Chiziqli dasturlash grafik onlayn. Chiziqli dasturlash masalalarini yechishning simpleks usuli. LP vazifalarini ajratishning grafik usuli

Grafik usul ikki o'zgarishdan LP vazifasini bajarish uchun oddiy va asosiy hisoblanadi. Vín poydevor ustida geometrik ruxsat etilgan echimlar va raqamli filtr vazifalarini taqdim etish.

LP boshqaruvidagi nosimmetrikliklar terisi koordinata tekisligida ko'rsatiladi (X 1 , X 2 ) deyak yarim tekislik (1-rasm), va halodagi nosimmetrikliklar tizimi - aylana tekisliklari tizmasi. Nomsiz nuqta qabul qilinadiyechim(ODR). ODR zavzhd є opuklu figura, tobto. agar kuch kelishi mumkin bo'lsa: agar bu rasmda ikkita A va B nuqta yotsa, unda butun AB chizig'i uning ustida yotadi. ODR shishgan bagatokutnik, o'ralgan bo'lmagan shishgan boy kesilgan maydon, vydrízk, o'zgarish, bitta nuqta bilan grafik tarzda ifodalanishi mumkin. Tizimning nomuvofiqligi vaqtida ODR boshining chegarasi bo'sh ko'plikdir.

Eslatma № 1. Yuqorida aytilganlarning barchasini ko'rish mumkin, agar obmezheniya tizimi (1.1) tenglikni o'z ichiga oladi.

a il x 1 + a i 2 x 2 =b

ikkita qoidabuzarlik tizimi ko'rinishida mumkin (1-rasm).

A i 2 x 2<Ь 1э +a i 2 x 2 >bj.

ZF L(x)= s1x1 + s2x2 o'zgarmas qiymatga ega L(x)=L tekislikda s1x1 to'g'ri chiziq shaklida chizilgan. + c2x2 = L. L qiymatini o'zgartirib, biz parallel chiziqlar, sarlavhalar oilasini olib tashlaymiz. teng chiziqlar.

L qiymatining o'zgarishi o'zgarishni kamroq uzoq muddatli bo'lishiga olib kelishi bilan bog'liq, x2 o'qidagi chiziq chizig'i (kob ordinatasi) va to'g'ri chiziqning yuqori koeffitsienti tga =. - doimiy bo'lib qoladi (1-rasm).

Buning uchun chiziq chizig'idan birini induktsiya qilish kifoya, L qiymatini aylantirish uchun etarli.

Vektor C = (c1; c2) teri chizig'iga perpendikulyar x1 va x2 da CF koeffitsientlarining koordinatalari bilan (1-rasm). to'g'ri yo'nalishdavektor Z zbígaêtsya to'g'ridan-to'g'ri oldinga o'sish stantsiyasi ZF, bu vazifalarni bajarish uchun muhim moment. to'g'ri yo'nalishda parchalanish CF qarama-qarshito'g'ri vektor C.

Grafik usulning mohiyati y o'qidir. ODSdagi C vektoriga to'g'ridan-to'g'ri (qarshi) X = (x1; x2) optimal nuqtani qidirish ). Optimal nuqta L (x) funktsiyaning eng yuqori (eng kichik) qiymatini beradigan L max (L min) chizig'idan o'tadigan nuqta hisoblanadi. Optimal yechim har doim ODR chegarasida, masalan, butun to'g'ri chiziqdan o'tadigan ODR bagatokutnikining qolgan tepasida yoki butun tomondan topiladi.

LP muammolarining optimal echimini izlashda quyidagilar mumkin: ísnuє shaxssiz yechim (muqobil optium); ZF o'ralgan emas; ruxsat etilgan echimlar diapazoni - bitta nuqta; Hech qanday yechim yo'q.

Ruxsat etilgan maydon - nap_vploschina

Malyunok 1

1.2. Grafik metod bilan masalalar yechish texnikasi

I. Oʻtish joylarida notekislik belgilarini aniq tekislik belgilari bilan almashtiring va tekis turing.

II. Teri chegaralari tomonidan ruxsat etilgan joylarda bilish va soya qilish - o'simlikning nosimmetrikliklari. Qaysi biri uchun, har qanday nuqtaning koordinatalarini [masalan, (0; 0)] olib tashlangan notekislikning haqiqatini o'zgartiradigan o'ziga xos notekislikka asoslang.

Yakscho tengsizlik haqiqatdir, keyin napívploshchinani soya qilish, bu nuqtadan o'ch olish talab qilinadi; aks holda (Nerívníst khibne) berilgan nuqtadan qasos olmaslik uchun tekis tekislikda soya qilish talab qilinadi.

Parchalar x1 va x2 manfiy bo'lmasligi kerak, ularning ruxsat etilgan qiymatlari har doim o'q x 1 dan yuqori va x2 o'qdan o'ng bo'ladi. 1-kvadrantda.

Obezhennya-tengliklar faqat o'sha nuqtalarga ruxsat beradi, agar ular to'g'ri chiziqda yotsa, shuning uchun grafikda bunday to'g'ri chiziqlarni ko'rishingiz mumkin.

ODRni hududning bir qismi sifatida tayinlang, uni ko'rgan barcha ruxsat etilgan hududlarga bir vaqtning o'zida qo'llanilishi kerak. ODR kunduzi uchun emas qaror qabul qilish, vydpovídny vysnovok qurish uchun nima haqida.

Yakshcho ODR - yuzsiz bo'sh qolma, keyin to'g'ri ol, tobto. be-yaku z chiziq teng z 1 x 1 + z 2 x 2 = L de L - ko'proq son, masalan, 1 ning karrali i z 2, keyin. rozrahunkivdan yaxshiroq. To'g'ridan-to'g'ri chegaralanishni keltirib chiqarishga o'xshashni induktsiya qilish usuli.

V. (0; 0) nuqtadan boshlanib, (c 1, z 2) nuqtada tugaydigan C = (c 1, z 2) vektor hosil qiling. Yakshcho tsylova to'g'ri va vektor perpendikulyar.

VI. Maksimal ZF ni so'raganda, butun chiziqni siljiting to'g'ri yo'nalishda hazil bilan C vektorining min CF - to'g'rilashga qarshi vektor C. dam olish harakat jarayonida GDR ning yuqori nuqtasi max yoki min ZF nuqtasi bo'ladi. Agar bunday nuqta (nuqta) mavjud bo'lmasa, unda visnovok qiling nezamezhenosti CF yoqilgan shaxsiy bo'lmagan rejalar tepaga (píd soat poshuk shah) chi quyida (píd h poshuku min).

max(min) nuqtaning koordinatalarini o'rnating CF X = (x1*; x2* ) va raqamli filtr l (x *) qiymatlarini hisoblang. Optimal X * nuqtasining koordinatalarini hisoblash uchun to'g'ri chiziqlarni tekislash tizimini echib oling, ularning chetida X * mavjud.

Bosh 1

Biz muammoning optimal yechimini bilamiz, matematik modelini ko'rish mumkin

L (X) = 3x1 + 2x2 → maks

x 1 + 2x 2< 6, (1)

2x 1 + x 2< 8, (2)

x 1 + x 2<1, (3)

x 2< 2, (4)

x 1 >0, x 2 >0.

Keling, to'g'ri chiziq hosil qilaylik, buning uchun biz ushbu chiziqlarning koordinata o'qlari bilan koordinatalarini va kesishish nuqtalarini hisoblaymiz (2-rasm).

x 1 + 2x 2 = 6, (1)

2x1+ x2 = 8, (2)

(1) x1 = 0, x1 = 6, x2 = 3, x2 = 0,

(2) x1 = 0, x1 = 4, x2 = 8, x2 = 0,

(3) x1 = 0, x1 = -1, x2 = 1, x2 = 0,

To'g'ri chiziq (4) L(X) o'qiga parallel ravishda x 2 = 2 nuqtadan o'tadi.

Guruch. 2. Vazifalarning grafik taqsimoti

Sezilarli darajada ODR. Masalan, birjadan (3) chiqish joyiga (0; 0) nuqta qo'yaylik, 0 ni olamiz.< 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, qasos oling nuqta (0; 0), keyin. o'ngga va pastki to'g'riga siljiydi (3). Xuddi shunday, boshqa chegaralar uchun ruxsat etilgan kvartiralar va, masalan, eng to'g'ridan-to'g'ri chegaralardagi o'qlar (2-rasm). spylnoyu viloyati, usima obezhennyami tomonidan ruxsat etilgan, tobto. ODR ê bagatokutnik ABCDEF.

Tsilovani rashk uchun to'g'ridan-to'g'ri rag'batlantirish mumkin

Biz (3; 2) nuqtaga 3 nuqta (0; 0) vektor bo'lamiz. E-ce nuqtasi - ABCDEF ruxsat etilgan eritmalar bagatokutnikining qolgan cho'qqisi, yak orqali butun to'g'ri chiziqdan o'tib, qulab tushadi. to'g'ridan-to'g'ri vektor Z. Unga E-tse raqamli filtrning maksimal nuqtasiga ishora qiladi. E’tiborli jihati shundaki, (1) va (2) to‘g‘ri chiziqlarni tenglashtirish tizimidan E nuqtaning koordinatalari.

X1+2x2=6, (1) x1=10/3=3 1/3, x2=4/3=1 1/3

2 X1 + x 2 = 8, (2) E 3 1/3; 1 1/3

Raqamli filtrning maksimal qiymati ko'proq L(E) = 3*10/3+2*4/3 = 12 2/3

Keling, eng oddiy usullarni ko'rib chiqaylik, agar ZLP ikkita o'zgarishlarni o'z ichiga olsa:

Chegara masalalari tizimining (3.8) tartibsizliklar terisi (a)-(b) tekislikni geometrik ravishda chegara chiziqlariga o'xshash tarzda kengaytiradi , X 1 =0 va X 2 =0. Chegara to'g'ri chiziqlaridan teri ikkita pivploschini bo'yicha x 1 x 2 maydonini bo'linadi. Vizual notekislikning yechimi yoritilgan yarim tekisliklardan birida (yarim tekislikning barcha nuqtalari) yotish va keyin koordinatalar o'rnatilganda, nuqtalar notekis ko'rinadi yoki yo'qmi. Nishonga bir nazar tashlab, o'sha yarim tekislik paydo bo'ladi, unda asabiylashish, tobto ajralishi yotadi. nuqta bo'ladimi, tekis sirtmi yoki ma'lum bir notekislikdagi koordinatalarni almashtirishni tanlash usuli. notekislik tsíêíí nuqtasi uchun vikonuetsya bo'lgani kabi, bu vikonuêtsya va tsíêí̈ w napívploschiny dan boshqa har qanday nuqta uchun. Boshqa yo'nalishda, notekislikning buzilishi boshqa kvartirada yotadi.

Vaqti-vaqti bilan (a)-(b) nosimmetrikliklar tizimi izchil bo'lganligi sababli, u holda tayinlangan yarim tekisliklar bilan birga bo'lishi kerak bo'lgan shaxssiz nuqta maydoni rozv'azkív. Agar bu tekis yuzalarning chegara nuqtasi konveks bo'lsa, muammoning ruxsat etilgan kengayishi mintaqasi (3.8) yo'qligining shishishi hisoblanadi, chunki u atirgullarning boy kesmasi deb ataladi (" atamasining oldingi kirishlari"). atirgullarning boy kesimi" tovushi ko'nikish uchun, n 3 kabi). Ushbu bagatokutnikning yon tomonlari to'g'ri chiziqlarda yotadi, ular bir tekis yurishadi chiqish tizimi qoidabuzarlik belgilarini aniq tenglik belgilari bilan almashtirish orqali obmezhen.

Shu tarzda, ZLP ning chiqishi bagatokutnik yechimining bunday nuqtasining ahamiyati bilan aniqlanadi, bunda maqsadli funksiya F maksimal (minimal) qiymatga ega bo'ladi.

Bu nuqta to'g'ri, agar atirgullarning bagatokutniklari bo'sh bo'lmasa va yangi maqsadda funktsiya hayvon bilan o'ralgan bo'lsa. Bagatokutnik cho'qqilaridan birining ongining ahamiyati uchun maqsad funktsiyasining yechimi maksimal qiymatga ega bo'ladi. Berilgan cho'qqilarni aniqlash uchun L chizig'i L chizig'i bo'ladi: c 1 x 1 + c 2 x 2 \u003d h (de h doimiy), vektor-gradientga perpendikulyar i baget eritmasidan o'taman, i o'taman. vektor-gradient nuqtaga parallel, lekin tashqariga cho'zilgan ustunning qolgan vv burchak nuqtasidan bagatokutnik eritmasi bilan o'tmang (vektor-gradient chaqirilganda, x 1 tekislikda nuqta qo'shing (z 1; z 2) Ox 2 va unga qo'llarning to'g'ri chiziqlari koordinatalari kobidan chizamiz). Belgilangan nuqtalarning koordinatalari berilgan vazifa uchun optimal rejani belgilaydi.

ZLP yechishning grafik usuli uchun algoritm tuzamiz.

ZLP ni echishning grafik usuli uchun algoritm

1. Tashqi ZLPni o'rab olish tizimi tomonidan o'rnatiladigan bagatokutnik yechimini rag'batlantirish.

2. Go'yo atirgullarning bagatokutnik - bo'sh lot tomonidan so'ralsa, u holda atirgullarning ZLP chiqarilishi mumkin emas. Boshqa yo'l bilan, vektor-gradientni induktsiya qiling va vektor yo'nalishi bo'yicha maksimalga (yoki vazifa uchun teskari yo'nalishda minimal) siljib, L chizig'ining qo'shimcha chizig'ini chizing. qarorning chegarasi va vazifaning maksimal (min.funksiyasi) ga erishish

3. Topilgan optimal nuqtaning koordinatalarini unga qo‘shiladigan ikkita chegara chizig‘ining tekislashlar tizimini joylashtirgan holda hisoblang.

4. Topilgan optimal yechimni vazifaning maqsad funksiyasiga almashtirib, optimal vv qiymatini hisoblang, tobto: .

ZLP (rozv'yazkiv) ning ruxsat etilgan echimlarining grafik shaxssizligi bilan bunday holatlar mumkin.

Grafik usulda chiziqli dasturlash masalalarini ishlab chiqish ko'rib chiqiladi. Usulning tavsifi. Rozvyazannya vazifalarini qo'llang.

Div. shuningdek: Simpleks usulida masalani yechish

Usulning tavsifi

Chiziqli dasturlashning vazifalariga kelsak, faqat ikkita o'zgarish mavjud va siz uni grafik usul yordamida hal qilishingiz mumkin.

Chiziqli dasturlash muammosini ikkita o'zgartirish bilan ko'rib chiqamiz:
(1.1) ;
(1.2)
Bu erda bir nechta raqamlar mavjud. Vazifa maksimal (maks) qiymati uchun ham, minimal (min) qiymati uchun ham mumkin. Tizimda chegara belgilar, í belgilar kabi bo'lishi mumkin.

Qabul qilinadigan echimlar Pobudova maydoni

Muammolarni hal qilishning grafik usuli (1) hujumkor.
Orqa tomonda biz koordinata o'qlarini chizamiz va o'lchovni tanlaymiz. (1.2) chegaradosh tizimning nosimmetrikliklar terisi tekis chiziq bilan o'ralgan tekis tekislikni belgilaydi.

Shunday qilib, birinchi asabiylashish
(1.2.1)
Men tekis tekislikni bildiraman, uni to'g'ri chiziq bilan chegaralayman. Bir tomondan to'g'ri chiziq yo'nalishi bo'yicha, boshqa tomondan. Juda to'g'ri chiziqda. Tengsizlik (1.2.1) qaysi tomondan ko'rsatilganligini bilish uchun to'g'ri chiziqda yotmaydigan yetarli nuqtani tanlaymiz. Keyinchalik, nuqtaning koordinatalarini taqdim etamiz (1.2.1). Agar notekislik bartaraf etilsa, u holda kvartira tanlangan nuqtadan qasos olishdir. Go'yo notekislik yo'qolmasa, tekis maydon boshqa tomondan kengaytiriladi (nuqtadan qasos olmang). Sirtda soyali, yakka notekislik chiziladi (1.2.1).

Xuddi shu narsa tizimning boshqa tartibsizliklari uchun ham amal qiladi (1.2). Shunday qilib, biz to'ldirish joylarining soyasini olib tashlaymiz. Ruxsat etilgan yechimlar mintaqasining nuqtalari barcha nomuvofiqliklarni qondiradi (1.2). Shuning uchun, grafik jihatdan, ruxsat etilgan eritmalar maydoni (ODR) barcha stimullarning chegarasi hisoblanadi. Soyali ODR. Vaughn ê opuklim bagatokutnik bilan, uning qirralari to'g'ri yotadi. Shunday qilib, ODR sunnatsiz shishgan raqam, vydrízk bo'lishi mumkin, biz uni almashtiramiz yoki to'g'ri.

Kvartiralar uyqu nuqtalaridan o'ch olmasligi uchun siz ayblashingiz va shunday tushishingiz mumkin. Todi ruxsat etilgan echimlar maydoni shaxsiy emas. Bunday qaror yo'q.

Siz usulni so'rashingiz mumkin. Yuzadagi terini soya qilmaslik mumkin, lekin boshning orqa tomonida hamma tekis tovush chiqaradi
(2)
Dali bu to'g'ri chiziqlardan birortasiga yotmaslik uchun etarli nuqtani tanlaydi. Nosimmetrikliklar tizimi uchun y nuqtaning koordinatalarini taqdim eting (1.2). Barcha nosimmetrikliklar aniqlanganligi sababli, ruxsat etilgan eritmalar maydoni to'g'ri chiziqlar bilan o'ralgan va tanlangan nuqtani o'z ichiga oladi. Tanlangan nuqtani o'z ichiga olishi uchun ruxsat etilgan eritmalar maydonini to'g'ri chiziqlar chegarasidan tashqariga soya qiling.

Agar biz bitta notekislikni bartaraf qilmaslikni istasak, unda biz boshqa nuqtani tanlaymiz. Va hozirgacha doklar koordinatalari tizimni (1.2) qondiradigan bitta nuqtani topa olmaydi.

Maqsad funksiyasi ekstremumining qiymati

Bundan tashqari, ruxsat etilgan qarorlar maydoni (ODR) soyali bo'lishi mumkin. Von laman bilan o'ralgan bo'lib, u o'rash va o'zgarishlardan iborat bo'lib, ular tekis bo'lishi kerak (2). ODR zavzhdi ê opuklim shaxssizlik. Bu sochilgan shaxssizlik kabi bo'lishi mumkin, shuning uchun bunday to'g'ridan-to'g'ri bo'lganlarning chekkali vzdovzhi emas.

Endi maqsad funksiyasining ekstremumini topishimiz mumkin
(1.1) .

Biz kimni tanlaymiz, u to'g'ridan-to'g'ri bo'ladi
(3) .
Uzoq haftaning ravshanligi uchun men to'g'ridan-to'g'ri ODR orqali o'tishim muhim. Ushbu to'g'ridan-to'g'ri maqsadli funktsiya doimiy va tengdir. funktsiyaning bunday to'g'ridan-to'g'ri chizig'i deyiladi. Tsya to'g'ridan-to'g'ri kvartirani ikkita kvartiraga ajratadi. Bir pívploschiny ustida
.
Boshqa pívploschiny haqida
.
Shunday qilib, bir tomondan to'g'ri chiziqda (3) maqsadli funktsiya o'sadi. Men scho menga to'g'ri chiziqda bir dona berdim (3), keyin bu muhimroq bo'ladi. To'g'ri chiziqdagi pastki tomondan (3) maqsad funktsiyasi o'zgaradi. Agar siz menga keyingi kitobda to'g'ri chiziqda (3) nuqta bergan bo'lsangiz, u kamroq ahamiyatga ega bo'ladi. Agar (3) to'g'ri chiziqqa parallel to'g'ri chiziq chizsak, u holda yangi to'g'ri chiziq ham maqsad funksiyaning chizig'i bo'ladi, lekin boshqa qiymatlar bilan.

Shunday qilib, maqsad funksiyaning maksimal qiymatini bilish uchun to‘g‘ri chiziqqa (3) parallel, qiymatning ortishidan imkon qadar uzoqroqqa to‘g‘ri chiziq o‘tkazib, bir nuqtadan o‘tish kerak bo‘ladi. ODR. Nishon funksiyaning minimal qiymatini bilish uchun to‘g‘ri chiziqqa parallel (3) va imkon qadar ning qiymatining o‘zgarishi yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri chiziq chizish kerak va siz bir nuqtadan o‘tmoqchisiz. ODR.

Misol uchun, ODR chegaralanmagan, agar siz bunday tekis chiziqni bajara olmasangiz, vipadok yutib olishingiz mumkin. Bik o'sishida (o'zgarishi) chiziqda (3) to'g'ri chiziqni ko'rmaganimiz sababli, biz to'g'ridan-to'g'ri ODR orqali o'tamiz. Ushbu vipadkada siz har doimgidek ajoyib bo'lishingiz mumkin (malim). Buning uchun maksimal (minimal) qiymat yo'q. Hech qanday yechim yo'q.

Biz Nishabga qarashimiz mumkin, agar u juda to'g'ri bo'lsa, ODR bagatokutnikining bir cho'qqisidan o'tish uchun juda to'g'ri ko'rinishga (3) parallel. Grafikadan tepaning koordinatalari ko'rinadi. Keyin maqsad funksiyaning maksimal (minimal) qiymati quyidagi formulaga tayinlanadi:
.
Muammoni hal qilish ê
.

Bundan tashqari, to'g'ri chiziq ODR yuzlaridan biriga parallel bo'lsa, keskin pasayish bo'lishi mumkin. Todi to'g'ridan-to'g'ri ODR bagatokutnikning ikkita cho'qqisidan o'tadi. Cho'qqilarning koordinatalari ko'rinadi. Maqsadli funktsiyaning maksimal (minimal) qiymatini aniqlash uchun siz ushbu cho'qqilarning har qandayining koordinatalarini tanlashingiz mumkin:
.
Menejer shaxsiy bo'lmagan qaror bo'lishi mumkin. Qarorlarga, u nuqta bo'ladimi, u nuqtalar o'rtasida ta, jumladan, o'zlari ta o'rtasida bir vyryzku saralanadi.

Chiziqli dasturlash masalalarini grafik usulda yechish misoli

Kompaniya ikkita A va B rusumdagi matolarni ishlab chiqaradi. Ular bilan uchta turdagi matolar tayyorlanadi. Bir mato namunasini tayyorlash uchun birinchi turdagi 2 m mato, boshqa turdagi 1 m mato, uchinchi turdagi 2 m mato kerak bo'ladi. Bir mato modelini tayyorlash uchun birinchi turdagi 3 m mato, boshqa turdagi 1 m mato, uchinchi turdagi 2 m mato kerak bo'ladi. Birinchi turdagi to'qimachilik mahsulotlari zaxiralari 21 m, boshqa turdagi - 10 m, uchinchi turdagi - 16 m ni tashkil qiladi. bitta, bitta virobu turi B - 300 den. bitta.

Kompaniya uchun maksimal daromadni ta'minlaydigan ishlab chiqarish rejasini tuzing. Vazifa grafik tarzda chizishdir.

Ular o'zgartirilsin va A va B yigirilgan mato modellari soni aniq. Birinchi turdagi bo'yalgan matolarning bir xil soniga biz:
(m)
Boshqa turdagi bo'yalgan matolar soni quyidagicha bo'ladi:
(m)
Stokdagi uchinchi turdagi bo'yalgan matolar soni:
(m)
Oscilki viroblen kilkíst mato salbiy bo'lishi mumkin emas, keyin
Bu .
Dokhid víd vyroblennyh mato zaxirasi:
(Den. od.)

Keyin vazifaning iqtisodiy-matematik modelini ko'rish mumkin:

Virishuemo grafik tarzda.
Koordinatalarning o'tkazilgan o'qlari i.

Biz to'g'ridan-to'g'ri bo'lamiz.
Da .
Da .
(0; 7) va (10.5; 0) nuqtalar orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazamiz.

Biz to'g'ridan-to'g'ri bo'lamiz.
Da .
Da .
(0; 10) va (10; 0) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.

Biz to'g'ridan-to'g'ri bo'lamiz.
Da .
Da .
(0; 8) va (8; 0) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.

Soyali maydon, shunda dog' (2; 2) soyali qismga tarqalib ketadi. OABC to'sarni oling.

(P1.1) .
Da .
Da .
(0; 4) va (3; 0) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.

Bundan tashqari, biz maqsadli funktsiyaga ega bo'lgan koeffitsientlarning ballari ijobiy (400 va 300) ekanligini ta'kidlaymiz, keyin ular o'sish bilan ortadi. Biz to'g'ri chiziqqa parallel ravishda to'g'ri chiziq chizamiz (A1.1), undan b_k o'sish stantsiyasida iloji boricha uzoqroqda, men OABC chizig'ining bir nuqtasidan o'tmoqchiman. Bunday to'g'ri chiziq C nuqtadan o'tadi. Z imtihon koordinatalari.
.

Vazifa uchun yechim: ;

.
Eng yuqori daromad olish uchun 3200 denli omborga ega A. Dokhid rusumli 8 ta mato tayyorlash kerak. bitta.

dumba 2

Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish.

Virishuemo grafik tarzda.
Koordinatalarning o'tkazilgan o'qlari i.

Biz to'g'ridan-to'g'ri bo'lamiz.
Da .
Da .
(0; 6) va (6; 0) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.

Biz to'g'ridan-to'g'ri bo'lamiz.
Zvidsi.
Da .
Da .
(3; 0) va (7; 2) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.

Biz to'g'ridan-to'g'ri bo'lamiz.
To'g'ri bo'ling (barcha abscissa).

Ruxsat etilgan eritmalar hududi (SDR) so'ralgan to'g'ri chiziqlar bilan o'ralgan. Har qanday tomondan, hurmat bilan, maqsad ODRni qo'yish ekanligini tan olish uchun, shardlar qoidabuzarliklar tizimidan mamnun:

Ko'rsatilgan chiziqlar chegarasidan tashqaridagi maydonni soya qiling, shunda dog' (4; 1) soyali qismga o'tadi. Biz triko ABCni olamiz.

Teng funktsiyaning etarli chizig'i bo'ladi, masalan,
.
Da .
Da .
(0; 6) va (4; 0) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.
Oscilki tsílova funktsiyasi zbílshenní bilan zbílshuêtsya, keyin u to'g'ri, chiziq chizig'iga parallel va bík o'sishda undan masofada iloji boricha amalga oshiriladi va triko ABCning bir nuqtasidan o'tishni istasangiz. Bunday to'g'ri chiziq C nuqtadan o'tadi. Z imtihon koordinatalari.
.

Vazifa uchun yechim: ;

Yechimning haqiqiyligiga misol

Razv'yazati grafik zavdannya chiziqli dasturlash. Maqsadli funktsiyaning maksimal va minimal qiymatlarini toping.

Grafik usul yordamida masalani yechish.
Koordinatalarning o'tkazilgan o'qlari i.

Biz to'g'ridan-to'g'ri bo'lamiz.
Da .
Da .
(0; 8) va (2.667; 0) nuqtalar orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazamiz.

Biz to'g'ridan-to'g'ri bo'lamiz.
Da .
Da .
(0; 3) va (6; 0) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.

Biz to'g'ridan-to'g'ri bo'lamiz.
Da .
Da .
(3; 0) va (6; 3) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.

Koordinata o'qlari bo'lgan to'g'ri chiziqlar.

Ruxsat etilgan eritmalar maydoni (ODR) chiziqlar va koordinata o'qlari bilan o'ralgan. Har qanday tomondan, hurmat bilan, maqsad ODRni qo'yish ekanligini tan olish uchun, shardlar qoidabuzarliklar tizimidan mamnun:

Soyali maydon, shunda dog' (3; 3) soyali qismga tarqalib ketadi. Biz cheksiz hududni olib tashlaymiz, men laman ABCDE bilan o'ralganman.

Teng funktsiyaning etarli chizig'i bo'ladi, masalan,
(P3.1) .
Da .
Da .
(0; 7) va (7; 0) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.
Oskílki koefitsíenti ijobiy bilan, keyin zbílshenny í bilan o'sish.

Maksimalni bilish uchun o'sish masofasidan iloji boricha parallel chiziq chizish va ABCDE mintaqasining bir nuqtasidan o'tish kerak. Biroq, oskylki mintaqasi buyuk qadriyatlar tomonida chegaralanmagan, shuning uchun bunday to'g'ri chiziqni chizish mumkin emas. Men to'g'ri chiziqni o'tkazardim, mintaqada har doim nuqtalar, uzoqroq o'ldirishlar va boshqalar bo'ladi. Bunday maksimal yo'q. siz haqiqatan ham ajoyib robiti qilishingiz mumkin.

Shukaemo minimal. Biz to'g'ri chiziqqa parallel, (A3.1) va o'zgarish yo'nalishi bo'yicha imkon qadar to'g'ri chiziq chizamiz, i ABCDE maydonining bir nuqtasidan o'tmoqchiman. Bunday to'g'ri chiziq C nuqtadan o'tadi. Z imtihon koordinatalari.
.
Maqsadli funktsiyaning minimal qiymati:

Maksimal qiymat yo'q.
Minimal qiymat
.

Chiziqli dasturlash (LLP) muammosini hal qilishning eng oddiy va tushunarli usuli grafik usuldir. Chiziqli dasturlash muammosining geometrik talqini va ikkita nevidomimidan ZLP buzilishi bilan zastosovuêtsya asoslari sabablari:

Maydondagi rozv'yazannya tsgogo zavdannyaga qaraylik. Funktsional chegaralar tizimining teri notekisligi chegara chizig'i bilan sirt maydonini geometrik tarzda belgilaydi. a p x, + + a j2 x 2 = b n i = 1, bular. Ko'rinmaslikni yuving va tekis yuzalarni chegara chiziqlari bilan belgilang X (= 0, x 2= 0 mantiqiy. If the system is spіlna, then the nap_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p, merge, utvoryuyuyut zagal’nuyu part, yak є swollen impersonal and є suupnіstyu point; teri koordinatalari s tsikh nuqtasi ê rozvyazkom tsíêí tizimi. Sukupnist tsikh nuqta qo'ng'irog'i atirgullarning boy yoqimtoyi. Vín bir nuqta bo'lishi mumkin, vydrízkom, almashish, uni panjara bo'lmagan bagatoknik bilan chekka.

Geometrik jihatdan ZLP ê koordinatalari chiziqli maqsad funktsiyasining maksimal (minimal) qiymatini beradigan bagatokutnik yechimining bunday yuqori nuqtasini ko'rish uchun, bundan tashqari, ruxsat etilgan echimlar atirgullarning bagatokutnikining barcha nuqtalari.

Chiziqli hizalama bir to'g'ri chiziqda joylashgan shaxssiz nuqtani tasvirlaydi. Chiziqli notekislik kvartirada hududni belgilaydi.

Shunisi e'tiborga loyiqki, hududning bir qismi notekislik bilan ifodalanadi 2x (+ Zx 2 12.

Birinchidan, to'g'ri 2x boraylik, + Zx 2 = 12. G'oliblar (6; 0) va (0; 4) nuqtalardan o'tish. Boshqacha qilib aytganda, sirt notekislikdan mamnun bo'lishi muhimdir. Buning uchun biz to'g'ri chiziq bo'lmasligi uchun grafikdagi nuqta yoki yo'qligini tanlaymiz va bu koordinatalarni notekislikka almashtiramiz. Agar biron bir nomuvofiqlik bo'lsa, unda berilgan nuqtaê joiz echimlar va napívploshchina, notekislikni qondirish, nuqtadan qasos olish uchun. Nerivnist o'rnini bosish uchun koordinatalar kobini qo'lda o'zgartiring. Tasavvur qiling x (= x 2 = 0 y notekislik 2x, + Zx 2 12. 2 0 + 3 0 ni oling

Xuddi shunday, siz chiziqli dasturlashning barcha vazifalarini grafik tarzda tasvirlashingiz mumkin.

Tizimning teri notekisligini hal qilish uchun ZLP chegarasi nap_plyshchina bo'lib, u chegara chizig'idan o'ch oladi va uning oldida bir tomondan chizilgan. Sirtdagi Peretin, uning terisi tizimning asabiylashish turi bilan tavsiflanadi qabul qilinadigan yechimlar maydoni(ODR) yoki tayinlangan hudud.

Shuni yodda tutish kerakki, qabul qilinadigan echimlar maydoni salbiy fikrlarni qondiradi (Xj > 0, j = 1, e). Belgilangan hududga tayinlanishi kerak bo'lgan har qanday nuqtaning koordinatalari vazifaning haqiqiy tayinlanishi hisoblanadi.

ZLP ning grafik yechimi bilan maqsadli funktsiyaning ekstremal qiymatining qiymati uchun biz foydalanamiz gradient vektor, ba'zi bir xususiy maqsad funktsiyasining koordinatalari:

Ushbu vektor to'g'ridan-to'g'ri maqsad funktsiyasining eng aniq o'zgarishini ko'rsatadi. To'g'riga c [ x l + c 2 x 2 \u003d f (x 0), gradient vektoriga perpendikulyar, ê teng chiziq maqsad funktsiyasi (2.2.2-rasm). Chiziq nuqtasi teng bo'ladimi, bir xil qiymatning funktsiyasi bir xil bo'ladi. U doimiy qiymatning maqsad funksiyasiga teng a. Qiymatlarni o'zgartirish a, biz parallel chiziqlar oilasini, teng funktsiyali chiziqning teri chizig'ini olib tashlaymiz.

Guruch. 2.2.2.

Chiziqning kuchi muhim, maydonning chiziqli funktsiyasi shundaki, parallel chiziq bir qatorga siljiganida chiziq kamroq bo'ladi. o's, va keyingi kitobga o'tganda - faqat o'zgartirish.

ZLP ni to'ldirishning grafik usuli bir necha bosqichlardan iborat:

• 1. MChJning maqbul echimlari (ODR) maydoni bo'ladi.
• 2. Nuqtadagi kobdan butun son funksiyaning vektor-gradienti (CF) bo'ladi. x 0(0; 0): V = (s, h 2).
• 3. CjXj+ daryosining chizig'i h 2 x 2 \u003d a (a - doimiy qiymat) - V vektor-gradientga perpendikulyar to'g'ri chiziq; f(x v x 2) doti, ODR o'rtasidagi docklardan mahrum. Minimallashtirishda /(*, x 2) to'g'ri chiziq oldinga, qarama-qarshi vektor-gradientga harakat qiladi. Rossiya maksimal (minimal) nuqtasi bo'lgan ODRning ekstremal nuqtasi (yoki nuqtalari). f(x p jc 2).

Agar u to'g'ri bo'lsa, bu aniq chiziq, o'z Rossiyasi bilan u ODRni to'ldirmaydi, keyin funktsiyaning minimal (maksimal) f(x p x 2) yo'q.

Якщо лінія рівня цільової функції паралельна функціональному обмеження задачі, на якому досягається оптимальне значення ЦФ, то оптимальне значення ЦФ буде досягатися в будь-якій точці цього обмеження, що лежить між двома оптимальними кутовими точками, і, відповідно, кожна з цих точок є оптимальним рішенням ZLP.

4. Nuqtaning koordinatalari maksimal (minimal) ga beriladi. Buning uchun to'g'ri chiziqlar tizimini ajratish, ustunda maksimal (minimal) nuqtani berish kifoya. Qiymat f(x ( , x 2), minimal nuqtada maqsadli funktsiyaning maksimal (minimal) qiymatlarigacha ma'lum.

ZLP ning grafik yechimining mumkin bo'lgan holatlari jadvalda keltirilgan. 2.2.1.

2.2.1-jadval

2.2.1-misol. Korxonalarni tikish uchun mahsulotlarni chiqarishni rejalashtirish (kostyumlar haqida zavdannya).

Biz ikki turdagi kostyumlarni chiqarishni boshlaymiz - inson va ayol. Ayolning kostyumi uchun 1 m jun, 2 m lavsan va 1 kishining mehnat kuni talab qilinadi; bir kishi uchun - 3,5 m tashqarida, 0,5 m lavsan va 1 kishi mehnat kuni. Usyi ê 350 m ochiq havoda, 240 m lavsan va 150 kishi-kun mehnat xarajatlari.

Ayollar kostyumi uchun nafaqa 10 denga teng bo'lishi uchun maksimal nafaqani ta'minlash uchun teri turining nechta kostyumini tikish kerakligini belgilash kerak. bitta, odam kabi - 20 den. bitta. Mamlakatda onaning har qanday izi bilan kamida 60 ta tikish kerak inson kostyumlari.

Muammoning iqtisodiy va matematik modeli

O'zgarishlar: X, - ayollar liboslari soni; x 2 - inson liboslari soni.

Maqsad funktsiyasi:

Ayirboshlash:

Birinchi obmezhennya (vovna) ko'rinishi mumkin x (+ 3,5 x 2 x (350; 0) va (0; 100) nuqtalardan o'tish uchun + 3,5 x 2 = 350. 2x (+ 0,5 x 2 2x x + 0,5 x 2 \u003d 240 (120; 0) va (0; 480) nuqtalardan o'tadi. Uchinchi obmezhennya (pratsi bo'yicha) ko'rinishi mumkin x y + x 2150. To'g'ri x (+ x 2 =(150; 0) va (0; 150) nuqtalardan 150 o'tadi. Almashtirishning to'rtdan bir qismi (inson liboslari miqdori uchun) ko'rinishi mumkin x 2> 60 x 2 = 60.

Natijada, chotirox napívploschinlarining peretinasi zavodimizning ruxsat etilgan qarorlari maydoni bo'lgan bagatok tomonidan olinadi. Bog'dorchilik looperining nuqtasi barcha funktsional nomuvofiqliklarni qondiradimi yoki yo'qmi, va bollard looperning joylashtirilgan nuqtasi uchun, agar notekisliklardan faqat bittasi yo'q qilingan bo'lsa.

Shaklda. 2.2.3 Qabul qilinadigan eritmalarning soyali maydoni (ODR). Optimalga to'g'ridan-to'g'ri aylantirish uchun biz V gradient vektoridan foydalanamiz, uning koordinatalari xususiy, o'xshash maqsadli funktsiyalar:

Bunday vektorni induktsiya qilish uchun koordinatalar kobidan (10; 20) nuqta qo'yish kerak. Aniqlik uchun siz V vektorga proportsional vektordan foydalanishingiz mumkin. Shunday qilib, shakl. 2.2.3 vektor (30; 60) ko'rsatilgan.

10xj + 20x2 = teng chiziqni kutamiz a. U doimiy qiymatning maqsad funksiyasiga teng a. Qiymatlarni o'zgartirish a, biz parallel chiziqlar oilasini, teng funktsiyali teri chiziqlarini hisobga olamiz:

Biz ODRdan chiqish uchun transfer liniyasini berdik. Bizning fikrimizcha (maqsad funktsiyasini maksimal darajada oshirishda) chiziq oqimi gradientning to'g'ri chizig'iga o'xshaydi. Ekstremal cho'qqi nuqtasida maqsadning maksimal funktsiyasiga erishiladi. Nuqta markazining koordinatalarining ahamiyati uchun biz ikkita teng chiziqli tizimni ishlab chiqamiz, bu esa chiziqda maksimal nuqtani beradi:

Qabul qilinadi Ushbu qiymatlar uchun

Vidpovid. Maksimal nafaqa (2300) olish uchun 70 ta ayol (xj 1 = 70) va 80 ta erkak (x 2 = 80) kostyumlarini tikish kerak.

Guruch. 2.2.3. Krapka (70; 80) – masalaning optimal yechimi.2.2.2-misol. Maksimal va minimalni biling f(X):

suvsizlantirishda

Yechim. Gilosda bu dumba Agar chiziq Zx + 3 ga teng bo'lsa, vaziyatni maksimal darajada ayblash x 2 = a birinchi almashishga parallel: x x + x 2 8. Maqsadli funksiya ikki nuqtada maksimal qiymatga etadi: LEKIN(3; 5) bu DA(6; 2) - bu bir vydryzka oladi AB bitta va bir xil ma'no, bu yaxshi 24:

3xj + 3 chizig'ining minimal funktsiyasi uchun dumba og'ishi bilan x 2 - a to'g'ri chiziqning qulashi yonida, vektor-gradientning teskari yo'nalishi. Maqsadli funksiya nuqtada minimal qiymatga etadi D (0,5; 0):

Dumba uchun grafik yechim rasmda ko'rsatilgan. 2.2.4.

Guruch. 2.2.4.

Qiymat: maksimal /(2Q = 24; min /( x)= 1,5. Aksiya 2.2.3. Maksimal bilish / ( X):

suvsizlantirishda

Yechim. Hech qanday yechim yo'q, ZF ning parchalari ODRda hayvonlar bilan o'ralgan emas (2.2.5-rasm).

Chiziqli dasturlash grafik usuldan foydalanadi, buning yordamida ular ko'paytmalarni (bir nechta echimlarni) belgilaydi. Chiziqli dasturlashning asosiy vazifasi optimal rejaga ega bo'lishi mumkinligi sababli, maqsad funksiyasi yechim bugetining cho'qqilaridan birining qiymatini oladi (div. Kichkinalar).

Xizmat topshirig'i. Yordam uchun bu xizmat kirishingiz mumkin onlayn rejimi chiziqli dasturlash masalasini geometrik usulda yechish va ikki tomonlama vazifa yechimini topish (resurslar sonining optimalligini baholash). Dodatkovo Excelda yechim shablonini yaratadi.

Ko'rsatma. Qatorlar sonini (chegaralar sonini) tanlang. Agar ikkitadan ortiq almashtirish mavjud bo'lsa, tizimni SZLP ga olib kelish kerak (div. Butt No 2). Masalan, masalan, 1 ≤ x 1 ≤ 4, u ikkiga bo'linadi: x 1 ≥ 1, x 1 ≤ 4 (shuning uchun qatorlar soni 1 ga ortadi).
Hududni targ'ib qiling ruxsat etilgan yechim(ODR) qo'shimcha xizmatlar uchun ham ishlatilishi mumkin.

Sim kalkulyator bilan bir vaqtda siz quyidagilarni ham ishlatishingiz mumkin:
ZLP ni hal qilishning oddiy usuli

Transport bo'limining jo'natmalari
Matritsali yechim
Onlayn rejimda qo'shimcha xizmat ko'rsatish uchun siz matritsa chetining narxini (pastki va yuqori chegaralarni) aniqlashingiz, egar nuqtasi mavjudligini tekshirishingiz, aralash strategiyaning echimini usullardan foydalangan holda bilishingiz mumkin: minmax, simpleks usuli, grafik (geometrik) usuli, Braun usuli.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumi
O'rtasida hisoblash

Chiziqli dasturlash masalalarini grafik usulda yechish, shu jumladan keyingi bosqichlarni:

1. X10X2 maydonida to'g'ri chiziqlar bo'ladi.
2. Sirtlari ko'rsatilgan.
3. Ular bagatokutnik rozvyazkívni bildiradi;
4. N(c 1 ,c 2) vektor bo'ladi, bu to'g'ridan-to'g'ri maqsadli funktsiyani ko'rsatadi;
5. To'g'ridan-to'g'ri maqsad funktsiyasini uzatish c 1 x 2 + c 2 x 2 N vektorning to'g'ri chizig'i uchun kesilgan halqaning o'ta nuqtasiga = 0.
6. Nuqtaning koordinatalarini va qiy nuqta funksiyasining qiymatini hisoblang.

Butt. Kompaniya ikki turdagi mahsulot ishlab chiqaradi - P1 va P2. Vyrobnitstva uchun ikki xil sirovina mavjud - C1 va C2. Bitta nuqsonli mahsulotning ulgurji narxi qimmat: 5 so'm P1 va 4 d.o uchun. P2 uchun. P1 turdagi va P2 turdagi ishlab chiqarish birligiga Vitrata syrovini jadvalda keltirilgan.
Jadval - Vitrata mahsuloti

1. Chiziqli dasturlash masalasining matematik modelini tuzing.
2. Chiziqli dasturlash masalasini yeching grafik tarzda(Ikki kishi uchun).

Resurs almashinuvi
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6

shodo ichimligi
x 1 +1 ≥ x 2
x2 ≤ 2

Maqsad funktsiyasi
5x1 + 4x2 → maksimal

Todi otrimuemo kelib ZLP:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x1 + 4x2 → maksimal

Agar chiziqli dasturlashning o'zgaruvchan vazifalari soni ikkitadan ko'p bo'lsa, u holda vazifani oldindan ZLP standartiga etkazish kerak.
→ muzdan tushirishdagi maksimal:
x1 + x2 + x3 = 12
2x1 - x2 + x4 = 8
- 2x1+2x2+x5=10
F(X) = 3x 1 - 2x 2 + 5x 3 - 4x 5
SZLP ga o'tish.

Chiziqli dasturlash masalalarini grafik usulda ishlab chiqishning o`ziga xos xususiyatlari

f=x 1 +13x 2 -x 3 +2x 4 +3x 5
-x 2 +x 3 -x 5 =-3
x 1 -4x 2 +3x 3 -x 4 +2x 5 =3
4x 2 -x 3 +x 4 -x 5 =6

Birinchi darajadan boshlab uni x 5 ko'rsatish mumkin:
x5 = -x2 +x3 +3

f=x 1 +13x 2 -x 3 +2x 4 +3(-x 2 +x 3 +3)
x 1 -4x 2 +3x 3 -x 4 +2(-x 2 +x 3 +3)=3
4x 2 -x 3 +x 4 -(-x 2 +x 3 +3)=6
yoki
f=x 1 +10x 2 +2x 3 +2x 4 +9
x 1 -6x 2 +5x 3 -x 4 =-3
5x2 -2x3 +x4 =9

Boshqa tomondan, uni x 4 ko'rsatish mumkin:
x4 = 9-5x2 +2x3
i usi virazida ifodalanishi mumkin:
f=x 1 +6x 3 +27
x1 -x2 +3x3 = 6

X 2 o'zgarishi qo'shimcha o'zgarish sifatida qabul qilinadi va uni "≥" belgisi bilan almashtiring:
f=x 1 + 6x 3 + 27
x 1 + 3x 3 ≥6

№2 dumba

x1 + x2 + x3 = 12
2x1 - x2 + x4 = 8
- 2x1+2x2+x5=10
F(X) = 3x 1 - 2x 2 + 5x 3 - 4x 5
SZLP ga o'tish.
Ushbu zavodning fextavonie-tekislik tizimining matritsasi kengaytirildi:

Misol raqami 3. Chiziqli dasturlash masalasining matematik modelini tuzing va geometrik usulda yechim toping.

• Matematik depozitlar tizimini (noqonuniyliklarni) va maqsad funktsiyasini katlayın.
• Masalaning geometrik talqinini chizing.
• Optimal yechim toping.
• Analitik tekshiruv o'tkazing.
• Sutts va nesutt've resurslarini va ularning ortiqchaligini belgilang.
• Maqsadli funktsiyaning qiymatini hisoblang.
• Ob'ektiv baholangan ballarni hisoblang.
• Chidamlilik kuchini pastga katlayın.