Mantiqiy o'zgaruvchilarning haqiqat jadvallarini yechish. Mantiqiy funksiyalarni kiritish qoidalari

Men, bu siz uchun katlamali mantiqiy ko'rinishlarni rivojlantirish uchun etarli bo'ladi. Biz mantiqiy operatsiyalarni katlamada ushbu mantiqiy operatsiyalarni terish tartibini ham ko'rib chiqishimiz mumkin va buni tasavvur qilish mumkin. haqiqat jadvallari teri mantiqiy jarrohlik. Biz sizga matematika va . Saytdagi vazifani bajarish uchun siz kuch qo'yishingiz mumkin bo'lgan va vazifani bajarishda yordam beradigan ko'plab dasturlarning yordami uchun. Sog'ligingiz uchun xizmatlarimizni yutib oling!

Lug'at, mantiqning ta'rifi

Vislovlyuvannya- bu o'rinli taklif bo'lib, uning to'g'ri yoki yo'qligini aniq aytish mumkin (to'g'ri (mantiqiy 1), bema'nilik (mantiqiy 0)).

Mantiqiy operatsiyalar- rozumoví dííí, bunday o'zgarishlar natijasida men tushunishga, yangilarini esa tushunishga ma'rifat berishga majburman.

mantiqiy ifoda- biz rekordni tasdiqladik, kudi, doimiy qiymatlar ishonib topshirildi, obov'yazkovo o'zgartirish qiymatlarini kiriting (ob'êkti). Ushbu o'zgaruvchan qiymatlarning (ob'ektlarning) past qiymati mantiqiy viraz ikkita mumkin bo'lgan qiymatdan birini qabul qilishi mumkin: rost (mantiqiy 1) yoki noto'g'ri (mantiqiy 0).

Katlanuvchi mantiqiy viraz- qo'shimcha mantiqiy operatsiyalar uchun ishlatiladigan bir yoki bir nechta oddiy mantiqiy virazdan (yoki katlamali mantiqiy virazdan) tashkil topgan mantiqiy viraz.

Mantiqiy amallar va haqiqat jadvallari

1) Mantiqiy ko‘plik chi birikmasi:

Konyunktiya ko'proq katlanabilen mantiqiy virazdir, chunki uni o'sha va undan kamroq haqiqat hurmat qiladi, agar oddiy virazlarning haqoratlari to'g'ri bo'lsa, boshqa barcha virazlarda bu buklanadigan viraz yaxshi emas.
Imzo: F = A&B.

Bog'lanish uchun haqiqat jadvali

3) Mantiqiy listing va inversiya:

Inversiya ko'proq katlanabilen mantiqiy viraz, agar tashqi mantiqiy viraz rost bo'lsa, u holda transkripsiya qilinganning natijasi gibnim bo'ladi va boshqa tomondan, agar transkripsiya qilingan mantiqiy viraz ko'proq moslashuvchan bo'lsa, u holda transkripsiya qilingan natija haqiqat bo'ladi. Boshqa oddiy so'zlar bilan aytganda, bu operatsiya mantiqiy mantiqiy aqlga EMAS yoki WRONG, SCHO so'zining bir qismi qo'shilganligini anglatadi.

Inversiya uchun haqiqat jadvali

5) Mantiqiy tenglik va ekvivalentlik:

Ekvivalentlik - tse buklangan mantiqiy ifoda, ê íê íê íê íê í í í dan kam, agar haqoratli íẑ oddiy íí̈ logicalíchí vrazi mayut íâíííííííííí.

Ekvivalentlik uchun haqiqat jadvali

Katlamali mantiqiy ifodada mantiqiy amallarni terish tartibi

1. Inversiya;
2. Bog‘lovchi;
3. disjunksiya;
4. Implication;
5. Ekvivalentlik.

Belgilangan tartibni o'zgartirish uchun mantiqiy operatsiyalar teskarisiga o'tkaziladi.

Tilning haqiqatini aniqlash muammosi ko'plab fanlar oldida turibdi. Bu ko'rgazmali intizom bo'ladimi, u dalillarning haqiqati uchun ma'lum mezonlarga ko'ra tuzilgan bo'lishi mumkin. Mezonlarga amal qiladigan fan mantiq algebrasi deb ataladi. Mantiq algebrasining asosiy postulati shundan iboratki, vitiya vyyuvate qat'iyligi algebraik aql nuqtai nazaridan soddaroq qat'iylik bilan taqdim etilishi mumkinmi yoki yo'qmi, uning haqiqati yoki ikkiyuzlamachiligi osongina tan olinadi.

Ta’kidlar ustida “algebraik” díí̱̱̈ bo‘ladimi, o‘zgargan turg‘unlikning chibnosti haqiqatiga qarab, o‘zgargan turg‘unlikning haqiqati va chibligini belgilash qoidasi o‘rnatiladi. Qi qoidalari orqali yoziladi Haqiqat jadvallari virazu. Birinchidan, haqiqat jadvallarini to'plang, siz mantiq algebrasi bilan yaqinroq tanishishingiz kerak.

Mantiqiy ifodalarning algebraik transformatsiyasi

Yoga o'zgarishi (mustahkamlash) kabi mantiqiy viraz bo'ladimi, ikkita ma'no bor: yolg'on gaplar rost. Yolg'on nol bilan, haqiqat esa bitta bilan ko'rsatilgan. Razíbravshis íz ruxsat etilgan qiymatlar maydoniga tayinlangan maydon, biz mantiqning dií algebrasiga qarashimiz mumkin.

Zarechennya

Transkripsiya qilingan va teskari- Eng oddiy mantiqiy transformatsiya. Yomu vídpovídaê chastka "yo'q." Ushbu transformatsiya shunchaki qarama-qarshilikning qattiqligini o'zgartiradi. Qattiqlikning Vidpovidno qiymati ham uzunligi bo'yicha o'zgaradi. Agar A ning qat'iyligi to'g'ri bo'lsa, unda "A emas" yomon. Masalan, “to‘qson daraja baland bo‘lgan to‘g‘ri kut – tse kut” qat’iyligi haqiqatdir. Todi yogo tilovati "to'g'ri kesish to'qson daraja sog'lom emas" - bu bema'nilik.

Ro'yxatga olish uchun haqiqat jadvali shunday bo'ladi:

ajratish

Qaysi operatsiya bo'lishi mumkin achchiq, lekin qattiq, ularning natijalari ko'rib chiqiladi.

Vídpovídaê ittifoqida Zvichayna dis'yunktsiya chi mantiqiy katlama "chi". Agar uning oldiga kirgan qat'iylikdan faqat bittasi rost bo'lsa, u rost bo'ladi. Masalan, "Yer dumaloq yoki uchta kit ustida turadi" viraz to'g'ri bo'ladi, mustahkam bo'lishi kerak bo'lgan kishiga - bu do'st va do'zax bo'lsa ham, haqiqatdir. Jadval quyidagicha ko'rinadi:

Suvorni ajratish yoki qo'shish moduli ham deyiladi "yoqish". Bu operatsiya "ikkidan biri: yoki ..., yoki ..." grammatik konstruktsiyasi kabi ko'rinishi mumkin. Bu erda mantiqiy fikrlashning ma'nosi hibny bo'ladi, chunki yangidan oldin kiradigan barcha qat'iylik bir xil haqiqat bo'lishi mumkin. Tobto, norozilik qat'iylik, yoki ayni paytda rost, yoki hibni.

Qiymatlar jadvali o'z ichiga oladi yoki

Implication va ekvivalentlik

Izoh oqibatí grammatik jihatdan "A dan B dan keyin" kabi ifodalanishi mumkin. Bu erda mustahkamlik A peredumovoy deb ataladi va B - oxirgi. Ma'no yomon bo'lishi mumkin, faqat xuddi shunday: go'yo fikr haqiqat, ammo oqibat yomon. Bu bema'nilik haqiqat uchun gapira olmaydi. Reshti vipadkiv-da, ma'no haqiqatdir. Variantlar, agar qat'iylikdan norozilik bir xil haqiqat bo'lishi mumkin bo'lsa, qichqirmang. Ammo nega kechirim sababiga - haqiqatga ergashish to'g'ri? O'ng tomonda, afv uchun siz viplivat be-scho bo'lishingiz mumkin. Í tse vídríznyaê implication víd ekvivalentlik.

Matematika (va boshqa ko'rgazmali fanlar) zarur aqlni qo'llash uchun g'alaba qozonish ma'nosiga ega. Masalan, qattiqlik A - "O nuqtasi to'xtovsiz funktsiyaning ekstremumidir", qattiqlik B - "Pro nuqtasida shunga o'xshash to'xtovsiz funktsiya nolga aylanadi." Agar O, uzluksiz funksiyaning ekstremum nuqtasi bo'lsa, u holda bu nuqtada yomonroq bo'ladi va haqiqatan ham u nolga yaqinroq bo'ladi. Agar bu ekstremal nuqta bo'lmasa, unda bu nuqtada yomonroq bo'ladi, siz nolga teng bo'lishingiz mumkin yoki siz bo'lolmaysiz. Bu B A uchun zarur, lekin etarli emas.

Natijalar uchun haqiqat jadvali yaqinlashib kelayotgan darajaga o'xshaydi:

Mantiqiy operatsiya ekvivalenti, aslida, ê o'zaro ta'sirlar. “A B ga ekvivalent” degani bir vaqtning o‘zida “s A B ni kuylaydi” va “s B A” ni kuylaydi. Ekvivalentlik to'g'ri, agar huquqbuzarlik qat'iy bo'lsa yoki bir vaqtning o'zida noto'g'ri bo'lsa yoki bir vaqtning o'zida noto'g'ri bo'lsa.

Matematikada g'alabaning ekvivalentligi zarur va etarli aqlni bildirish uchundir. Masalan, tasdiq A - "Nuqta uzluksiz funksiyaning ekstremum nuqtasi", tasdiq B - "Pro nuqtada teskari funksiya nolga aylanadi va ishorani o'zgartiradi." Qi ikkita qattiq jism ekvivalentdir. A uchun zarur bo'lgan aqldan o'ch olish uchun. bu dumba B firmasi boshqa ikkitasining birikmasiga to'g'ri keladi: "nolga aylanish nuqtasida yomonroq" va "belgini o'zgartirish haqida" nuqtada yomonroq.

Boshqa mantiqiy funktsiyalar

Asosiylari ko'proq ko'rib chiqildi mantiqiy operatsiyalar, yaky ko'pincha vikoristovuyutsya. Ê th ínshí funkííí, scho vikorivuyutsya:

• Schaefferning zarbasi yoki absurdligi ê o'zaro bog'liqliklari A va B
• Pirs o'qi keng ko'lamli disjunksiyalarni ifodalaydi.

Pobudova haqiqat jadvali

Har qanday mantiqiy sababga ko'ra haqiqat jadvalini yaratish uchun algoritmga oqilona tarzda ishlash kerak:

1. Oddiy qattiqlikdagi virazni sindirib, ularning terisini o'zgarish sifatida tan oling.
2. Mantiqiy transformatsiyani belgilang.
3. Buyurtmani ochib bering dyy tsikh qayta ishlash.
4. Porohuvat kelajakdagi stolda qatorlar. Їx kílkíst dorívnyuê ikki qadam N, de N - o'zgarishlar soni, shuningdek, jadval sarlavhasi uchun bir qator.
5. Stovptsiv sonini belgilang. O'zgarish miqdori va o'zgarish miqdorining qimmatroq summalari mavjud. Yangi o'zgarishga qarab, teri kasalligining natijasini tasavvur qilishingiz mumkin, chunki u yanada tushunarli bo'ladi.
6. Shlyapa zapovnyuêtsya ketma-ket, barcha o'zgarishlar tartibda, keyin natijalar tartibda saqlanadi.
7. Jadvallarni to'ldirish birinchi o'zgarishdan boshlab ochilishi kerak. Uning uchun navpilga bo'lingan qatorlar soni. Bir yarmi nollar bilan, ikkinchi yarmi esa birlar bilan to'ldirilgan.
8. Teri aknesi uchun nollar va birlar ikki marta tez-tez qorayadi.
9. Bu unvonda, barcha stovptsí zí zmínnimi va qolgan qismi uchun zmínnoí zmenennia teri chizig'ida o'zgaradi.
10. Keling, barcha jarayonlar natijalarini bosqichma-bosqich yangilaymiz.

Urush orqali, qolgan qismi o'zgarish qiymatida kuzning butun qiymatining qiymatini tasavvur qilishdir.

Okremo keyingi haqida aytish mantiqiy tartib. Yoga deb qanday nom berasiz? Bu erda, algebrada bo'lgani kabi, harakatlar ketma-ketligini belgilaydigan qoidalar mavjud. Noxush hid quyidagi tartibda belgilanadi:

1. ibodatxonalarda virazi;
2. zaperechennya chi inversiyasi;
3. birikma;
4. qat'iy, deb zvichayna dis'yunktsiya;
5. imo-ishora;
6. ekvivalentlik.

Murojaat qiling

Materialni birlashtirish uchun mantiqiy ifodalarni taxmin qilishdan oldin haqiqat jadvalini tuzishga harakat qilishingiz mumkin. Keling, uchta dasturni ko'rib chiqaylik:

• Schaeffer insult.
• Pirs o'qi.
• Ekvivalentlikni belgilash.

Schaeffer insult

Schaeffer insult mantiqiy virase bo'lib, uni ko'rinishda yozilishi mumkin "emas (A va B)". Bu erda ikkita o'zgarish va ikkita o'zgarish mavjud. Shunday qilib, ibodatxonalarda birlashish birinchi navbatda g'alaba qozonmaydi. Jadvalda sarlavha va o'zgartirish qiymatlari bo'lgan qatorlar, shuningdek qatorlar qatorlari bo'ladi. Keling, jadvalni eslaylik:

Bog‘lovchining tushib qolishi qo‘shma gapning diszyunksiyasiga o‘xshaydi. “A yoki B emas” iborasi uchun haqiqat jadvalini teskari oʻzgartirish mumkin. Mustaqil ravishda hayvonlarga bo'lgan hurmatni shakllantirish uchun, allaqachon uchta operatsiya bo'ladi.

Arrow Piers

Pirs o‘qiga qarasak, masalan, “(A yoki B) emas” dis’yunksiyasi, “A emas, B emas” birikmasiga teng. Ikki jadvalni eslang:

Virase qiymatlari o'zgardi. Ikki dumbani burab, siz visnovka qo'shishingiz mumkin, masalan, qulfdan keyin kamonlarni ochish: qulf kamondagi barcha o'zgarishlarga o'rnatiladi, bog'lanish dis'yunktsiyaga o'zgaradi va bo'g'in birikmasiga o'zgaradi.

Ekvivalentlikni belgilash

A va B tasdig'i haqida aytish mumkinki, ular ekvivalentdir, ikkalasi ham va faqat shunday bo'lsa, agar A B qichqirsa va s B A baqirsa. Biz yangi haqiqat jadvali uchun tse yak mantiqiy viraz va pobuduemo yozamiz . "(A B ga ekvivalent) (s A viplivaê B) va (s B viplivaê A) ga teng".

Ikkita o'zgarish va besh kun bor. Keling, jadval tuzamiz:

Hikoyaning qolgan qismida barcha haqiqiy ma'nolar. Tse, A va B ma'nolari qanday bo'lishidan qat'i nazar, ekvivalentlik hosilasi to'g'riroq ekanligini anglatadi. Xuddi shu tarzda haqiqat jadvallari yordami uchun har qanday belgilar va mantiqiy impulslar mavjudligini to'g'riligini teskari qilish mumkin.

Ko'rsatma. Klaviaturadan kiritayotganda quyidagi qiymatlarni kiriting: Masalan, abc+ab~c+a~bc mantiqiy ifodasi quyidagicha kiritilishi kerak: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Vizual mantiqiy sxemada ma'lumotlarni kiritish uchun ushbu xizmatdan iqtibos keltiring.

Mantiqiy funksiyalarni kiritish qoidalari

1. v (dizyunksiya, ABO) belgisini + belgisi bilan almashtiring.
2. Mantiqiy funktsiyadan oldin funktsiya ta'rifini ko'rsatish shart emas. Masalan, F(x,y)=(x|y)=(x^y) o'rnini oddiygina (x|y)=(x^y) kiritish kerak.
3. Maksimal raqam zminnyh dorivnyu 10 .

EOMning mantiqiy sxemalarini loyihalash va tahlil qilish matematikaning maxsus bo'limi - mantiq algebrasi yordamida amalga oshiriladi. Mantiq algebrasida uchta asosiy mantiqiy funktsiyani ko'rish mumkin: "EMAS" (teskari), "I" (birlashma), "ABO" (dizyunksiya).
Mantiqiy kengaytmani yaratish uchun kiruvchi o'zgarishlarning turlaridagi tashqi o'zgarishlardan terining nobud bo'lishini farqlash kerak, bunday tushkunlik kommutatsiya funktsiyasi yoki mantiq algebrasining funktsiyasi deb ataladi.
Mantiq algebrasining funktsiyasi qayta-qayta chaqiriladi, chunki barcha 2 n y y qiymatlari berilgan, bu erda n - tashqi o'zgarishlar soni.
Agar u to'liq ma'noda tayinlangan bo'lsa, funktsiya qisman tayinlangan deb ataladi.
Qo'shimchalar mantiqiy deb ataladi, go'yo yoga mantiq funktsiyasining qo'shimcha algebrasi uchun tasvirlangandek.
Mantiq algebrasining funktsiyasini ifodalash uchun quyidagi usullar mavjud:

• og'zaki tasvirlangan - bu dizayn aqliy namoyon bo'lishi mumkin kob bosqichida g'olib bo'lishi mumkin shaklidir.
• mantiq algebrasining haqiqat jadvali vazifasini tavsiflash.
• Algebra algebrasi nuqtai nazaridan mantiq algebrasining funksiyasini tavsifi: FAL ning ikkita algebraik shakli mavjud:
  a) DNF - dis'yunktiv normal shakl- elementar mantiqiy ijodlarning butun mantiqiy yig'indisi. DNF keyingi algoritm yoki qoidaga amal qilgan holda haqiqat jadvalidan chiqadi:
  1) jadvallar chiqish funktsiyasi =1 bo'lgan uchta o'zgarishlar qatoriga ega.
  2) teri qatoridagi o'zgarishlar uchun mantiqiy burilish qayd etiladi; bundan tashqari, o'zgarish =0 inversiya bilan qayd etiladi.
  3) otrimaniy tvir mantiqan tobelanadi.
  Fdnf = X 1 * X 2 * X 3 ∨ X 1 x 2 X 3 ∨ X 1 X 2 x 3 ∨ X 1 X 2 X 3
  DNF puxta deb ataladi, shuning uchun o'zgarishlar bir xil daraja va tartibni o'zgartirishi mumkin, ya'ni. teri to'qimalariga, barcha o'zgarishlar bevosita yoki teskari ko'rinishga kiritilgan.
  b) CNF - kon'yunktiv normal shakl- elementar mantiqiy yig'indilarning mantiqiy dobutok.
  CNF quyidagi algoritm yordamida haqiqat jadvallaridan olinishi mumkin:
  1) chiqish funktsiyasi = 0 bo'lgan o'zgarishlar to'plamini tanlang
  2) o'zgarishlar terisi uchun elementar mantiqiy yig'indi yoziladi va o'zgarishlar = 1 inversiya bilan yoziladi.
  3) ega bo'lgan summalar mantiqiy ko'paytiriladi.
  Fsknf=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
  KNF yaxshilab chaqiriladi yakscho barcha o'zgarishlar bir xil darajaga ega bo'lishi mumkin.

1-rasm - Mantiqiy qurilmaning sxemasi

Mantiq algebrasining barcha amallari aniqlanadi haqiqat jadvallari qiymat. Haqiqat jadvali uchun operatsiya natijasi ko'rsatilgan hammasi mumkin x vihídnih vyslovluvanning mantiqiy ma'nolari. Zastosuvannya operatsiyalari natijasini aks ettiruvchi variantlar soni mantiqiy ko'rinishdagi variantlar soniga bog'liq. N mantiqiy ifodasiga bog'liqliklar soniga kelsak, u holda haqiqat jadvali 2 N qatorga teng, parchalar argumentlarning mumkin bo'lgan qiymatlarining 2 N turli kombinatsiyasiga asoslangan.

Operatsiya NOT - mantiqiy ro'yxat (inversiya)

• agar viraz rost bo'lsa, yuqorida aytilganlarning natijasi hibny bo'ladi;
• agar viraz yovuz bo'lsa, unda bu ro'yxatning natijasi haqiqat bo'ladi.

ABO operatsiyasi - mantiqiy qo'shish (ajralish, konsolidatsiya)

Operatsiya I - mantiqiy ko'paytirish (bog'lanish)

"YAKSCHO-TO" operatsiyasi - mantiqiy natija (ma'no)

"Va shunday va faqat, agar B" operatsiyasi (ekvivalentlik, tenglik)

"2-modul uchun qo'shimcha" operatsiyasi (XOR, shu jumladan suvora ajratish)

Mantiqiy operatsiyalarning ustuvorligi

• Dííí ibodatxonalarda
• inversiya
• Bog'lovchi (&)
• ABO (XOR) ni yoqadigan disjunksiya (V), modul 2 bo'yicha yig'indi
• Izoh (→)
• Ekvivalentlik (↔)

Tugallangan disjunktiv normal shakl

1. F(x 1 x 2 x x n) funksiyasiga kiritilgan barcha o'zgarishlarni bartaraf etish uchun formulalar qo'shish mantiqan to'g'ri keladi.
2. Usy mantiqiy dodanki formula razny.
3. Zhoden mantiqiy qo'shimchalar o'sha vv zaperechennya o'zgarishi uchun qasos olmaydi.
4. Formulaga bitta va ikkita o'zgarish uchun qasos olmaslik uchun mantiqiy qo'shimcha mavjud.

Tugallangan konyunktiv normal shakl

1. Barcha elementar disjunksiyalar F(x 1 ,x 2 ,...x n) funksiyasidan oldin kiritilgan oʻzgarishlar bilan almashtirilishi kerak.
2. Usí elementar disjunctsíí̈ razní.
3. Teri - bu o'zgarishdan keyin qasos olish uchun elementar disjunction.
4. Bunday elementar disjunction o'zgarish va vv zaperechennya uchun qasos olmaydi.

Mantiq algebrasi

Mantiq algebrasi

Mantiq algebrasi(inglizcha) mantiq algebrasi) matematik mantiqning asosiy bo'limlaridan biri bo'lib, unda mantiqiy o'zgarishlarda algebra usullari g'alaba qozonadi.

Mantiq algebrasining asoschisi ingliz matematigi va mantiqi J. Buhl (1815-1864) boʻlib, u oʻzining algebra va mantiq oʻrtasidagi oʻxshashlik haqidagi mantiqiy nazariyasiga asos solgan. Mayli vinolarni oqlash uchun bo'lsin, u tomonidan parchalanib ketgan tilning qo'shimcha belgilarini yozib, "teng" otrimuvaya, uning haqiqatini chibnist keltirishi mumkin bo'lgan mantiqiy qonunlar, masalan, qonunlar. kommutativlik, distributivlik, assotsiativlik va boshqalar.

Bugun mantiq algebrasiê vislovlyuvannya bo'yicha matematik mantiq va vivcha mantiqiy operatsiyalarni ularning haqiqiy ma'nosiga (to'g'ri, bema'nilik) bir qarash bilan bo'lish. Wislovlyuvannya haqiqat bo'lishi mumkin, hybnim yoki turli xil spivvidlarda haqiqat va bema'nilik uchun qasos olish mumkin.

mantiqiy yo'l- bu uzr so'rash taklifi bo'ladimi, to'g'ri yoki haqiqat ekanligi aniq tasdiqlanishi mumkin.

Misol uchun, "3 marta 3 va 9", "Arxangelsk pívních víd Vologda" to'g'ri so'zlar va "Beshdan kam uch", "Mars yulduz" - hibni.

Ko'rinib turibdiki, har bir taklifni mantiqiy ravishda ishlatib bo'lmaydi, shuning uchun siz yoga ikkiyuzlamachilik yoki haqiqat haqida aqlli gapirishingiz shart emas. Masalan, vislav "Informatika - fuqarolik fanidir" nomuvofiqlik va vimag. Qo'shimcha ma'lumot, va visliv "Ivanov A. A. 10-sinfni o'rganish uchun informatika - bu cica mavzusi" Ivanov A. A. manfaatlariga ko'ra, siz "haqiqiy" yoki "bema'nilik" ma'nosini olishingiz mumkin.

Qrim ikkilik algebra, unda faqat ikkita ma'no qabul qilinadi - "haqiqiy" va "hibno", ísnuê boy-qiymatli algebra vislovluvan. Bunday algebrada jinoiy ma'no "haqiqiy" va "hibno" bo'lib, "imovirno", "mumkin", "mumkin emas" kabi haqiqiy ma'nolar qo'llaniladi.

Algebra va mantiq bir-biridan farq qiladi shunchaki(boshlang'ich) vislovlyuvannya, ular lotin harflari bilan belgilanadi (A, B, C, D, ...) va katlama(omborlar), qo'shimcha mantiqiy aloqalar uchun bir nechta oddiylardan omborlar, masalan, kabi "ní", "i", "yoki", "tody i tílki tílki", "yakscho ... keyin". Bunday katlamali vyslovlyuvanning mulki chibnistining haqiqati oddiy vyslovlyuvan ma'nolari bilan belgilanadi.

Sezilarli darajada yak LEKIN vislav "Elektr zanjirlari nazariyasida mantiq algebrasi muvaffaqiyatli zastosovuetsya" va orqali Da- "O'rni-kontaktli zanjirlar sintezida zastosovuetsya mantiq algebrasi".

Todi katlanadigan til "Mantiq algebrasi nazariy jihatdan muvaffaqiyatli o'rganilmoqda elektr lanserlar va rele-kontakt sxemalarini sintez qilishda "qisqacha yozilishi mumkin A va B; bu erda "i" mantiqiy havola. Ko'rinib turibdiki, elementar vislovlyuvannyaning parchalari A va B to'g'ri, keyin haqiqiy va katlama vislovlyuvannya A va B.

Teri mantiqiy aloqasi mantiqiy bog'lanishlar bo'yicha operatsiya sifatida ko'riladi, uni bu belgi deb atash mumkin.

Faqat ikkita mantiqiy qiymat mavjud: rost (TRUE)і bema'nilik (YOLG'ON). Tse vídpovídaê raqamli vyavlennyu. 1 і 0 . Teri mantiqiy jarrohlik natijalari jadval sifatida qayd etilishi mumkin. Bunday jadvallar haqiqat jadvallari deb ataladi.

Mantiq algebrasining asosiy amallari

1. Mantiqiy krossover, inversiya(lot. inversiya- Qayta tiklash) - mantiqiy operatsiya, buning natijasida quyidagi vyslovlyuvannya (masalan, A) yangi vyslovlyuvannya ( emas A), deb ataladi vyhídny vislovlyuvannya ro'yxatiga, ramziy ma'noda hayvonga guruch ($A↖(-)$) yoki shunga o'xshash ruhiy belgilar bilan ifodalanadi. ¬, "yo'q", va o'qing: "A emas", "A hibno", "A degani haqiqat emas", "teskari A". Masalan, "Mars - Sonyach tizimining sayyorasi" (Vislovlyuvannya A); "Mars Sonyach tizimining sayyorasi emas" ($A↖(-)$); visliv “10 - tub son” (vislovlyuvannya B) hibno; vislyv "10 - tub son emas" (vislovlyuvannya B) to'g'ri.

Xuddi shu qiymat ustidan g'alaba qozongan operatsiya deyiladi unary. Jadvalda operatsiyaning ma'nosi ko'rinishi mumkin

Vislív $A↖(-)$ hibno agar A rost boʻlsa, í rost boʻlsa, A hibno boʻlsa.

Geometrik jihatdan sanab o'tish quyidagicha mumkin: agar A butun nuqta bo'lsa, $A↖(-)$ shaxssiz A ga, ya'ni barcha nuqtalarga qo'shimchalar zanjiri bo'lib, shaxssiz A yolg'ondir.

2.Bog‘lovchi(lot. konjunktio- z'ednannya) - mantiqiy ko'paytirish, operatsiya, bu kamida ikkita mantiqiy qiymatni bildiradi «і»(masalan, "A va B"), ramziy ma'noda ∧ (A ∧ B) qo'shimcha belgisi bilan belgilanadi, bu o'qiladi: "A va B". Bog'lanishni tan olish uchun quyidagi belgilar qo'llaniladi: A ∙ B; A va B, A va B, agar so'zlar orasiga belgi qo'yilmasa: AB. Mantiqiy ko'plikka misol: Daniy Vyslav faqat o'sha paytda haqiqat bo'lishi mumkin, go'yo xafa bo'lgan aqllar yaralangandek, aks holda biz o'lishimiz mumkin.

Vislovlyuvannya LEKIN ∧ Da haqiqatan ham faqat bir marta, agar haqorat vislovlyuvannya bo'lsa LEKINі Da rost.

Geometrik jihatdan birikma quyidagicha ifodalanishi mumkin: A, B LEKIN ∧ Daê peretin multiplikatori LEKINі Da.

3. ajratish(lot. ajratish- Podil) - mantiqiy qo'shimcha, qo'shimcha havola uchun ikki yoki undan ortiq vyslovluvanni qo'shadigan operatsiya "abo"(masalan, "A chi B"), ramziy ma'noda ∨ qo'shimcha belgisi bilan belgilanadi (AMMO∨ ichida) va o'qing: "A chi B". Ajralishni aniqlash uchun quyidagi belgilar qo'llaniladi: A+B; A yoki B; A | B. Mantiqiy katlamaga misol: "X soni 3 soat 5 ga bo'linadi". Kimning hushtagi to'g'ri bo'ladi, go'yo xafa bo'lgan aqllar yaralangan yoki bir aqlni xohlasangiz.

Operatsiyaning haqiqat jadvali ko'rinishi mumkin

Vislovlyuvannya LEKIN∨ Da xibno faqat todi, agar jinoyat vislovlyuvannya bo'lsa LEKINі Da hibni.

Geometrik mantiqiy qo'shish quyidagi tarzda topshirilishi mumkin: A, B- ce deyaki shaxssiz nuqta, keyin LEKIN ∨ Da- ko'paytmalar birlashmasi LEKINі Da, Ya'ni, kvadrat va raqam kabi ketadigan raqam.

4. Dizyunksiya qat'iy ravishda dis'yunktiv bo'lib, modulga ikkinchi qo'shiladi- qo'shimcha ulanish uchun ikkita ulanishni o'z ichiga olgan mantiqiy operatsiya "abo", Vignatkovo sensi tomonidan yashagan, chunki u ramziy ravishda qo'shimcha belgilar ∨ ∨ yoki ⊕ ( LEKIN ∨ ∨ B, A ⊕ Da) va o'qing: "yoki A yoki B". Butt qo'shimcha moduli ikki - vislav "Bu tricutnik ahmoq yoki gostrokutny". Vislav haqiqat, go'yo vykonuetsya aqli biri sifatida.

Operatsiyaning haqiqat jadvali ko'rinishi mumkin

Vislovlyuvannya A ⊕ B haqiqatan ham bir xil bo'ladi, agar vislovlyuvannya A va B turli ma'nolarga ega bo'lishi mumkin.

5. Izoh(lot. implisito- Men sizga batafsil aytib beraman) - mantiqiy operatsiya, bu qo'shimcha havola uchun ikkita osishni anglatadi "shunga o'xshash" qo'shimcha belgining orqasida ramziy ma'noga ega bo'lgani uchun katlamali tarzda → ( LEKIN → Da) va o'qing: "Yakscho A, keyin", "A pull", "Z A vyplivaê", "A implikuê". Ma’no ma’nosi uchun ⊃ (A ⊃ B) belgisi ham talab qilinadi. Izohga misol: "Agar siz chotirikutnik kvadratini olib tashlasangiz, unda siz uzukni tasvirlashingiz mumkin." Ushbu operatsiya ikkita oddiy mantiqiy oyatni o'z ichiga oladi, ular orasida birinchisi aqliy, ikkinchisi esa oxirgi. Operatsiya natijasi faqat bir marta qo'yiladi, agar fikrning o'zgarishi haqiqat bo'lsa va oqibatlari bema'nilik bo'lsa. Masalan, "Agar 3 * 3 = 9 (A) bo'lsa, Quyosh sayyoradir (B)", A → B implikatsiyasining natijasi bema'nilikdir.

Operatsiyaning haqiqat jadvali ko'rinishi mumkin

Izohning ishlashi uchun yolg'ondan aniq chiqib ketishi mumkin bo'lgan tasdiq adolatli, haqiqat bo'lgan narsa faqat haqiqatdir.

6. Ekvivalentlik, asosli ma'no, tenglik(lot. aequalis- teng i valentis- sho maê force) - mantiqiy operatsiya LEKINі Da yangi hushtakni oling A ≡ B, shunday deyiladi: "A B ga teng". Ekvivalentlikni tan olish uchun bir xil belgilar qo'llaniladi: ⇔, ∼. Ushbu operatsiya havolalar bilan ko'rsatilishi mumkin “todi y tilki tilki todi”, “zarur va yetarli”, “teng”. Ekvivalentlikning misoli hushtak chalishdir: "Trikutnik to'g'ridan-to'g'ri kesiladi yoki undan kamroq bo'ladi, agar kesmalardan biri 90 gradusga yaqinroq bo'lsa."

Operatsiya ekvivalentining haqiqat jadvali ko'rinishi mumkin

Ekvivalentlik operatsiyasi ikki modulga kengaytiriladi va natija "haqiqiy" yoki o'zgarish qiymatlari o'zgartirilganidan kamroq bo'ladi.

Oddiy so'zlarning ma'nosini bilib, siz katlama so'zlarning ma'nosini aniqlash uchun haqiqat jadvalidan foydalanishingiz mumkin. Buning uchun shuni bilish kerakki, algebraning mantiqiy funktsiyasini ifodalash uchun uchta amal etarli: konyunksiya, dis'yunksiya va transpozitsiya.

Mantiqiy hujumkor operatsiyalar uchun ustuvorlik: blokirovka qilish ( "no") eng yuqori ustunlikka ega bo'lishi mumkin, keyin qo'shma gap yutadi ( «і»), qo'shma gapdan keyin - ayirma ( "abo").

Mantiqiy o'zgarishlar va mantiqiy operatsiyalar yordamida mantiqiy vislav bo'ladimi, uni mantiqiy formula bilan almashtirish uchun rasmiylashtirilishi mumkin. Ombor usulida amalga oshiriladigan har qanday elementar fikrlash tarzida, u zmist bilan mutlaqo bog'liq bo'lmasligi mumkin, ammo haqiqatni yoki katlanmış yo'lning ikkiyuzlamachiligini anglatish muhim emas. Masalan, visliv "Yakscho besh yana ikkita ( LEKIN), keyin ertasi kuni dushanba vaqti ( Da)" - ma'no LEKIN→ Da, va ichidagi operatsiya natijasi ushbu maxsus turga- "Haqiqat". Mantiqiy operatsiyalarda sezgirlik himoyalanmagan, haqiqat yoki ikkiyuzlamachilik kamroq ko'rinadi.

Qarang, masalan, pobudovu katlama vislovlyuvannya z vyslovlyuvannya LEKINі Da, Agar huquqbuzarlik rost bo'lsa, b hibnim tody í tílki tílki it bo'lardi kabi. Amaliyot uchun haqiqat jadvalida modulni qo'shish ma'lum: 1 ⊕ 1 = 0. Va so'zlar, masalan, shunday bo'lishi mumkin: "Men bu to'pni qizil yoki ko'k rangga aylantiraman." Otzhe, xuddi qotib qolgandek LEKIN"Bu to'p butunlay qizil" - haqiqat va tasdiq Da"Bu to'p butunlay ko'k" - haqiqat, keyin katlanmış qattiqlik bir vaqtning o'zida chervonim bo'lgan bema'nilikdir va ko'k to'p bo'lishi mumkin emas.

Vazifalar yechimini qo'llang

misol 1. Belgilangan X qiymati uchun mantiqiy bog'liqlikning qiymati ((X > 3) ∨ (X)< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Yechim. Keyingi operatsiyalar ketma-ketligi keladi: operatsiya kamarlarda orqa tomondan amalga oshiriladi, so'ngra ajratish va operatsiyaning qolgan qismi amalga oshiriladi. Diszyunksiya ∨ hibna operatsiyasi bir xil va kamroq bo'ladi, agar huquqbuzar operand chibne bo'lsa. Haqiqat jadvali ko'rinishi mumkin

Esda tuting:

1) X = 1 uchun:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) X = 12 uchun:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) X = 3 uchun:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

dumba 2. X ning anonim butun son qiymatini belgilang, bu uchun u rost ((X > 2) → (X > 5)) .

Yechim. Listing operatsiyasi butun virus ((X > 2) → (X > 5)) bo'lguncha to'xtatiladi, shuning uchun agar viraz ¬((X > 2) → (X > 5)) rost bo'lsa, viraz ((X > 2) →(X > 5)) Hibno. Shuning uchun tayinlash kerak, buning uchun X virazning qiymati ((X > 2) → (X > 5)) o'zgaruvchan. Imlikatsiya operatsiyasi "bema'nilik" ma'nosini faqat bir tarzda oladi: agar bu haqiqat bo'lsa, bu bema'nilikdir. I tse vykonuêtsya kamroq X = 3; X=4; X=5.

misol 3. So'zlarning ba'zi induksiyasi uchun hibne vyslovlyuvannya (birinchi harf ∧ uchinchi harf aytiladi) ⇔ 4 ta belgidan iborat qator? 1) eys; 2) kuki; 3) makkajo'xori; 4) kechirish; 5) kuchli odam.

Yechim. Keling, barcha aytilgan so'zlarni ko'rib chiqaylik:

1) ace so'zi uchun olinadi: ¬ (1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - bu to'g'ri;

2) kuku so‘zi olib qo‘yilgani uchun: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - rost;

3) kukurudza so`zi uchun olinadi: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - vislovlyuvannya hibno;

4) kechirim so‘zi uchun olinadi: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 – gap to‘g‘ri;

5) kuchli odam so'zi uchun shunday bo'lishi mumkin: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - vislovlyuvannya hibne.

Mantiqiy talqin va ularning transformatsiyasi

Pid mantiqiy xato"to'g'ri" yoki "bema'nilik" ning mantiqiy ma'nosini berishi mumkin bo'lgan bunday yozuvni tushunish uchun yonida. Mantiqiy chiziqlarning o'rtasini bunday belgilash bilan quyidagi farq qilinadi:

• virazi, tenglashtirish vikoristovuyut operatsiyalari kabi ("ko'proq", "kam", "teng", "sog'lom emas" yupqa) va mantiqiy qiymatlarni oladi (masalan, viraz a > b, de a \u003d 5 va b \u003d 7, ko'proq ma'nosi "bema'nilik");
• mantiqiy qiymatlar va mantiqiy operatsiyalar bilan bog'liq vositachi mantiqiy fikrlashsiz (masalan, A ∨ B ∧ C, de A = rost, B = bema'nilik va C = rost).

Mantiqiy o‘zgaruvchilarga funksiyalar, algebraik amallar, mos keladigan amallar va mantiqiy amallar kiradi. Ayni paytda vikonannya diyning ustuvorligi keladi:

1. muhimlarni hisoblash funktsional konlar;
2. algebraik operatsiyalarning vikonannyasi (ko'paytirish va ko'paytirish, keyin uni qo'shish);
3. vikonannya operatsiyalari porívnyannya (ma'lum bir tartibda);
4. vykonannya mantiqiy operatsiyalar (operatsiyalarning birinchi tartibi sanab o'tilgan, keyin mantiqiy ko'paytirish, mantiqiy katlama operatsiyalari, qolganlari implikatsiya va ekvivalentlik operatsiyalari).

Mantiqiy ifodada, operatsiyalar tartibini o'zgartirish uchun kamarlarni burishingiz mumkin.

dumba. Virazu ma'nosini bilib oling:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(p/a - p/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ a = 2 uchun, b = 3, A = rost, B = noto'g'ri.

Yechim. Pídrahunku buyurtmasi ma'nosi:

1) b a + a b > a + b

2) A ∧ B = haqiqiy ∧ bema'nilik = bema'nilik.

Otzhe, ibodatxonalarda viraz yanada chiroyli (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = haqiqiy ∨ bema'nilik = haqiqat;

3) 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = rost;

4) gunoh(p/a - p/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Shundan so'ng, hisoblash obsesif qoldiq bo'ladi: rost ∨ A ∧ rost ∧ ¬B ∧ ¬ rost.

Endi biz ko'ramiz, lekin operatsiya ustiga yoziladi, keyin mantiqiy multiplikator qo'shiladi:

5) ¬B = ¬bema'nilik = haqiqat; ¬istina = bema'nilik;

6) A ∧ haqiqat ∧ haqiqat ∧ bema'nilik = haqiqat ∧ haqiqat ∧ haqiqat ∧ bema'nilik = bema'nilik;

7) haqiqat ∨ bema'nilik = haqiqat.

Shunday qilib, berilgan qiymatlar berilgan mantiqiy ifodaning natijasi "To'g'ri" bo'ladi.

Eslatma. Vrakhovuyuchi, scho vyhídny viraz ê, zreshtoyu, ikkita dodankív yig'indisi va ulardan birining qiymati 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = rost, boshqa hisob-kitoblarsiz, butun viraz uchun natija "to'g'ri" deb aytishimiz mumkin. .

Mantiqiy virazivlarning bir xil o'zgarishi

Mantiq algebrasida asosiy qonunlar tebranadi, ular mantiqiy o'zgaruvchilarni bir xil o'zgartirishga imkon beradi.

vydpovídnih zapisív uchun bu qattiqlik virolyayachi vhodyachi s pobudov istností stol isbotlang.

Mantiqiy formulalarni bir xil darajada kuchli o'zgarishlarni birlamchi algebrada formulalarni o'zgartirish kabi tan olish mumkin. Xushbo'y hid formulalarni soddalashtirish yoki algebra mantig'ining asosiy qonunlarini qo'lga kiritish uchun ularni qo'shiq shakliga keltirish uchun ishlatiladi. Pid oddiy formulalar Ta'sir va ekvivalentlik operatsiyasi uchun qasos olmaslik uchun, uni formulaga qanday olib kelish haqida o'ylash, qasos olish yoki operatsiyalarning haqiqiy soniga teng yoki o'zgarishdan kamroq bo'lishi mumkin.

Mantiqiy formulalarning haqiqiy o'zgarishlari birlamchi algebradagi formulalarni o'zgartirishga o'xshaydi (umumiy ko'paytirgichning qurollar bilan xatosi, umumiy va baxtli qonunni xuddi shu tarzda almashtirish), shuningdek, kuchga asoslangan boshqa transformatsiyalar, kabi. ibtidoiy algebra operatsiyalari (poglinannyani tugatish, yopishtirish, de Morgan va boshqalar uchun atirgullar qonuni).

Keling, deyaki qo'shtirnoqlarini ko'rib chiqaylik va oddiy mantiqiy formulalar bilan yopishib olish yo'llarini ko'rib chiqamiz:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Islohot uchun, bu yerda siz qonun va demopotenti, rozpodilchiy qonun zastosuvat mumkin; inversiya bilan o'zgarish operatsiyasi va doimiy bilan operatsiya.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1 .

Bu erda qonun kechiriladi va zastosovuetsya.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

O'zgartirilganda, de Morgan qoidasi, vvínversiya bilan o'zgarish operatsiyasi, doimiy bilan operatsiya

Vazifalar yechimini qo'llang

misol 1. A ∧ ¬(¬B ∨ C) virusiga teng mantiqiy virusni toping.

Yechim. i C uchun de Morgan qoidasi aniqlangan: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C.

Virusga teng bo'lgan virazni olib tashlang: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C.

Taklif: A ∧ B ∧ ¬C.

dumba 2. Mantiqiy virusning har qanday qiymatlari uchun A, B, C mantiqiy o'zgarishlar qiymatlarini ko'rsating (A ∨ B) → (B ∨ C ∨ B) hibno.

Yechim. Haqiqiy xabardan yolg'on bor bo'lsa, implikatsiyaning ishlashi faqat to'siqdir. Shuningdek, ma'lum bir virus uchun A ∨ B xabari "to'g'ri" ma'nosini olishi kerak, ikkinchisi esa, B ∨ C ∨ B virusi "bema'nilik".

1) A ∨ B - dis'yunksiya natijasi - "to'g'ri", agar operandlardan biri so'ralgan bo'lsa ham - "to'g'ri";

2) B ∨ ¬C ∨ B - viraz hibno, chunki barcha dodankilar "bema'nilik", keyin B - "bema'nilik" degan ma'noni anglatishi mumkin; ¬C - "bema'nilik", shuningdek, "haqiqat" ma'nosining o'zgarishi;

3) agar siz posilkaga qarasangiz va yolg'on gapirsangiz, B "bema'nilik" bo'lsa, unda A ning ma'nosi "haqiqat" deb qabul qilamiz.

Taklif: A - haqiqat, B - bema'nilik, C - haqiqat.

misol 3. Qaysi eng qimmatli X raqami, bu to'g'ri (35

Yechim. Operatsiya implikatsiyasi uchun haqiqat jadvalini yozamiz:

Viraz X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Taklif: X=5.

Geometrik mintaqalarni tavsiflash uchun mantiqiy oyatlarni tanlash

Mantiqiy oyatlar geometrik mintaqalarni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin. Shunday qilib, vazifa quyidagicha tuziladi: berilgan geometrik maydon uchun x, y yoki undan kichikroq qiymat uchun "haqiqiy" qiymatini beradigan mantiqiy virazni yozing, agar nuqta koordinatali (x; y) geometrik sohada yotadi.

Dumbalarda mantiqiy vizualizatsiya yordami uchun geometrik mintaqaning tavsifini ko'rib chiqaylik.

misol 1. Geometrik maydonning tasviri kiritilgan. U yerda yotgan shaxssiz nuqtani tavsiflovchi mantiqiy iborani yozing.

1) .

Yechim. Berilgan geometrik mintaqani oldinga siljishlar to'plami sifatida ko'rsatish mumkin: birinchi mintaqa - D1 - to'liq tekislik $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, ikkinchisi - D2 - $x ^2 + y^2 ≤ 1$ koordinatalari markaziga yaqin joylashgan. Їx retin D1 $∩$ D2

Natija: mantiqiy ifoda $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Qiu maydonini quyidagicha yozish mumkin: | ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1.

Eslatma. Mantiqiy vyslovlyuvannya tomonidan so'ralganda, qat'iy bo'lmagan qoidabuzarliklar hosil bo'ladi va tse raqamlar o'rtasida soyali maydonning ham bir-biriga mos kelishini anglatadi. Go'yo suvori nerívností bilan g'alaba qozongandek, kordonlar aldanib qolmaydi. Kordoni, agar maydonni bir-biriga yopishmasa, nuqta chiziqqa o'xshaydi.

Vazifani o'zingizga aylantirishingiz mumkin: berilgan mantiqiy ifoda uchun maydonni bo'yash.

dumba 2. Mantiqiy fikr chizilgan nuqta uchun maydonni chizing va soya qiling y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

Yechim. Shukana hududi uchta tekislikdan iborat. (x, y) tekislikda bo'l y = x; y=-x; y \u003d 2. Mintaqaning o'rtasida, qolgan qismi esa y \u003d 2 chegarasi mintaqa bilan bir-biriga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun u nuqta chiziq bilan qo'llaniladi. y ≥ x notekisligi uchun y = x to'g'ri chiziqda nuqtalar chap qo'lda bo'lishi kerak va y = -x to'g'ri chiziqda o'ng qo'l bo'lgan nuqtalar uchun y = -x notekislik olinadi. Umova y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Elektr zanjirlarini tavsiflash uchun Wikoristanya mantiqiy funktsiyalari

Mantiqiy funktsiyalar robotli elektr zanjirlarining oddiy tavsiflaridan ko'proqdir. Shunday qilib, rasmda ko'rsatilgan sxema uchun X o'zgarishining qiymati vimikachaning tsestanidir (qo'shimchalar viniga o'xshab, X ning qiymati "haqiqat", qo'shimchalarning yakschosi esa "bema'nilik" dir), Y qiymati lampochkaning tsestanidir (yoqish kabi - Ma'nosi "haqiqat", agar bo'lmasa - "bema'nilik"), mantiqiy funktsiya quyidagicha yoziladi: Y = X. Y funksiyasi chaqiriladi o'tkazuvchanlik funktsiyasi.

Rasmda ko'rsatilgan sxema uchun Y mantiqiy funktsiyasi quyidagicha ko'rinishi mumkin: Y = X1 ∪ X2, buning uchun vimikachani yoqish kifoya, shunda lampochka yoqilgan edi. Shakldagi diagrammada yorug'lik yoqilganda, nosozliklar yoqilgan va o'chirilgan va o'tkazuvchanlik funktsiyasi quyidagicha ko'rinishi mumkin: Y = X1 ∧ X2.

Ko'proq ma'lumot uchun katlama sxemalari o'tkazuvchanlik funksiyasi quyidagicha ko'rinadi: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

O'chirish kontaktlarning zanglashiga olib kelishi mumkin. Shu nuqtada, vimikach kabi ochiladigan kontakt, agar tugma bosilmasa va bosilmasa, lampochkalarni yoritadi. Bunday sxemalar uchun rouming vimikach quyida tavsiflanadi.

Ikki sxema deyiladi teng kuchli yakscho ulardan biri orqali strum bir xil o'tadi, agar vin ikkinchisidan o'tsa. Ikki teng kuchli sxemadan oddiy sxema muhim ahamiyatga ega, o'tkazuvchanlik funktsiyasi elementlarning kamroq sonini qoplashdir. Sog'liqni saqlash bo'limi boshlig'i oddiy sxemalar tenglar orasida muhimroqdir.

Mantiq algebrasining Vykoristannya apparati mantiqiy sxemalarni loyihalash soati

Mantiq algebrasining matematik apparati allaqachon kompyuter apparati qanday ishlashining oddiy tavsifidir. Axborot kompyuterda qayta ishlanganda 0 va 1 ketma-ketligi bilan kodlangan holda ikki shaklda beriladimi yoki yo'qmi. 0 va 1 ga yuborilgan ikkita signalni qayta ishlash mantiqiy elementlarga aylantiriladi. Kompyuter. Asosiy mantiqiy amallarni belgilovchi mantiqiy elementlar Men, ABO, EMAS, shaklda keltirilgan.

Mantiqiy elementlarning aqlli dizayni standart va kompyuterning mantiqiy sxemalarini katlamada zastosovuetsya. Ushbu sxemalar yordamida go'yo kompyuter robotini tasvirlaydigan mantiqiy funktsiyani amalga oshirish mumkin.

Texnik jihatdan, kompyuter mantiqiy elementi sifatida amalga oshiriladi elektr zanjirlari, Har xil qismlarning kombinatsiyasi nima: diodlar, tranzistorlar, rezistorlar, kondansatörler. Vana deb ham ataladigan mantiqiy elementning kirish qismida mavjud elektr signallari yuqori va past kuchlanish darajalari, har bir chiqishda yuqori yoki past kuchlanishli bitta chiqish signali ko'rinadi. Tsí vny vídpovídat bir zí stanív ikki tomonlama tizim: o'nta; HAQIQAT YOLG'ON. Mantiqiy elementning terisi o'ziga xos aqliy tushunchaga ega bo'lishi mumkin, go'yo u o'zining mantiqiy funktsiyasini aks ettiradi, lekin elektron sxemaning yangi usulda qanday amalga oshirilishini ko'rsatmaydi. Tse katlamali mantiqiy sxemalarni tushunish rekordini so'raydi. Mantiqiy sxemalarning ishi qo'shimcha haqiqat jadvallari bilan tasvirlangan. ABO sxemasidagi "1" belgisi ko'proq shartli ravishda "> = 1" sifatida belgilanadi (dizyunksiya qiymati 1 dan katta, chunki ikkita operandning yig'indisi 1 dan katta yoki katta). Sxemadagi & belgisi I ê inglizcha va so'zining qisqartmasi.

Mantiqiy elementlardan katlamali mantiqiy operatsiyalarni tashkil etuvchi elektron mantiqiy sxemalar hosil bo'ladi. NOT, ABO, I elementlaridan tashkil topgan mantiqiy elementlar to'plami, ular yordamida siz mantiqiy tuzilmani yaratishingiz mumkin, xoh u katlama bo'lsin, deb ataladi. funktsional yangilash.

Pobudovning mantiqiy o'zgaruvchilarning haqiqat jadvali

Mantiqiy formula uchun siz yozishingiz mumkin haqiqat jadvali berilgan mantiqiy funktsiyani jadval ko'rinishida ko'rsatish uchun. Bunday holda, jadval argument funktsiyalari (formulalar) va funktsiyaning haqiqiy qiymatlarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarida aybdor (formula berilgan qiymatlar to'plami bo'yicha natijalar).

Funktsiyaning qiymati bilan qo'lda ro'yxatga olish, qanday qasos olish kerakligi, o'zgarish qiymati va funktsiyaning qiymati, oraliq hisoblash qiymati jadval mavjud. $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$ formulasi uchun haqiqat jadvallarining qo'llanilishini ko'rib chiqamiz.

Agar funktsiya barcha o'zgarishlar to'plami uchun 1 qiymatini qabul qilsa, g'alaba qozondi xuddi shunday - haqiqat; shuning uchun barcha kirish qiymatlari to'plami bilan funktsiya 0 qiymatini oladi, won ê totozhno-hibniy; Chiqish qiymatlarini 0 va 1 ga qanday o'rnatish kerak, funktsiya chaqiriladi ishlab chiqilgan. Yo'l-yo'riq ko'proq dumba - bir xil-haqiqiy funktsiya dumba.

Mantiqiy funktsiyaning analitik shaklini bilib, mantiqiy funktsiyalarning jadval shakliga o'tishingiz mumkin. Berilgan haqiqat jadvali yordamida siz masalani o'rashingiz mumkin va o'zingiz uchun: berilgan jadval uchun mantiqiy funktsiyaning analitik formulasini induktsiya qiling. Pobudov va analytycheskoy zalezhnosti mantiqiy funktsiyalari jadvalli berilgan funktsiyalari ikki shakllarini ajrata.

1. Disjunktiv normal shakl (DNF)- Ushbu o'zgartirishlar tasdiqlangan ijodlar yig'indisi va ularning eng yomon qiymatlar ro'yxati.

DNF hujumlarini qo'zg'atish algoritmi:

1. funktsiyaning haqiqat jadvalida 1 ga teng mantiqiy shakllar bo'lgan argumentlar to'plamini tanlang ("to'g'ri");
2. mantiqiy argumentlar yaratuvchi barcha tanlangan mantiqiy to'plamlar ularni mantiqiy yig'indi operatsiyasi (dizyunksiya) bilan ketma-ket bog'lab yoziladi;
3. argumentlar uchun, yaki ê khibnimi, so'ralgan yozuvda listing operatsiyasini qo'yish.

dumba. DNF usuli yordamida birinchi raqam boshqasiga teng ekanligini bildiruvchi funktsiyani induktsiya qiling. Funktsiyaning haqiqat jadvalini ko'rish mumkin

Yechim. Biz argument qiymatlari to'plamini tanlaymiz, ular uchun funktsiya yanada rivojlangan 1. Jadvalning birinchi va to'rtinchi qatorlari (raqamlash paytida sarlavha qatori teskari emas).

Ushbu to'plamlarning argumentlarini mantiqiy yig'indi bilan birlashtirib, mantiqiy ravishda yozing: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .

Tanlangan to'plamlarda har xil qiymatlarga ega bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday argumentlar ro'yxatini yozishimiz mumkin (jadvalning to'rtinchi qatori; boshqa formulalar to'plami; birinchi va boshqa elementlar): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$ .

Taklif: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Konyunktiv normal shakl (CNF)- Dobutok summalari, tasdiqlangan zí zmínnih va í̈x ro'yxati haqiqiy qiymatlar uchun.

CNF hujumlarini qo'zg'atish algoritmi:

1. haqiqat jadvallarida 0 ga teng mantiqiy shakllar bo'lgan argumentlar to'plamini tanlang ("bema'nilik");
2. argumentlarning mantiqiy yig'indisi sifatida tanlangan barcha mantiqiy to'plamlar ularni mantiqiy yaratish (birlashma) operatsiyasi bilan birlashtirgan holda ketma-ket yoziladi;
3. argumentlar uchun, agar ular rost bo'lsa, so'ralgan yozuvda listing operatsiyasini qo'ying.

Vazifalar yechimini qo'llang

misol 1. Keling, oldingi sonni ko'rib chiqaylik, shunda biz CNF usuli yordamida qaysi birinchi raqam boshqasiga teng ekanligini aniqlaydigan funktsiyani yaratamiz. Berilgan funksiya uchun haqiqat jadvali ko'rinishi mumkin

Yechim. Biz argument qiymatlari to'plamini tanlaymiz, ular uchun funktsiya 0 ga teng. Boshqa va uchinchi qatorlar (raqamlash paytida sarlavha satri teskari emas).

Keling, ushbu to'plamlarning argumentlarining mantiqiy yig'indisini yozamiz, ularni mantiqiy yaratish bilan birlashtiramiz: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2 .

Biz tanlangan to'plamlarda mos yozuvlar qiymati sifatida foydalanish mumkin bo'lgan har qanday argumentlar ro'yxatini yozishimiz mumkin (jadvalning boshqa qatori, formulalarning birinchi to'plami, boshqa element; uchinchi qator uchun va boshqa formulalar to'plami, birinchi element): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $ ( X1)↖(-)$ ∨ X2.

Shu tarzda, mantiqiy funktsiyaning yozuvi CNFdan olib tashlandi.

Taklif: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Otrimaní funktsiyalar qiymatining ikki usuli ê ekvivalenti. Bu fikrni isbotlash uchun biz mantiq qoidalaridan foydalanamiz: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2) )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

dumba 2. Berilgan haqiqat jadvali uchun mantiqiy funktsiyani keltirib chiqaring:

Shukan formulasi: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

їí so'rashingiz mumkin: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

misol 3. Induktsiyalangan haqiqat jadvali uchun DNF usuli yordamida mantiqiy funktsiyani chaqiring.

Shukan formulasi: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)↖(-$) (X3) )↖(-)$.

Buni qilish formulasi og'ir va so'rashning yonida:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)∧ $(X2)↖(-)∧(-) $ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Mantiqiy masalalar tepasida haqiqat jadvallari

Haqiqat jadvallarini katlama mantiqiy vazifalarni ishlab chiqish usullaridan biridir. Qachon vikoristanny bunday yo'l vyryshennya vypyshennya, yaky qasos zavdannya, yordam uchun belgilangan maxsus buklangan jadvallar.

Vazifalar yechimini qo'llang

misol 1. Ulardan faqat ikkitasi o'chirilganda uchta datchik va spratsovuê vikoristovuê bo'lgan xavfsizlik yordamchi binosi uchun haqiqat jadvalini to'plang.

Yechim. Shubhasiz, yechimning natijasi jadval bo'ladi, unda Y(X1, X2, X3) funksiya "haqiqat" qiymatining onasi bo'ladi, go'yo ikkita o'zgarish "to'g'ri" qiymati bo'lishi mumkin.

dumba 2. Informatika darsi birinchi yoki boshqasidan kamroq bo'lishi mumkin, deb kunning darslari tartibini, vrahovyuchi, matematika darsi - birinchi uchdan, fizika darsi - qolgan uchdan bir qismi bo'lishi mumkin. Qanday qilib barcha yordamchilarni qoniqtiradigan muvozanatni qo'yish mumkin? Joylashtirish uchun nechta variant mavjud?

Yechim. Vazifani xato qilish oson, shuning uchun ikkita stolni yig'ish mumkin:

Jadvallardan ko'rinib turibdiki, tasodifiy joylashtirishning ikkita varianti mavjud:

1. matematika, informatika, fizika;
2. informatika, fizika, matematika.

misol 3. Sport lageri oldidan uchta do'st keldi - Petro, Boris va Oleksiy. Ulardan charm ikki turdagi sport zahoplyuetsya. Ko'rinib turibdiki, bunday sportning olti turi mavjud: futbol, ​​xokkey, yolg'on gapirish, suzish, tennis, badminton. Shunday qilib, shunday ko'rinadi:

1. Boris - eng keksa;
2. qanday futbol xokkeydan yoshroq o'ynaydi;
3. shov-shuvli futbol, ​​xokkey va Petro bir stendda yashaydi;
4. agar lizhnik va soyali o'rtasida payvand bo'lsa, Boris ularni yarashtiradi;
5. Petro tennis yoki badminton o'ynay olmaydi.

Yigitlarning terilari qanday sport turlarini xohlaydi?

Yechim. Jadvalni katlaymiz va uni vazifa deb hisoblaymiz, uning to'g'ri yoki noto'g'riligiga qarab kuzda 0 va 1 raqamlarini to'ldiramiz.

Shunday qilib, go'yo sportni ko'rayotgandek, hamma yigitlar cho'kib ketishi uchun tashqariga chiqishingiz kerak turli xil turlari sport.

Aql 4, Boris yalab yoki tennisda bo'g'ib qo'ymaydi, lekin 3 va 5 - Petro futbol, ​​xokkey, tennis va badminton o'ynay olmaydi, deb baqiradi. Ota, Butrusning sportini ko'rishni yaxshi ko'raman - bu suzishni yalang. U jadvalga kiritiladi va "Lyji" va "Suzish" ustunlarining xujayralari tashlab qo'yilgan nollar bilan to'ldiriladi.

Jadvallardan ko'rinib turibdiki, tennis Oleksiydan ko'proq bo'lishi mumkin.

3 ta 1 va 2 aqli Boris futbolchi emas deb qichqiradi. Bu futbolchi Oleksiyning darajasi. Prodovzhimo zapovnyuvat stol. Biz "Oleksiy" nolning bo'sh o'rta qatorlariga keltiramiz.

Qolgan otrimuemo, scho Boris xokkey va badminton zahoplyuetsya. Subsum jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Taklif: Petro yaladi va suzadi, Boris xokkey va badminton o'ynaydi, Oleksiy esa futbol va tennis o'ynaydi.

Biz qatorlarni tanlaymiz, de
va barcha o'zgarishlarning birikmasini yozing, bundan tashqari, agar u bir xil 1 to'plamida o'zgartirilsa, u holda u o'zi yoziladi va = 0 o'zgartirilsa, u transkripsiya qilinadi.

Men kim uchun kaltaklayman

conjunction cich disjunction i ahmoq formula bo‘ladi:

Uchrashuv: Bog‘lovchi chaqirdi boshlang'ich uning oldiga kelgan barcha o'zgarishlar kabi, boshqacha. Elementar birikma yoki elementar ayirmagacha boradigan harflar soni deyiladi daraja.

1 raqamiga elementar bog‘lanish darajasi 0. Elementar bog‘lanish darajasi yoki 1-sonli elementar ayrilish darajasi hurmat qilinadi. Kim uchun konyunksiya va diszyunksiyaning kommutativlik, idempotentlik va assotsiativlik kuchini o'rnatish zarur.

Mantiqiy algebra formulasini qo‘shimcha , &,  amallar yordamida chiqarish mumkinligi qat’iy isbotlangan. Intuitiv ravishda, bu haqiqat aniq, biz haqiqat jadvali orqasida formulalarni katlama algoritmini taxmin qilamiz. Shu bilan birga, mi vikoristovuyemo faqat tsí operatsiya. Ushbu kirish shakli deyiladi disjunktiv normal shakl(DNF). Mantiqiy formulalar algebrasini normallashtirishning butun mexanizmi.

Uchrashuv: DNF- har xil elementar qo‘shma gaplarning tse diszyunksiyasi (shuning uchun teri qo‘shma gap chi yogo ro‘yxatining elementar kon'yunkturalaridan tuzilgan).

CNF ham xuddi shunday talaffuz qilinadi - kon'yunktiv shakl normaldir.

Uchrashuv: DNFda bo'lgani kabi, barcha elementar birikmalar bir xil darajaga ega bo'lishi mumkin, ular uchun DNF yotqizilgan o'zgarishlar soniga teng, keyin u deyiladi. yaxshilab (SDNF).

Teorema. Bu bir xil bo'lmagan funksiya bo'ladimi, u bir xil, SDNF ning yagonasidir.

Natija . Bu mantiqiy funktsiya bo'lsin, agar u kechirim funksiyasi bilan bir xil bo'lmasa, &,, superpozitsiyalarini tasavvur qilish mumkin va ro'yxatlarning o'zgarishi ehtimoli kamroq.

Uchrashuv: p align="justify"> Mantiqiy amallar tizimi funksional jihatdan yangi deb ataladi, chunki bu amallar va tizim konstantalari yordamida mantiqiy algebra funksiyasi ekanligini ko'rsatish mumkin.

Tizimlar (&,,); (,); (&,),(/) – ê funktsional qayta ko'rib chiqish

(&,) – funksional jihatdan to‘liq emas.

Biz dalilsiz tsí faktlarni qabul qilamiz, í viryshuyuchi zavdannya, yordam uchun soliq formulasi (&, , ) yoki yo'qligini namagatimemos. Keyinchalik, biz funktsional to'liqlikning oziqlanishi va operatsiyalar tizimining nomukammalligini muhokama qilamiz.

1.7-mavzu. Mantiqiy misralarni tahlil qilish usullari. Mantiqiy vazifalarni rozv'yazannya usullari.

Keling, rozv'yazannya mantiqiy vazifa misolini ko'rib chiqaylik.

dumba :

Ekspeditsiya ishtirokchilarining omborini muhokama qilgandan so'ng, ikkita aql g'alaba qozonishi mumkinligiga qaror qilindi.

Agar siz Arbuzovga borsangiz, Bryukvin chi Vishnevskiyga boring

Keling, Arbuzov va Vishnevskiyga, keyin Bryukvinga boraylik.

Ramziy shakldan yechimni qabul qilish uchun mantiqiy formulani jamlang, shunchaki formulani olib tashlang va uning orqasida aqlni shakllantiruvchi yangi ekspeditsiya tuzing.

Keling, boshlang'ich tilda ba'zi o'zgarishlar va o'zgarishlar kiritaylik.

- ket Arbuzov

- Bryukvinga boring

- Vishnevskiyga boring

Agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, ekspeditsiyaning shakllanishi quyidagicha ko'rinadi:

Keling, oddiygina viraz bo'lgan formulani to'playmiz

tobto. Agar Arbuzovga borsangiz, Bryukvinga boring.

Butt:

Ertaga ob-havo yaxshi bo'lsa, dengizga boramiz yoki o'rmonga boramiz. Keling, ertangi kun uchun xatti-harakatlarimiz formulasini tuzamiz.

- Garna ob-havo

- sohilga bordik

- biz tulkiga boramiz

Endi iboralarni takrorlaymiz

shu jumladan otrimayemo visliv "Ertaga ob-havo yaxshi bo'ladi va biz o'rmondagi plyajga bormaymiz.

Bajayuchi haqiqat jadvalini keltirib chiqarishi va tasdiqni qayta tekshirishi mumkin.

dumba :

Braun, Jon va Smit buzg'unchilikda gumon qilinib hibsga olingan. Ulardan biri keksa, biri amaldor, uchinchisi shaxroy. Tekshiruv chog‘ida keksasi rostini aytsa, shaxray yolg‘on gapirar ekan, uchinchisi bir tomondan rost, boshqa tomondan yolg‘on gapirardi.

Xushbo'y hid nima dedi:

Braun: Men o'ldim. Jon vino emas. (B&D)

Jon: Jigarrang sharob emas. Yovuz Smit. (B&S)

Smit: Men vino emasman. Vinen Braun (C&B)

Keling, qí vyslovlyuvannyani rasmiy ravishda tasvirlab beraylik:

- Zlochin Skoiv Braun

- Zlochin skoiv Jon

- Zlochin skoív Smit

Xuddi shu so'zlar quyidagi misralarda tasvirlangan:

Jigarrang:

Jon:

Smit:

Chunki vazifa aqllari uchun, ulardan ikki afv va bir rost, keyin

Haqiqat jadvalini tuzish

2 tomchidan kam, tobto. yovuzlik Smít, va yogo vyslovlyuvannya hibny ning xafa.

keyinroq - Pomilkovo i - rost

= 1 - Jon shanovny qari

Bu Braun rasmiy, va shards ekanligini bostirib - Demak, Pomilkovo - To'g'ri.

Koristuyuchis qonunlari va mantiqiy algebra bir xilligi, siz mantiqiy virazi so'rashingiz mumkin.

dumba :

To'g'ri: