| Informatika va axborot-kommunikatsiya texnologiyalari | Darsni rejalashtirish va darsdan oldin materiallar | 10 sinf | Boshlang'ich maktab uchun darsni rejalashtirish (FGOS) | Pozitsion sanoq sistemalarida arifmetik amallar

15-dars
§12. Pozitsion sanoq sistemalarida arifmetik amallar

Pozitsion sanoq sistemalarida arifmetik amallar

Asosli pozitsion sanoq sistemalarida arifmetik amallar q o'ninchi raqamlar tizimidagi qoidalarga o'xshash qoidalarga rioya qiling.

Maktabning boshida bolalarni tarbiyalash uchun katlama va ko'paytirishning vikor jadvali mavjud. Shunga o'xshash jadvallarni, xoh u pozitsion sanoq sistemasi bo'ladimi, birlashtirish mumkin.

12.1. Substava q bilan sonlar sistemasida sonlarni qo`shish

Uchlik (3.2-jadval), oʻn oltinchi (3.4-jadval) va oʻn oltinchi (3.3-jadval) sanoq sistemalarida qoʻshimcha jadvalning ilovalarini koʻrib chiqing.

3.2-jadval

Uchlik sanoq sistemasida qo‘shish

3.3-jadval

O'n oltinchi sonlar tizimida qo'shish

3.4-jadval

Eng yuqori raqamlar tizimiga qo'shilish

q summani oling S ikkita raqam Aі B, qatorlar uchun ular tasdiqlangan raqamlarni qo'shishingiz kerak i chapdan o'ngga:

Yakscho a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
agar a i + b i q bo'lsa, u holda s i \u003d a i + b i - q bo'lsa, katta (i + 1)-chi raqam 1 ga oshiriladi.

Qo'llash:

12.2. Subdstava q bilan sonlar tizimidagi raqamlarning Vídnymannya

Asos bilan tizim raqami bo'yicha Schob q chegarani olib tashlang R ikkita raqam Aі IN, talab farqlarni hisoblash va darajalar uchun ularning raqamlarini tasdiqlashdan iborat i chapdan o'ngga:

Agar a i ≥ b i bo'lsa, u holda r i = a i - b i katta (i + 1) raqam o'zgartirilmaydi;
yakscho a i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

Siz butun son sifatida kiritishingiz mumkin, masalan, 34 va kasr sifatida, masalan, 637.333. Kasr raqamlari uchun Komidan keyin tarjimaning aniqligi ko'rsatilgan.

Sim kalkulyator bilan bir vaqtda siz quyidagilarni ham ishlatishingiz mumkin:

Raqamlarni yuborish usullari

Raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o'tkazish algoritmi

Misol raqami 1.



2 dan 8 ga 16 sanoq sistemasiga tarjima.
Tizimning Qi ikkiga karrali bo'lsa, tarjima qo'shimcha dalillar jadvaliga asoslanadi (quyida bo'linish).

Raqamni ikki karrali sonlar tizimidan sakkiz karrali (o'n oltinchi) songa aylantirish uchun ikki xonali sonni ekstremal guruhlarga nollarni qo'shib, uchta (chotiri - o'n oltinchi) tartibli guruhlarga bo'lish kerak. agar kerak bo'lsa. Teri guruhi ikki sakkizlik yoki o'n olti raqam bilan almashtiriladi.

Misol raqami 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
bu erda 001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1

O'n oltinchi tizimga tarjima qilganda, raqamni raqamlarga ko'ra, bir xil qoidalarga etib boradigan qismlarga bo'lish kerak.
Misol raqami 3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
bu erda 0010 = 2; 1011=B; 1010 = 12; 1011 = 13

2, 8 va 16 dan raqamlarni o'ninchi hisoblash tizimiga o'tkazish, sonni tizim asosida bir xil yogo ko'paytirishga bo'lish yo'li bilan amalga oshiriladi (qaysi raqam uchun o'zgartiriladi) bosqichlarga bo'linadi. Tarjima qilinadigan raqamdagi yogo seriya raqami. Bu raqamda ular chapga komi shaklida (birinchi raqam 0 raqami) ortib borayotgan raqamlar bilan va o'ng tomonda kamayuvchi (ya'ni manfiy belgi bilan) raqamlangan. Natijalarni qo'shing.

Misol raqami 4.
Butt ikkidan o'ninchi raqam tizimiga tarjima qilingan.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2+1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256 +0 +8 +0,3125 = 264,3125 10

Yana bir bor raqamlarni bir sanoq tizimidan boshqa PSSga o'tkazish algoritmini takrorlaymiz

1. O'ninchi sanoq tizimidan:
   • o'tkazilgan sanoq tizimi asosida raqamni bo'lish;
   • sonning rozpodílu butun qismidagi ortiqchani bilish;
   • rozpodiludagi barcha ortiqcha narsalarni teskari tartibda yozing;
2. Z dvíykovoí sanoq tizimi
   • Raqamlarning o'ninchi tizimiga o'tish uchun eng yuqori darajani 2 ni almashtirib, yaratilishlar yig'indisini bilish kerak;
   • Visimkov sonini tarjima qilish uchun raqamni triadalarga ajratish kerak.
     Masalan, 1000110 = 1000110 = 106 8
   • Sonni qo‘sh sanoq sistemasidan o‘n oltinchi sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun sonni 4 ta raqamdan iborat guruhlarga bo‘lish kerak.
     Masalan, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Raqamlar tizimiga o'tkazish uchun jadval

Misol raqami 2. 100,12 sonini y o‘ninchi sanoq sistemasidan o‘n ikkinchi sanoq sistemasiga aylantiring. Farqlarning sabablarini tushuntiring.
Yechim.
1 bosqich. .

Rozpodiludagi ortiqcha teskari tartibda qayd etiladi. Biz raqamni 8-son tizimidan olamiz: 144
100 = 144 8

Raqamning kasr qismini tarjima qilish uchun kasr qismini ketma-ket 8 asosga ko'paytiring. Natijada, yaratilishning butun qismi yoziladi.
0,12 * 8 = 0,96 (qismlar soni 0 )
0,96 * 8 = 7,68 7 )
0,68 * 8 = 5,44 5 )
0,44 * 8 = 3,52 3 )
Raqamni 8-son tizimidan olamiz: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2 bosqich. Sonni o‘ninchi sanoq sistemasidan sanoq sistemasiga o‘tkazish.
Vísímkovoí tizimidan tarjima qilingan Zvorotniy o'ninchigacha hisoblanadi.

Butun qismni o'tkazish uchun raqamning tartibini buyurtmaning ikkinchi bosqichiga ko'paytirish kerak.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Otish qismini o'tkazish uchun raqamning tartibini buyurtmaning keyingi bosqichiga bo'lish kerak.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
0,0001 (100,12 - 100,1199) dagi farq raqamlarni sanoq tizimiga o'tkazishda yaxlitlash xatosi bilan izohlanadi. Qiu ni o'ldirish uchun o'zgartirishingiz mumkin, shunda siz ko'proq zaryadsizlanishni olishingiz mumkin (masalan, 4 emas, balki 8).

Ikki sanoq sistemasi uchun arifmetik amallar

Ikki sondan ortiq arifmetik sonlar uchun qoidalar qo'shimchalar jadvallari bilan berilgan, bu ko'paytirishni ko'rsatadi.

Vikonannya operatsiyasini katlama qoidasi barcha raqamlar tizimlari uchun bir xil: agar qo'shilgan raqamlar yig'indisi kattaroq yoki raqamlar tizimi tomonidan ko'proq asoslansa, u holda biri keyingi chap qo'l toifasiga o'tkaziladi. Uni ko'rganingizda, turishingizni susaytirish kerak.

Xuddi shunday arifmetik sonlar ham eng yuqori, o‘n oltinchi va boshqa sanoq sistemalarida sanaladi. Agar kerak bo'lsa, yuqori darajali lavozimga o'tayotganda hujumchi unvoniga o'tish qiymati, qabul qilinganda, raqamli tizim asosining qiymati bilan aniqlanishiga ishonch hosil qilish kerak.

Sakkizlik sanoq sistemasidagi arifmetik amallar

Sakkizlik tizimda raqamlarni ifodalash uchun raqamlar barcha raqamlarda (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) g'alaba qozonadi, parchalar 8 sonining sakkizlik tizimining asosi hisoblanadi. Barcha operatsiyalar sakkizta raqamga qarash orqali amalga oshiriladi. Sakkizlik sonlar tizimida qo'shish va ko'paytirish amallari qo'shimcha jadvallar uchun viroblyayutsya:

Eng yuqori raqamlar tizimida katlama va ko'paytirish jadvallari

O'n oltinchi sanoq sistemasidagi arifmetik amallar

O'n oltinchi sanoq sistemasida raqamlarni ifodalash uchun o'n oltita raqam yoziladi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. O'n oltinchi sonda tizimi, o'n olti raqam yak10 yoziladi. O'n oltinchi sistemada arifmetik amallarni raqamlash o'nlik sanoq sistemasidagi kabi amalga oshiriladi va katta sonlar ustida arifmetik amallarni bajarishda jadvallarni to'ldirish va o'n oltinchi sanoq sistemasidagi sonlarni ko'paytirishni qo'shish kerak bo'ladi.

O'n oltinchi raqamlar tizimidagi qo'shimchalar jadvali

O'n oltinchi raqamlar tizimi uchun ko'paytirish jadvali

Har qanday pozitsion raqamlar tizimidagi raqamlarning vizualizatsiyasining katlanması bitma-bosqich raqamlangan. Znaxodzhennya sumi uchun birinchi toifadagi (o'ng qo'l) birliklaridan boshlab bir xil toifadagi birliklar qo'shiladi. Yig'indi tartiblardan biri bo'lishi bilanoq, qo'shilgan raqam tizimning kichik stansiyalariga teng bo'lgan raqam o'zgartiriladi, keyin yig'indining yig'indisi yuqori tartiblardan biri sifatida ko'riladi va u qo'shiladi. yovuzlikning sud tartibi. Bu qo'shilish o'ninchi tizimda bo'lgani kabi, "stovpchik", bir xonali sonlarni katlama vikoristovuyuchi jadvalida bo'lgani kabi, uzluksiz amalga oshirilishi mumkin.

Masalan, 4 ta qo'llab-quvvatlanadigan raqamlar tizimida katlanadigan stol quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Ikkilik sanoq sistemasidagi qo'shilish yanada soddaroq jadvaldir:

Vidnimannya vykonuemo xuddi shunday, o'ninchi tizimda bo'lgani kabi: raqamlarning o'zgarishiga imzo chekish va birinchidan boshlab, saflardagi raqamlarni bezovta qilish. Darajada yolg'izlikni ko'rish mumkin emas, yolg'izlikni yuqori martabadan "qarz olish" mumkin emas va biz ularni sudning yolg'izlikdan o'ng darajasidan qaytarishimiz mumkin.

Turli sanoq sistemalaridan raqamlar tarjimasini qo‘llang

Button №1
12 sonni o'ninchidan ikkita sanoq tizimiga o'tkazish
Yechim

Keling, 12 10 sonini 2-ichnu raqamlar tizimiga o'tkazamiz, 2 ga qo'shimcha ketma-ket bo'linish uchun doklar xususiy ravishda nolga teng bo'lmaydi. Natijada, qoldiqlar soni o'ng qo'lda yozilganidan olib tashlanadi.

№2 dumba
12.3 sonini o'ninchidan ikkita sanoq tizimiga o'tkazish

12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2

12,3 10 ning 12 ning butun qismini 2-ichnu sanoq sistemasiga o'tkazamiz, 2 ga qo'shimcha ketma-ket bo'linish uchun doklar nolga teng bo'lmaydi. Natijada, qoldiqlar soni o'ng qo'lda yozilganidan olib tashlanadi.

Biz 12,3 10 sonining 0,3 kasr qismini 2-ichnu sonlar tizimiga o'tkazamiz, qo'shimcha ketma-ket 2 ga ko'paytirish uchun doti, yaratilishning kasr qismi nolni ko'rmaguncha, aks holda Komi dan keyin kerakli belgilar soni. erishilmaydi. Butun qismni ko'paytirish natijasida nolga teng emas, butun qismning qiymatini nolga almashtirish kerak. Natijada, yaratilishning butun qismlarining soni olib tashlanadi, o'ngga yomonlik yoziladi.

Button №3
10011 sonini ikki sistemadan o‘ninchi sanoq sistemasiga o‘tkazish
Yechim

Biz 10011 2 raqamini o'ninchi sanoq tizimiga o'tkazamiz, buning uchun teri raqamining o'rnini noldan boshlab to'g'ri raqamga yozamiz.

Raqamning teri holati 2 raqamining qadami bo'ladi, lekin sanoq tizimi 2-a. 10011 2 teri raqamini raqamning ikkinchi pozitsiyasining 2 qadamiga ketma-ket ko'paytirish va keyin ikkinchi pozitsiyaning keyingi qo'shilishi bilan ikkinchi pozitsiyaning keyingi bosqichini qo'shish kerak.

10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10

Button №4
11.101 sonini ikki sistemadan o‘ninchi sanoq sistemasiga o‘tkazish

11.101 2 = 3.625 10

Biz 11.101 2 raqamini o'ninchi sanoq tizimidan tarjima qilamiz, buning uchun sondagi teri raqamining o'rnini yozamiz.

Raqamning teri holati 2 raqamining qadami bo'ladi, lekin sanoq tizimi 2-a. 11.101 2 teri raqamini raqamning ikkinchi pozitsiyasining 2 qadamiga ketma-ket ko'paytirish va keyin ikkinchi pozitsiyaning keyingi qo'shilishi bilan ikkinchi pozitsiyaning keyingi bosqichini qo'shish kerak.

11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10

Button №5
1583 sonini o‘ninchi sistemadan o‘n oltinchi sanoq sistemasiga o‘tkazish

1583 10 = 62F 16

Keling, 1583 10 raqamini 16-son tizimiga o'tkazamiz, 16 ga qo'shimcha ketma-ket bo'linish uchun doklar noldan ortiq xususiy bo'lmaydi. Natijada, qoldiqlar soni o'ng qo'lda yozilganidan olib tashlanadi.

Button №6
1583,56 sonini o‘ninchi sistemadan o‘n oltinchi sanoq sistemasiga o‘tkazish

1583,56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16

1583,56 10 sonining 1583 butun qismini 16 xonali sanoq sistemasiga o'tkazamiz, 16 ga qo'shimcha ketma-ket bo'linish uchun doklar nolga teng bo'lmaydi. Natijada, qoldiqlar soni o'ng qo'lda yozilganidan olib tashlanadi.

1583,56 10 sonining 0,56 kasr qismini yaratishning kasr qismida nol ko‘rmaguncha, 16 ga oxirgi ko‘paytirish, doti yordamida 16-ariy sonlar tizimiga o‘tkazamiz, aks holda zaruriy belgilar soni. keyin Komiga etib bo'lmaydi. Butun qismni ko'paytirish natijasida nolga teng emas, butun qismning qiymatini nolga almashtirish kerak. Natijada, yaratilishning butun qismlarining soni olib tashlanadi, o'ngga yomonlik yoziladi.

№7 dumba
A12DCF sonini o‘n oltinchi sistemadan o‘ninchi sanoq sistemasiga o‘tkazish

A12DCF 16 = 10563023 10

Biz A12DCF 16 raqamini o'ninchi sanoq tizimiga o'tkazamiz, buning uchun teri raqamining o'rnini noldan boshlab to'g'ri raqamga yozamiz.

Raqamning teri holati 16-raqamning qadami bo'ladi, ammo tizim 16-raqamdir. A12DCF 16 teri raqamini raqamning ikkinchi pozitsiyasining 16-bosqichiga ketma-ket ko'paytirish va keyin ikkinchi pozitsiyaning keyingi qo'shimchasi bilan ikkinchi pozitsiyaning qadamini qo'shish kerak.
2

A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 ⋅1

1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10

Keling, 675 10 raqamini 16-son tizimiga o'tkazamiz, 16 ga ketma-ket bo'linish yordami uchun doklar xususiy ravishda nolga teng bo'lmaydi. Natijada, qoldiqlar soni o'ng qo'lda yozilganidan olib tashlanadi.