобто. без тимчасової затримки під час його обробці.

Взаємокореляційна функція двох сигналів. Якщо треба оцінити рівень зв'язку між сигналами u x (t)і u 2 (t),то використовують взаємокореляційну функцію(ВКФ)

При т = Про ВКФ дорівнює так званій взаємної енергії двох сигналів

Значення ВКФ не змінюється, якщо замість затримки другого сигналу u 2 (t)розглядати випередження його першим сигналом м(?), тому

АКФ є окремим випадком ВКФ, якщо сигнали однакові, тобто. u y (t) = u 2 (t) = u (t).На відміну від АКФ ВКФ двох сигналів 12 (т) не є парною і необов'язково максимальна при т = 0, тобто. за відсутності тимчасового зсуву сигналів.

Функції кореляції сигналів застосовуються для інтегральних кількісних оцінок форми сигналів та ступеня їх схожості друг з одним.

Автокореляційні функції (АКФ) сигналів (Corlation function, CF). Стосовно детермінованих сигналів з кінцевою енергією АКФ є кількісною інтегральною характеристикою форми сигналу, і є інтегралом від твору двох копій сигналу s(t), зрушених відносно один одного на час t:

Bs(t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.1)

Як випливає з цього виразу, АКФ є скалярним твором сигналу та його копії в функціональної залежностівід змінної величини значення зсуву t. Відповідно, АКФ має фізичну розмірність енергії, а при t = 0 значення АКФ безпосередньо дорівнює енергії сигналу і є максимально можливим (косинус кута взаємодії сигналу із самим собою дорівнює 1):

B s (0) = s (t) 2 dt = E s.

Функція АКФ є безперервною та парною. В останньому неважко переконатися заміною змінної t = t-t у виразі (2.4.1):

B s (t) = s (t) s (t-t) dt = s (t-t) s (t) dt = B s (-t).

З урахуванням парності, графічне уявлення АКФ зазвичай виробляється лише позитивних значень t. Знак +t у виразі (2.4.1) означає, що зі збільшенням значень t від нуля копія сигналу s(t+t) зсувається вліво по осі t. Насправді сигнали зазвичай також задаються на інтервалі позитивних значень аргументів від 0-Т, що дозволяє продовження інтервалу нульовими значеннями, якщо це необхідно для математичних операцій. У межах обчислень зручнішим є зсув копії сигналу вліво по осі аргументів, тобто. застосування у виразі (2.4.1) функції s(t-t):

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (2.4.1")

У міру збільшення значення величини зсуву t для фінітних сигналів тимчасове перекриття сигналу з його копією зменшується, а, відповідно, косинус кута взаємодії та скалярний твір загалом прагнуть нуля:

приклад.На інтервалі (0,Т) заданий прямокутний імпульс з амплітудним значенням, що дорівнює А. Обчислити автокореляційну функцію імпульсу.

При зрушенні копії імпульсу по осі t праворуч, при 0≤t≤T сигнали перекриваються на інтервалі від t до Т. Скалярний добуток:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

При зрушенні копії імпульсу вліво, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

При | t | > T сигнал та його копія не мають точок перетину і скалярний добуток сигналів дорівнює нулю (сигнал та його зсунута копія стають ортогональними).

Узагальнюючи обчислення, можемо записати:

B s (t) = .

У разі періодичних сигналів АКФ обчислюється по одному періоду Т, з усередненням скалярного твору та його зрушеною копією в межах цього періоду:

B(t) = (1/Т) s(t) s(t-t) dt.

При t=0 значення АКФ у разі рівно енергії, а середньої потужності сигналів не більше інтервалу Т. АКФ періодичних сигналів у своїй також є періодичною функцією з тим самим періодом Т. Так, для сигналу s(t) = A cos(w 0 t+j 0) при T=2p/w 0 маємо:

B s (t) = cos (w 0 t+j 0) cos (w 0 (t-t) + j 0) = (A 2 /2) cos (w 0 t).

Відзначимо, що отриманий результат не залежить від початкової фази гармонійного сигналу, що характерно для будь-яких періодичних сигналів і є однією з властивостей КФ.

Для сигналів, заданих на певному інтервалі, обчислення АКФ також проводиться з нормуванням на довжину інтервалу:

Bs(t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.2)

У межі для неперіодичних сигналів з вимірюванням АКФ на інтервалі Т:

B s (t) = . (2.4.2")

Автокореляція сигналу може оцінюватися і коефіцієнтом автокореляції, обчислення якого провадиться за формулою (за центрованими сигналами):

r s(t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .

Взаємна кореляційна функція (ВКФ) сигналів (cross-correlation function, CCF) показує ступінь схожості зрушених екземплярів двох різних сигналів та їх взаємне розташування по координаті (незалежній змінній), для чого використовується та сама формула (2.4.1), що і для АКФ, але під інтегралом стоїть твір двох різних сигналів, один з яких зрушений на час t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.4.3)

При заміні змінної t = t-t у формулі (2.4.3) отримуємо:

B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Звідси випливає, що з ВКФ не виконується умова парності, а значення ВКФ нічого не винні мати максимум при t = 0. Це можна наочно бачити на рис. 2.4.1, де задані два однакові сигнали з центрами на точках 0.5 та 1.5. Обчислення за формулою (2.4.3) із поступовим збільшенням значень t означає послідовні зрушення сигналу s2(t) вліво по осі часу (для кожного значення s1(t) для підінтегрального множення беруться значення s2(t+t)).

Вигляд алгоритму оптимального прийому, а також якісні показники системи передачі дискретних повідомлень суттєво залежать від характеристики

яку називатимемо взаємокореляційною функцією позиції комплексного опорного сигналу і комплексного поля, що приймається, відповідного позиції, де тимчасове зрушення між ними, обумовлене неузгодженістю в часі.

Функція є мірою «відмінності» (або «близькості») сигналів з індексами Якщо в ансамбль сигналів включити всі реалізації перешкоди в каналі, то ця функція визначить також міру «відмінності» («близькості») між сигналом і перешкодою, а також між окремими реалізаціями перешкод. Така характеристика помітності сигналу та перешкоди використана в ряді робіт, наприклад .

При виведенні останніх формул враховано співвідношення, що випливають з рівності Парсеваля:

Функції називатимемо відповідно функцією взаємної кореляції сигналів, що приймаються, і функцією взаємної кореляції сполучених сигналів у місці прийому. Перша їх визначає властивості оптимального когерентного прийому, тоді як характеристики оптимального прийому при невизначеної фазі сигналу (некогерентний прийом) потрібне знання лише модуля (огибающей) комплексної функціїкореляції

Комплексний опорний сигнал, який використовується у схемах оптимального когерентного прийому (див. нижче)

де функція є рішенням інтегрального рівняння

де кореляційна функція адитивної перешкоди. Оскільки кореляційна функція може бути розкладена в ряд рядків за своїми власними функціями

де власні числа, то рішення інтегрального рівняння (1.52) можна записати як

У тому випадку, коли перешкода є сумою двох частин - зосередженої та флуктуаційної, некореляційної між собою, розкладаючи кореляційну функцію зосередженої частини перешкоди в ряд (1.53), отримуємо

де власні числа та власні функції, відповідні Оскільки кореляційна функція білого шуму зі спектральною щільністю для будь-якого ортонормованого базису представима у вигляді

(Всі власні числа однакові і рівні N), то

З урахуванням (1.51) функцію також називатимемо зваженою [з вагою комплексної взаємокореляційної

функцією двох реалізацій комплексних сигналів у місці прийому Вираз (1.51) можна записати у вигляді

Припускай вагову функцію однорідної, тобто можна показати, що пов'язані між собою парою перетворень Гільберта. Ансамблі сигналів, для яких

будемо називати ортогональними у місці прийому при довільних тимчасових зрушеннях Якщо виконується умова будемо говорити про ортогональній системі сигналів у місці прийому.

Якщо в (1-47) будемо називати кореляційною функцією прийнятих комплексних сигналів. Фактично можна говорити лише про наближене виконання умови (1.59), тому що його суворе виконання можливе лише при використанні сигналів, спектри яких ніде не перекриваються, що неможливе. Насправді умови (1.59) часто виконуються за будь-яких лише за значеннях

У цьому випадку говоритимемо, що при розбіжності індексів виконується умова вузькості для взаємокореляційної функції, а при збігу індексів - умова вузькості кореляційних функцій.

Введемо нормовані кореляційні функції при

Енергетичне відношення (сигнал/перешкода) для сигналу у місці прийому. Отже, нормована кореляційна функція (1.61) задовольняє умові Аналогічно можна показати, що такій же умові задовольняє і нормована функція кореляції сполучених сигналів

При невизначеній фазі сигналу в деяких випадках властивості приймача характеризуються огинаючою (1.50) і відповідно нормованою огинаючою

Назвемо систему сигналів, для якої

ортогональна в посиленому сенсі при довільних тимчасових зрушеннях

Дуже часто ми маємо справу з системою сигналів, що задовольняють умову, яку будемо, користуючись термінологією, називати ортогональною в посиленому значенні (у місці прийому).

Насправді умови (1.64) зазвичай виконуються лише межах (1.60).

Аналогічно введеним характеристикам сигналів, що приймаються, можна ввести зважені кореляційні і взаємокореляційні характеристики сигналів, що передаються:

Ця умова забезпечує також ортогональність сигналів, що приймаються в посиленому сенсі при довільних зрушеннях у часі.

При певному фазуванні в каналі для звичайної ортогональності сигналів, що приймаються, достатня ортогональність переданих сигналів (з тією ж вагою).

Для однопроменевого каналу ортогональність і ортогональність у посиленому значенні прийнятих сигналів при будь-яких тимчасових зрушеннях еквівалентні відповідно ортогональності та ортогональності у посиленому значенні при будь-яких тимчасових зрушеннях сигналів, що передаються з вагою

Для вузькосмугових сигналів, що передаються і приймаються, ортогональність у посиленому сенсі при довільних ненульових зрушеннях рівносильна звичайної ортогональності при будь-яких зрушеннях. Однак для таких сигналів ортгональність у посиленому значенні (при) не еквівалентна звичайній ортогональності.

Кореляційна функція сигналу- це тимчасова характеристика,

дає уявлення про швидкість зміни сигналу в часі, а також про тривалість сигналу без розкладання його гармонійні складові.

Розрізняють автокореляційну та взаємнокореляційну функції. Для детермінованого сигналу f(t) автокореляційна функція визначається виразом

де - Величина тимчасового зсуву сигналу.

характеризує ступінь зв'язку (кореляції) сигналу f (t) зі своєю

копією, зсунутою величину по осі часу. Побудуємо автокореляційну функцію (АКФ) для прямокутного імпульсу f(t). Сигнал зрушений на бік випередження, як показано на рис. 6.25.

На графіці кожному значенню відповідає свій твір та площа під графіком функції. Чисельні

значення таких площ для відповідних τ і дають ординати функції

Зі збільшенням τ убуває (не обов'язково монотонно) і при

Т. е. більше, ніж тривалість сигналу, дорівнює нулю.

є також періодичною функцією з періодом T.

Розглянемо основні властивості автокореляційної функції:

1. АКФ є парною функцією , тобто і зі збільшенням функція зменшується.

2. АКФ досягає max при , оскільки будь-який сигнал повністю корелюваний із самим собою. При цьому максимальне значення АКФ дорівнює енергії

Чим ширший діапазон сигналу, тим менше інтервал кореляції, тобто. величина зсуву , не більше якого кореляційна функція відмінна від нуля. Відповідно, що більше інтервал кореляції сигналу, то його спектр.

Кореляційна функція може бути використана і для оцінки ступеня зв'язку між двома різними сигналами f 1 (t ) і f 2 (t ) зрушеними на час

У цьому випадку вона називається взаємною кореляційною функцією (ВКФ) та визначається виразом:

Взаємно-кореляційна функція не обов'язково є парною щодо і не обов'язково досягає максимуму при. Побудова ВКФ для двох трикутних сигналів f 1 (t) і f 2 (t) наведено на рис. 6.26. При зрушенні

сигналу f 2 (t ) вліво (t > 0, рис. 6.26, а) кореляційна функція сигналу спочатку зростає, потім зменшується до нуля при. При зрушенні сигналу f 2 (t) вправо (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 Т t

0 t -Т Т

f 1 (t ) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 Т

f 1 (t ) × f 2 (t - t)

6.9. Поняття про модульовані сигнали. Амплітудна модуляція

Для передачі на відстань застосовуються високочастотні сигнали. Передана інформація повинна бути тим чи іншим способом - закладена у високочастотне коливання, яке називається несучим. Вибір ча-

стоти ω несучого сигналу залежить від багатьох факторів, але в будь-якому випадку ω

має бути набагато більше, ніж найвища частотаспектра повідомлення, тобто.

Залежно від характеру несучої розрізняють два види модуляції:

– безперервну – при гармонійному безперервному у часі переноснику;

– імпульсну – при переноснику у вигляді періодичної послідовності імпульсів.

Сигнал, що несе в собі інформацію, можна подати у вигляді

Якщо і постійні величини, то це просте гармонійне коливання, що не несе інформації. Якщо й піддаються примусової зміни передачі повідомлення, то коливання стає модульованим.

Якщо змінюється A (t ), це амплітудна модуляція, якщо кут – кутова. Кутова модуляція поділяється на два види: частотну (ЧМ) та фазову (ФМ).

Оскільки , те й – функції часу, що повільно змінюються. Тоді можна вважати, що за будь-якого виду модуляції параметри сигналу

(1) (амплітуда, фаза та частота) змінюються настільки повільно, що в межах одного періоду високочастотне коливання можна вважати гармонійним. Ця передумова є основою властивостей сигналів та його спектрів.

Амплітудна модуляція (АМ). При АМ оминає амплітуд несучого сигналу змінюється за законом, що збігається із законом зміни повідомлення, що передається, частотане змінюється, а початкова фазаможе бути різною залежно від початку модуляції. Загальний вираз (6.22) можна замінити на

Графічне подання амплітудно-модульованого сигналу наведено на. 6.27. Тут S (t ) – безперервне повідомлення, що передається, амплітуда несучого гармонійного високочастотного сигналу. Огинальна A (t ) змінюється згідно із законом, що відтворює повідомлення

S(t).

Signals і linear systems. Correlation of signals

Тема 6. Кореляція сигналів

Граничний страх і граничний запал хоробрості однаково засмучують шлунок і викликають пронос.

Мішель Монтень. Французький юрист-мислитель, XVI ст.

Оце номер! Дві функції мають стовідсоткову кореляцію з третьою та ортогональні одна одній. Та й жарти були у Всевишнього при створенні Миру.

Анатолій Пишмінцев. Новосибірський геофізик Уральської школи, ХХ ст.

1. Автокореляційні функції сигналів. Концепція автокореляційних функцій (АКФ). АКФ сигналів, обмежених у часі. АКФ періодичних сигналів. Функції автоковарування (ФАК). АКФ дискретних сигналів. АКФ зашумлених сигналів. АКФ кодові сигнали.

2. Взаємно-кореляційні функції сигналів (ВКФ). Взаємна кореляційна функція (ВКФ). Взаємна кореляція зашумлених сигналів. ВКФ дискретних сигналів. Оцінка періодичних сигналів у шумі. Функція взаємних кореляційних коефіцієнтів.

3. Спектральні густини кореляційних функцій. Спектральна густина АКФ. Інтервал сигналу кореляції. Спектральна густина ВКФ. Обчислення кореляційних функцій з допомогою БПФ.

Вступ

Кореляція (correlation), і її окремий випадок для центрованих сигналів - коваріація, є методом аналізу сигналів. Наведемо один із варіантів використання методу. Припустимо, що є сигнал s(t), у якому може бути (а може й бути) деяка послідовність x(t) кінцевої довжини Т, тимчасове становище якої нас цікавить. Для пошуку цієї послідовності в ковзному за сигналом s(t) тимчасовому вікні довжиною Т обчислюються скалярні добутки сигналів s(t) і x(t). Тим самим ми "прикладаємо" шуканий сигнал x(t) до сигналу s(t), ковзаючи за його аргументом, і за величиною скалярного твору оцінюємо ступінь схожості сигналів у точках порівняння.

Кореляційний аналіз дає можливість встановити в сигналах (або в рядах цифрових даних сигналів) наявність певного зв'язку зміни значень сигналів незалежної змінної, тобто, коли великі значення одного сигналу (щодо середніх значень сигналу) пов'язані з великими значеннями іншого сигналу (позитивна кореляція), або, навпаки, малі значення одного сигналу пов'язані з більшими значеннями іншого (негативна кореляція), або дані двох сигналів ніяк не пов'язані (нульова кореляція).

У функціональному просторі сигналів цей рівень зв'язку може виражатися у нормованих одиницях коефіцієнта кореляції, тобто. у косинусі кута між векторами сигналів, і, відповідно, прийматиме значення від 1 (повний збіг сигналів) до -1 (повна протилежність) і не залежить від значення (масштабу) одиниць вимірів.

У варіанті автокореляції (autocorrelation) за аналогічною методикою проводиться визначення скалярного добутку сигналу s(t) із власною копією, що ковзає за аргументом. Автокореляція дозволяє оцінити середньостатистичну залежність поточних відліків сигналу від своїх попередніх і наступних значень (так званий радіус кореляції значень сигналу), а також виявити в сигналі наявність елементів, що періодично повторюються.

p align="justify"> Особливе значення методи кореляції мають при аналізі випадкових процесів для виявлення невипадкових складових та оцінки невипадкових параметрів цих процесів.

Зауважимо, що в термінах "кореляція" та "коваріація" існує деяка плутанина. У математичній літературі термін "коваріація" застосовується до центрованих функцій, а "кореляція" - довільних. У технічній літературі, і особливо в літературі за сигналами та методами їх обробки, часто застосовується прямо протилежна термінологія. Принципового значення це немає, але за знайомстві з літературними джерелами варто звертати увагу до прийняте призначення даних термінів.