O'zgartirish usuli. Dumba bilan batafsil nazariya. Noma'lum integraldagi o'zgaruvchini almashtirish usuli. O'zgartirishni almashtirish orqali integrallarni echish uchun yechimni qo'llang

Golovna / Qo'shimcha funksionallik

O'zgaruvchini noma'lum integralga almashtirish. Differensiallarni o'zgartirish formulasi. Integratsiyani qo'llash. Chiziqli almashtirishlarni qo'llang.

Zmist

Div. shuningdek: Ahamiyatsiz integrallar jadvali
Asosiy elementar funksiyalar va ularning vakolatlari

O'zgartirish usuli

O'zgaruvchini qo'shimcha ravishda almashtirish orqali oddiy integrallarni hisoblash va ba'zi hollarda buklanganlarni hisoblashni soddalashtirish mumkin.

O'zgaruvchini almashtirish usuli shundan iboratki, chiqish o'zgaruvchisi integratsiyasidan x bo'lsa-da, biz t kabi muhim bo'lgan boshqa o'zgaruvchiga o'tamiz. Bunday holda, biz x va t o'zgarishlarining x = x haqiqiy munosabatlari bilan bog'liqligini hurmat qilamiz (t), yoki t = t (x). Masalan, x = ln t, x = sint, t = 2 x + 1, va boshqalar. Bizning vazifamiz x va t o'rtasida shunday zichlikni tanlashdir, shunda chiqish integrali jadvalga qaytadi yoki oddiyroq bo'ladi.

Go'shtni almashtirishning asosiy formulasi

Keling, integral belgisi ostida nima turganini ko'rib chiqaylik. U f kabi muhim bo'lgan integral funktsiyani yaratishdan iborat (x) va differentsial dx: . X = x munosabatini tanlab, yangi t o'zgarishiga o'tamiz (t). Shunda f funksiyani aniqlashimiz mumkin (x) va t o'zgaruvchisi orqali dx differentsial.

f integral funksiyani ifodalash uchun (x) t o'zgarishi orqali tanlangan x = x munosabatlaridagi x o'zgarishini almashtirishingiz kerak (t).

Differensialning teskarisi quyidagicha hisoblanadi:
.
U holda dx differensial t dagi x differensial dt ga teng bo'ladi.

Todi
.

Darhaqiqat, ko'pincha eskisini funktsiyasi sifatida yangisini tanlashda almashtirish amalga oshiriladigan muammo mavjud: t = t (x). Biz integral funktsiyani ko'rish mumkinligini taxmin qildik
,
de t' (x)- bu t x , unda bunday emas
.

Bundan tashqari, unni almashtirishning asosiy formulasi ikki turda ishlatilishi mumkin.
(1) ,
de x - tse funksiyasi víd t.
(2) ,
Bu yerda t - x ning funksiyasi.

Ko'proq hurmat bilan

Integrallar jadvallarida o'zgaruvchan integratsiya ko'pincha x sifatida belgilanadi. E'tibor bering, o'zgaruvchan integratsiya har qanday harf bilan belgilanishi mumkin. Bundan tashqari, o'zgaruvchan integratsiya qanchalik samarali bo'lishi mumkin.

Keling, jadvalli integralni ko't sifatida ko'rib chiqaylik
.

Bu yerda x har qanday boshqa o'zgaruvchan funksiya bilan yoki o'zgaruvchan funksiya bilan almashtirilishi mumkin. Dumba o'qi mumkin:
;
;
.

Qolgan dasturda quyidagilar tuzatiladi, shuning uchun o'zgaruvchan x integratsiyasiga o'tishda differentsial quyidagicha o'zgartiriladi:
.
Todi
.

Qaysi ilova almashtirish orqali integratsiya mohiyatiga ega. Keyin nima ekanligini taxmin qilishimiz mumkin
.
Bu integraldan keyin jadvalga keltiriladi.
.

Ushbu integralni qo'shimcha almashtirish formulasi yordamida hisoblashingiz mumkin (2) . Keling, t = x ni qo'yaylik 2+x. Todi
;
;

.

O'zgartirish orqali integratsiya dasturi

1) Hisoblanadigan integral
.
Shuni ta'kidlaymiz (sin x)' = cos x. Todi

.
Bu erda t = almashtirishni qo'yamiz gunoh x.

2) Hisoblanadigan integral
.
Eslatib o‘tamiz,... Todi

.
Bu erda t = o'zgarishini almashtirib, vikonal integratsiya qilamiz arktan x.

3) Integratsiyalashgan
.
Eslatib o‘tamiz,... Todi

. Bu yerda integrallashganda t = x o‘zgaruvchisini almashtirish mumkin 2 + 1 .

Chiziqli almashtirishlar

Ehtimol, eng keng tarqalgani chiziqli almashtirishlardir. Bu o'zgaruvchan ko'rinishni almashtirishdir
t = ax + b,
de a va b - doimiy. Bunday almashtirishlar uchun farqlar qo'shma munosabatlar bilan bog'liq
.

Chiziqli almashtirishlar bilan integratsiyani qo'llash

A) Integralni baholang
.
Qaror.
.

B) Integralni toping
.
Qaror.
Bu displey funksiyasi organlari tomonidan tezlashtirilgan.
.
ln 2- bu statik emas. Integralni hisoblash mumkin.

.

C) Integralni baholang
.
Qaror.
Kvadrat atamani belgidan kvadratlar yig'indisiga qisqartiramiz.
.
Integralni hisoblash mumkin.

.

D) Integralni toping
.
Qaror.
Ildiz ostida eriydigan boy birikma.

.
O'zgartirishni almashtirishning integratsiyalashgan, turg'un usuli.

.
Ilgari biz formulani rad etdik
.
Zvidsi
.
Buni topshirgandan so'ng, biz qoldiq dalillarni olib tashlashimiz mumkin.

O'zgaruvchini almashtirish orqali integrallash (almashtirish usuli) integrallarni topishning eng keng tarqalgan usullaridan biridir.

Yangi o'zgarishlarni kiritish meta - integratsiyani soddalashtirish. Eng yaxshi variant - o'zgartirishni almashtirish va yangi jadval integralini olib tashlash. Qaysi almashtirishni amalga oshirish kerakligini qanday bilasiz? Yangi boshlanuvchilar bilim bilan keladi. Qanchalik ko'p ilovalar mavjud bo'lsa, ularni topish ehtimoli shunchalik yuqori bo'ladi. Vikorizatsiyaning kob bosqichida quyidagi simob paydo bo'ladi:

Tobto. Agar boshqa f(x) funktsiya integrali belgisi ostida va f '(x) ga o'xshash bo'lsa, bu f(x) funksiyani dt=f '(x) differensial qoldirib, yangi o'zgaruvchi t sifatida qabul qilish kerak. dx allaqachon.

Keling, ma'lum aktsiyalarga almashtirishni qanday o'zgartirishni ko'rib chiqaylik.

O'zgartirish usuli yordamida integrallarni hisoblang:

Bu yerda 1/(1+x²) arktan x funksiyasiga o‘xshaydi. Shuning uchun, men uni yana o'zgartirishim bilanoq, arctg x ni oling. Keyinchalik - tez:

t ning integrali topilgach, teskari almashtirishni amalga oshiramiz:

Agar t ni sinus sifatida olsak, u kosinus bilan bir xil bo'ladi (belgigacha). Integral ifodada kosinus yo'q. Va eksa t ga o'xshaydi, ko'rsatkichni oling, hamma narsa chiqadi:

Kerakli dt differensialini olib tashlash uchun integral oldidagi sonning ishorasini o'zgartiring:

(Bu yerda (ln(cosx))' - . )

Ushbu darsda biz ahamiyatsiz integrallarni ko'paytirish jarayonida erishish mumkin bo'lgan eng muhim va eng keng usullardan biri - o'zgaruvchini almashtirish usuli bilan tanishamiz. Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun asosiy bilim va integratsiya ko'nikmalari talab qilinadi. Agar integral sonda bo'sh to'liq choynak bo'lsa, avval siz material bilan tanishishingiz kerak, bu erda men bunday integral ekanligini tushunarli shaklda tushuntirib beraman va boshoqlar uchun asosiy butalar haqida hisobot beraman.

Texnik jihatdan o'zgaruvchini noma'lum integralga almashtirish usuli ikki usulda amalga oshiriladi:

- Differensial belgisi ostida topshirilgan funksiyalar;
- o'zgartirish Vlasna almashtirish.

Aslida, bir xil narsa, lekin qarorning dizayni boshqacha ko'rinadi.

Bu oddiy portlashdan ko'proq narsa.

Differensial belgi ostida topshirilgan funksiyalar

Sinfda Qiymatsiz integral. Qaroringizni qo'llang Differensialni ochishni boshladik, men ko'rsatgan dumbani taxmin qilaman:

Differensialni ochish uchun rasmiy ravishda bir xil narsalarni bilib olishingiz mumkin.

Butun 1

Vikonati qayta tasdiqlang.

Integrallar jadvaliga qaraganda, shunga o'xshash formula mavjud: . Ammo muammo shundaki, sinus ostida bizda nafaqat "X" harfi, balki murakkab ibora mavjud. Bu nima qo'rqoq?

Funksiyani differentsial belgisi ostiga qo'yamiz:

Differensial egri chiziqni ochib, buni tekshirish oson:

Aslida i - Bu bitta va bir xil rekord.

Prote, bizda ovqat tugadi va biz o'ylaganimizdek, birinchi navbatda integralimizni quyidagicha yozishimiz kerak: ? Nega bu shunday va nega boshqacha emas?

Formula (va barcha boshqa jadval formulalari) adolat va turg'unlik FAQAT o'zgaruvchan emas, balki har qanday yig'iladigan viruslar uchun ham B ARGUMENT FUNKSIYASIGA MUSTAHKAR.(- bizning dumbamizda) I DIFFERENTIAL BOLI BELGISI OSTIDA VIRAZ XUDDI O'SHA PAYT .

Shu sababli, eng yuqori qiymatlar bilan birlashish taxminan quyidagicha rivojlanishi mumkinligi aniq: "Integralni oshirishning hojati yo'q. Men stolga qaradim va formulani topdim . Ammo menda murakkab dalil bor va men darhol formulani shakllantira olmayman. Biroq, agar men uni differentsial belgi ostida olib tashlasam, unda hamma narsa yaxshi bo'ladi. Agar yozsam, unda. Shu bilan birga, chiqish integrali ko'paytiruvchi-uchlikka ega emas, shuning uchun integral funktsiya ga ko'paytmaguncha o'zgarmaydi. Taxminan shunday aniq pasayish jarayonida quyidagi yozuv kiritiladi:

Endi siz jadval formulasidan foydalanishingiz mumkin :

Tayyor

Birlik, bizda "IX" harfi yo'q, lekin yig'iladigan ibora.

Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Mana o'xshashlik va farqlar jadvali:

Chiqish integral funktsiyasi o'chirildi va integral to'g'ri topildi.

Shuni esda tutingki, qayta tekshirish paytida biz katlama funktsiyasini farqlash qoidasiga amal qilamiz. . Aslini olganda, funksiyalar differensial belgisi ostida yig'iladi - ikkita o'zaro teskari qoida mavjud.

Button 2

Keling, integral funktsiyani tahlil qilaylik. Bu erda bizda farq bor va belgi chiziqli funktsiyadir (birinchi bosqichda "ix" bilan). Integrallar jadvaliga qarab, biz eng yaqin o'xshashlikni topamiz: .

Funksiyani differentsial belgisi ostiga qo'yamiz:

Puldan bir zumda qutulish muhim bo'lganlar, chunki ular ko'payishi kerak, tezda differentsialni ochishi mumkin: . Ha, bu shuni anglatadiki, hech narsa o'zgarmasligi uchun integralni ga ko'paytirish kerak emas.
Quyida jadval formulasi keltirilgan: :

Tekshirish:

Chiqish integral funktsiyasi o'chirildi va integral to'g'ri topildi.

Butun 3

Qiymatsiz integralni toping. Vikonati qayta tasdiqlang.

Butun 4

Qiymatsiz integralni toping. Vikonati qayta tasdiqlang.

Bu mustaqil qarorning namunasidir. Keling, darsni tugatamiz.

Integrallar echilgandan so'ng, shunga o'xshash ko'tlar ochilib, no'xat kabi chertadi:

Ushbu paragrafning oxirida men "erkin" variantni ham ta'kidlamoqchiman, agar chiziqli funktsiyada bitta koeffitsientdan o'zgarish amalga oshirilsa, masalan:

To'g'ri aytganda, yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Ko'rib turganingizdek, differentsial belgi ostida funktsiyalarni o'tkazish hech qanday qo'shimchalarsiz "og'riqsiz" edi. Shuning uchun, amalda, bunday uzoq muddatli qarorlar ko'pincha darhol yozish qiyin, shuning uchun . Agar kerak bo'lsa, hisob-kitoblarni qanday hisoblaganingizni tushuntirishga tayyor bo'ling! Jadvalda integralning bo'laklari yo'q.

Noma'lum integraldagi o'zgaruvchini almashtirish usuli

Keling, lateral qo'shimchani ko'rib chiqaylik - belgisiz integraldagi o'zgaruvchilarni almashtirish usuli.

Butun 5

Qiymatsiz integralni toping.

Men darsning boshida ko'rib chiqqan integralni oldim. Yuqorida aytib o'tganimizdek, vertikal integral uchun bizda jadvalli formula mavjud , va o'ngdagi hamma unga yetaklamoqchi.

O'zgartirish usulining g'oyasi yig'iladigan shaklni (yoki funksiyani) bitta harf bilan almashtiring.
Kimdir so'raydi:
Almashtirish uchun yozuvchining mashhurligi uchun boshqasi yozuvchidir.
Asosan, boshqa adabiyotlarga taqlid qilish mumkin, lekin baribir an'anaga amal qiladi.

Boshqa:
O'zgartirilsa, biz uni yo'qotamiz! Singlingly, kim yangi o'zgarishlarga o'tish bor deb taxmin qilgan bo'lsa, keyin yangi integral barcha harf orqali ifodalanishi mumkin , va differentsial bir joyda.
Sizga kerak bo'lgan narsalarning mantiqiy xulosasi uni faqat uzoq vaqt davom etadigan ijodiy yo'lga aylantiring.

Diya taka. Biz almashtirishni tanlaganimizdan so'ng, ushbu ilovada biz differentsialni bilishimiz kerak. Farqlarni hisobga olgan holda, menimcha, hammaning do'stligi allaqachon o'rnatilgan.

Oskolki, keyin

Differensialni tahlil qilgandan so'ng, qoldiq natijani iloji boricha qisqacha qayta yozishni tavsiya qilaman:
Endi, mutanosiblik qoidalariga asoslanib, bizga nima kerakligini aniqlaymiz:

Xaltada:
Ushbu tartibda:

Va bu jadval integralining o'zi (Integrallar jadvali, albatta, o'zgaruvchi uchun ham amal qiladi).

Oxir-oqibat, uni almashtirish imkonsiz bo'lib qoldi. Bilasizmi.

Tayyor.

Ko'rib chiqilgan dumbaning tayyor dizayni quyidagicha ko'rinishi mumkin:

“

Keling, almashtiramiz:

“

Belgida hech qanday matematik ma'no yo'q, bu biz keyingi tushuntirishlar uchun echimlarni to'xtatganimizni anglatadi.

Dumbani bezashda, oddiy zaytun bilan bo'rttirma emas, balki yoqani almashtirishning qoplama nishoni tikiladi.

Hurmat! Bunday dumbalar bilan differentsial tafsilotlari hujjatlashtirilmaydi.

Va endi ochishning birinchi usulini taxmin qilish vaqti keldi:

Nima farqi bor? Printsipial jihatdan farq yo'q. Bu aslida bir xil. Biroq, dizaynning ko'rinishidan, differentsial belgi ostida funktsiyani kiritish usuli juda qisqa..

Bunga oziq-ovqat aybdor. Birinchi usul qisqa bo'lgani uchun, biz almashtirish usulini tanlashimiz kerakmi? O'ng tomonda, bir qator integrallar uchun funktsiyani differentsial belgisi ostida "moslash" unchalik oson emas.

Butun 6

Qiymatsiz integralni toping.

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz: (bu erda almashtirishni qayd etish muhim)

Ko'rib turganingizdek, almashtirish natijasida chiqish integrali sezilarli darajada kamayadi - asl statik funktsiyaga ko'tariladi. Bu almashtirishning bir xil usuli - integralni soddalashtirish.

Odamlarga boshlarini yopishib olishlariga imkon bering va funksiyani differentsial belgi ostida bo'lish uchun integral usuldan osongina foydalaning:

Boshqacha qilib aytganda, bunday yechim barcha talabalar uchun emas. Bundan tashqari, ushbu ilova allaqachon differentsial belgi ostida funktsiyalarni bo'ysundirishning boshqa usuliga ega hokimiyat bilan adashib qolish xavfi katta.

Butt 7

Qiymatsiz integralni toping. Vikonati qayta tasdiqlang.

Button 8

Qiymatsiz integralni toping.

O'zgartirish:
Yo'qotilgan z'yasuvati, nimani o'zgartirish kerak

Xo'sh, biz "X" bilan ishlash uchun yana nima borligini aniqladik, agar siz raqamlarda ishingizni yo'qotsangiz nima bo'ladi?!
Ba'zan, integrallar echilayotganda, yangi hiyla paydo bo'ladi: biz uni xuddi shu almashtirishdan bilib olamiz!

Button 9

Qiymatsiz integralni toping.

Bu mustaqil qarorning namunasidir. Keling, darsni tugatamiz.

Button 10

Qiymatsiz integralni toping.

Ajdodlar dasturxonida o‘zgaruvchanni almashtirish qoidasi yo‘qligini kuy-qo‘shiqlar o‘z hurmatini bildirdi. Zrobleno tse svidomo. Qoida firibgarni bu tushunchani oydinlashtirishga olib kelgan bo'lardi, dahshatli ko'rinishdagi dumbalarning bo'laklari aniq ko'rinishda ko'rinmaydi.

Asosiy fikr o'zgarishi va o'zgarishni almashtirish usuli haqida gapirish vaqti keldi: Integral ifoda shunga o'xshash funktsiyaga ega:(funktsiyalar mavjud yoki mavjud bo'lmasligi mumkin)

Shu munosabat bilan, integrallar topilganda, siz tez-tez bog'liq bo'lganlar jadvaliga qarashingiz kerak.

Misolda, raqam darajasi standart darajadan bir kam ekanligi qayd etilgan. O'xshashliklar jadvalidan biz bir qadamni qisqartiradigan formulaga egamiz. Shunday qilib, agar siz imzolovchi sifatida tayinlangan bo'lsangiz, raqamlovchining yaxshi chiqishi ehtimoli katta.

Nyuton-Leybnits formulasining vitsistrallari bilan integrallarni hisoblashda tegishli masalaning bosqichlarini (birlamchi integral funktsiyani topish, birlamchi integralning ortishini topish) qat'iy ravishda ajratmaslik kerak. Vikorista formulalarni konkretlashtiradigan, o'rnini bosadigan va integral integral uchun qismlarga birlashtiradigan bu yondashuv, shuning uchun bizga yechimni yozishni soddalashtirishga imkon beradi.

TEOREMA. ph(t) funksiya [a,b], a=ph(a), v=ph(b) kesimga uzluksiz harakatlansin va f(x) funksiya x= ko‘rinishdagi har bir x nuqtada uzluksiz bo‘lsin. ph(t), bu yerda t[a,b].

Keyin bunday rashk oqlanadi:

Bu formula integraldagi o'zgaruvchini almashtirish formulasi deb ataladi.

Baholanmagan integral bilan oldingi holatga o'xshab, o'zgaruvchini tezda almashtirish integralni soddalashtirishga imkon beradi va uni jadvalga yaqinlashtiradi. Ushbu bosqichda baholanmagan integralni almashtirishda chiqish o'zgarishi integratsiyasiga qaytishning hojati yo'q. t darajasidagi ph(t)=a va ph(t)=v ning yechimi sifatida yangi t o‘zgarishi orqasida a va b ning integrallanishini bilish kifoya. Darhaqiqat, almashtirishni almashtirishda ular ko'pincha yangi o'zgarishlarning eskisi orqali t=ps(x) nisbatini ko'rsatishdan boshlanadi. Bunda t o‘zgaruvchining integrallashi o‘rtasidagi bog‘liqlik: a = ps (a), b = ps (c) bo‘ladi.

19-misol. Hisoblang

Keling, t = 2 ning 2 ni qo'yaylik. U holda dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx i xdx=-dt. Agar x=0 bo'lsa, t=2-0 2 =2, x=1 bo'lsa, u holda t = 2-1 2 = 1. Otzhe:

20-misol. Hisoblang

O'zgartirishni tezda almashtirish mumkin. Todi i. Agar x=0 bo'lsa, t=1 va x=5 bo'lsa, t=4 bo'ladi. O'zgartirilgandan so'ng, tashlanadi.

Formulaga asoslanish usuli: f (x) dx = f (j (t)) j ` (t) dt, bu erda x = j (t) - tahlil qilingan intervalda farqlanadigan funktsiya.

Tugallandi. Keling, formulaning chap va o'ng tomonlari o'rtasidagi farqni bilib olaylik.

Chap tomonning oraliq argumenti x = j (t) bo'lgan murakkab funktsiyaga ega ekanligi muhimdir. Shuning uchun t ga nisbatan farqlash uchun avval integralni x ga nisbatan differensiallash, keyin esa oraliq argumentga yondashish kerak.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

O'ng tomondan:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Shunday qilib, ular teng bo'lgani uchun, Lagrangening chap va o'ng teoremasidan meros bo'lib, formulaning hosil bo'lgan qismlari aniq yo'lga bo'linadi. Fragmentlarning o'zi noma'lum doimiy qo'shilishgacha bo'lgan qiymatlar bilan birlashtirilgan, keyin qoldiq yozuvdagi konstanta olib tashlanishi mumkin. Tugallandi.

Bunday holda, o'zgaruvchini almashtirish bizga chiqish integralini soddalashtirishga va eng oddiy hollarda uni jadvalga qisqartirishga imkon beradi. Bu usul chiziqli va chiziqli bo'lmagan almashtirish usullariga bo'linadi.

a) Dumbadan chiziqli almashtirish usulini ko'rib chiqamiz.

dumba 1.. Shunday qilib, t = 1 - 2x bo'lsin

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Bu shuni anglatadiki, yangi o'zgarish aniq yozilishi mumkin. Keling, differentsial belgisi ostida funktsiyalarni qayta yaratish va doimiy va o'zgaruvchanlarni differentsial belgisi ostida o'tkazish haqida gapiraylik. O bilvosita almashtirish.

dumba 2. Masalan, biz òcos(3x + 2)dx ni bilamiz. Differensialga hokimiyat orqasida
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), keyin òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

Har ikkala ko'rib chiqilgan ilovalarda integrallarni topish uchun chiziqli almashtirish t = kx + b (k ¹ 0) ishlatilgan.

Quyidagi teorema to'g'ri.

Chiziqli almashtirish teoremasi. F(x) f(x) funksiya uchun birinchi amal bo‘lsin. U holda òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, bu erda k va b doimiy harakatlar, k ¹ 0.

Tugallandi.

òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C integral qiymatlari uchun.
d(kx + b) = (kx + b) `dx = kdx. Integral belgisi uchun og'irlikdagi doimiy ko'paytma k: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Endi siz tenglamaning chap va o'ng qismlarini k ga bo'lishingiz va tasdiqning isbotini olib tashlashingiz mumkin. doimiy qo'shilish qiymatiga aniqlik bilan.

Bu teorema x argumenti o'rniga f(x)dx = F(x) + C qiymatli integralini (kx + b) ifodani qo'yishini va antiderivativ oldida qo'shimcha ko'paytma 1/k paydo bo'lguncha kamaytirilishini bildiradi.

Quyidagi nazariyalar ham shunga o'xshash qo'llanilishi mumkin.

dumba 3.

Bilamiz. Bu erda kx + b = 3 - x, keyin. k = -1, b = 3. Todi

dumba 4.

Bilamiz. Bu erda kx+b=4x+3, keyin. k = 4, b = 3. Todi

Butun 5.

Bilamiz. Bu erda kx+b=-2x+7, keyin. k = -2, b = 7. Todi

Butun 6. Bilamiz. Bu erda kx+b=2x+0, keyin. k = 2, b = 0.

Biz dumba 8 natijasini tenglashtiramiz, bu esa keyinchalik ochish usuli bilan aniqlanadi. Ko'pincha boshqa usuldan foydalanib, biz dalillarni olishga muvaffaq bo'ldik . Natijalarni osongina chiqarish mumkin: . Shunday qilib, bu iboralar doimiy qo'shilish bo'yicha bir-biridan farq qiladi. Videolarni birma-bir olib tashlay olmaysiz.

Butt 7. Bilamiz . Ko'rinishidan, bannerda yangi kvadrat bor.

Ba'zi hollarda, o'zgaruvchini almashtirib, integralni to'g'ridan-to'g'ri jadvalga tushirmang, aks holda siz kengaytirish usulining keyingi bosqichida to'xtab qolishi mumkin bo'lgan qarorni soddalashtirishingiz mumkin.

Button 8. Masalan, biz bilamiz. t = x + 2 ni almashtiring, keyin dt = d (x + 2) = dx. Todi

de C = C 1 – 6 (qatordagi (x + 2) t o‘rnini almashtirganda, birinchi ikkita qo‘shimchani o‘rniga qo‘yish ½x 2 -2x – 6 ayiriladi).

Button 9. Bilamiz. t = 2x + 1 bo'lsin, keyin dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t - 1) / 2.

Keling, t oyatini (2x + 1) almashtiramiz, qo'llarni oching va ularni xuddi shunday chizamiz.

Qayta yaratish boshqa doimiy qo'shimchaga o'tganligi muhim, chunki Qayta yaratish jarayonida doimiy qo'shimchalar guruhi chiqarib tashlanishi mumkin.

b) Ko'tdan chiziqli bo'lmagan almashtirish usulini ko'rib chiqamiz.

dumba 1.. t = - x2 bo'lsin. Keyin x ni t orqali ifodalash, keyin dx ifodasini topish va kerakli integral uchun o'zgaruvchining o'zgarishini amalga oshirish mumkin bo'ladi. Ammo bu holda buni boshqacha qilish osonroq. Biz dt = d(-x2) = -2xdx bilamiz. Xdx virusi subintegral virusning kopolimeri ekanligi muhim ahamiyatga ega. Virazimo yogo otrimanyi xdx = - ½ dt. Todi

= ? (-?) e t dt = (-?)?

Keling, yana bir nechta dumbalarni ko'rib chiqaylik.

dumba 2. Bilamiz. t = 1 - x2 bo'lsin. Todi

dumba 3. Bilamiz. t = bo'lsin. Todi

;