| Інформатика та інформаційно-комунікаційні технології | Планування уроків та матеріали до уроків | 10 класи | Планування уроків на навчальний рік (ФГОС) | Арифметичні операції у позиційних системах числення

Урок 15
§12. Арифметичні операції у позиційних системах числення

Арифметичні операції у позиційних системах числення

Арифметичні операції у позиційних системах числення з основою qвиконуються за правилами, аналогічними правилами, що діють у десятковій системі числення.

У початковій школі на навчання дітей рахунку використовують таблиці складання і множення. Подібні таблиці можна скласти будь-якої позиційної системи числення.

12.1. Додавання чисел у системі числення з підставою q

Розгляньте приклади таблиць додавання в троїчній (табл. 3.2), восьмеричній (табл. 3.4) та шістнадцятковій (табл. 3.3) системах числення.

Таблиця 3.2

Додавання в трійковій системі числення

Таблиця 3.3

Додавання в шістнадцятковій системі числення

Таблиця 3.4

Додавання у восьмеричній системі числення

qотримати суму Sдвох чисел Аі Б, треба підсумувати цифри, що їх утворюють, за розрядами iсправа наліво:

Якщо a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
якщо a i + b i q, то s i = a i + b i - q, старший (i + 1)-й розряд збільшується на 1.

Приклади:

12.2. Віднімання чисел у системі числення з основою q

Щоб у системі числення з основою qотримати різницю Rдвох чисел Аі У, треба обчислити різниці цифр, що їх утворюють за розрядами iсправа наліво:

Якщо a i ≥ b i , то r i = a i - b i старший (i + 1)-й розряд не змінюється;
якщо a i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

Складання та віднімання чисел у будь-якій позиційній системі числення виконується порозрядно. Для знаходження суми складаються одиниці того самого розряду, починаючи з одиниць першого розряду (праворуч). Якщо сума одиниць розряду, що складається, перевищує число, рівне підставі системи, то з цієї суми виділяється одиниця старшого розряду, яка і додається до сусіднього розряду зліва. Тому додавання можна проводити безпосередньо, як і в десятковій системі, в "стовпчик", використовуючи таблицю складання однозначних чисел.

Наприклад, у системі числення з основою 4 таблиця додавання має такий вигляд:

Ще простіше таблиця додавання в двійковій системі числення:

Відніманнявиконуємо так само, як і в десятковій системі: підписуємо віднімання під зменшуваним і робимо віднімання чисел у розрядах, починаючи з першого. Якщо віднімання одиниць у розряді неможливо, " займаємо " одиницю у вищому розряді і перетворимо їх у одиниці сусіднього правого розряду.

Як ми складаємо у десятковій системі числення?

Давайте згадаємо про те, як ми складаємо числа вже звичним нам способом, у десятковій .

Найголовніше варто зрозуміти розряди. Згадайте алфавіт кожної СС, і тоді вам стане легше.

Додавання в двійковій системі нічим не відрізняється від додавання в десятковій системі. Головне пам'ятати, алфавіт містить лише дві цифри: 0 і 1. Тому коли ми складаємо 1 + 1, то отримуємо 0, і збільшуємо число ще на 1 розряд. Подивіться приклад вище:

1. Починаємо складати як і звикли праворуч наліво. 0 + 0 = 0, отже записуємо 0. Переходимо до наступного розряду.
2. Складаємо 1 + 1 і отримуємо 2, але 2 немає в двійковій системі числення, а значить записуємо 0, а 1 додаємо до наступного розряду.
3. У нас виходить у цьому розряді три одиниці складаємо 1+1+1=3, цієї цифри також бути не може. Значить 3 - 2 = 1. І 1 додаємо до наступного розряду.
4. У нас знову виходить 1+1=2. Ми вже знаємо, що 2 бути не може, значить записуємо 0, а 1 додаємо до наступного розряду.
5. Складати більше нічого, отже, у відповіді отримуємо: 10100.

Один приклад ми розібрали, другий вирішіть самостійно:

Так само як і в будь-яких інших системах числення необхідно пам'ятати Алфавіт. Спробуємо скласти вираз.

1. Все як завжди, починаємо складати справа наліво. 4+3=7.
2. 5 + 4 = 9. Дев'яти бути не може, значить з 9 віднімаємо 8, отримуємо 1. І ще 1 додаємо до наступного розряду.
3. 3 + 7 + 1 = 11. З 11 віднімаємо 8, отримуємо 3. І одиницю додаємо до наступного розряду.
4. 6 + 1 = 7.
5. Складати далі нічого. Відповідь: 7317.

А тепер зробіть додавання самостійно:

1. Виконуємо вже знайомі нам дії і не забуваємо про алфавіт. 2+1=3.
2. 5+9=14. Згадуємо Алфавіт: 14=Е.
3. С = 12. 12 + 8 = 20. Двадцяти немає у шістнадцятковій системі числення. Значить з 20 віднімаємо 16 і отримуємо 4. І одиницю додаємо до наступного розряду.
4. 1 + 1 = 2.
5. Більше складати нема чого. Відповідь: 24Е3.

Відрахування у системах числення

Згадаймо, як ми це робимо у десятковій системі числення.

1. Починаємо зліва направо, від меншого до більшого розряду. 2 - 1 = 1.
2. 1 – 0 = 1.
3. 3 - 9 =? Трійка менша за дев'ять, тому запозичимо одиницю зі старшого розряду. 13 - 9 = 4.
4. З останнього розряду ми взяли одиницю попередньої дії, тому 4 – 1 = 3.
5. Відповідь: 3411.

1. Починаємо як завжди. 1 - 1 = 0.
2. 1 – 0 = 1.
3. Від 0 відібрати одиницю не можна. Тому заберемо один розряд у старшого. 2 - 1 = 1.
4. Відповідь: 110.

А тепер вирішіть самостійно:

1. Нічого нового, головне – пам'ятати алфавіт. 4 - 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. Від 3 відібрати 7 ми відразу не можемо, для цього нам необхідно запозичувати одиницю у старшого розряду. 11 - 7 = 4.
4. Пам'ятаємо, що запозичували одиницю раніше, 6 – 1 = 5.
5. Відповідь: 5451.

Візьмемо попередній приклад, і подивимося, який буде результат у шістнадцятковій системі. Такий самий чи інший?

1. 4 – 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. Від 3 відібрати 7 ми відразу не можемо, для цього нам необхідно запозичувати одиницю у старшого розряду. 19 - 7 = 12. У шістнадцятковій системі 12 = С.
4. Пам'ятаємо, що запозичували одиницю раніше, 6 – 1 = 5
5. Відповідь: 5С51

Приклад для самостійного вирішення:

Розмноження в системах числення

Давайте запам'ятаємо раз і назавжди, що множення в будь-якій системі числення на одиницю завжди дасть те саме число.

1. Кожен розряд множимо на одиницю, як звичайно праворуч наліво, і отримуємо число 6748;
2. 6748 множимо на 8 та отримуємо число 53984;
3. Виконуємо операцію множення 6748 на 3. Отримуємо число 20244;
4. Складаємо всі 3 числа за правилами. Отримуємо 2570988;
5. Відповідь: 2570988.

У двійковій системі множити дуже легко. Ми завжди множимо або на 0 або на одиницю. Головне, це уважно складати. Давайте спробуєм.

1. 1101 множимо на одиницю, як зазвичай праворуч наліво, і отримуємо число 1101;
2. Виконуємо цю операцію ще 2 рази;
3. Складаємо всі 3 числа уважно, пам'ятаємо про алфавіт, не забуваючи про драбинку;
4. Відповідь: 1011011.

Приклад для самостійного вирішення:

1. 5 х 4 = 20. А 20 = 2 х 8 + 4. Залишок від розподілу записуємо до числа – це буде 4, а 2 тримаємо в умі. Проробляємо цю процедуру праворуч наліво і отримуємо число 40234;
2. При множенні на 0 отримуємо чотири 0;
3. При множенні на 7 у нас виходить число 55164;
4. Тепер складаємо числа та отримуємо – 5556634;
5. Відповідь: 5556634.

Приклад для самостійного вирішення:

Все як завжди, головне згадайте абетку. Літерні цифри, для зручності переводьте в звичну для себе систему числення, як помножите, переводіть назад у буквене значення.

Давайте для наочності розберемо множення на 5 числа 20А4.

1. 5 х 4 = 20. А 20 = 16 + 4. Залишок від розподілу записуємо до числа – це буде 4, а 1 тримаємо в умі.
2. А х 5 + 1 = 10 х 5 + 1 = 51. 51 = 16 х 3 + 3. Залишок від розподілу записуємо до числа – це буде 3, а 3 тримаємо в умі.
3. При множенні на 0 отримуємо 0 + 3 = 3;
4. 2 х 5 = 10 = А; У результаті виходить А334; Виконуємо цю процедуру з двома іншими числами;
5. Пам'ятаємо правило множення на 1;
6. При множенні на, у нас виходить число 1670С;
7. Тепер складаємо числа та отримуємо – 169В974;
8. Відповідь: 169В974.

Приклад самостійного рішення.

Приклади переведення чисел у різні системи числення

Приклад №1
Перекладемо число 12 з десяткової до двійкової системи числення
Рішення

Переведемо число 12 10 в 2-ічну систему числення, за допомогою послідовного поділу на 2, доки неповне приватне не буде дорівнює нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.

Приклад №2
Перекладемо число 12.3 з десяткового до двійкової системи числення

12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2

Перекладемо цілу частину 12 числа 12.3 10 в 2-ичную систему числення, з допомогою послідовного розподілу на 2, до того часу, поки неповне приватне нічого очікувати дорівнює нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.

Перекладемо дробову частину 0.3 числа 12.3 10 в 2-ічну систему числення, за допомогою послідовного множення на 2, доти, поки в дробовій частині твору не вийде нуль або не буде досягнуто необхідної кількості знаків після коми. Якщо в результаті множення ціла частина не дорівнює нулю, необхідно замінити значення цілої частини на нуль. В результаті буде отримано число з цілих частин творів, записане зліва направо.

Приклад №3
Перекладемо число 10011 із двійкової системи до десяткової системи числення
Рішення

Переведемо число 10011 2 в десяткову систему числення, для цього спочатку запишемо позицію кожної цифри в числі права наліво, починаючи з нуля

Кожна позиція цифри буде ступенем числа 2, оскільки система числення 2-річна. Необхідно послідовно помножити кожне число 10011 2 на 2 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.

10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10

Приклад №4
Перекладемо число 11.101 із двійкової системи до десяткової системи числення

11.101 2 = 3.625 10

Переведемо число 11.101 2 до десяткової системи числення, для цього спочатку запишемо позицію кожної цифри в числі

Кожна позиція цифри буде ступенем числа 2, оскільки система числення 2-річна. Необхідно послідовно помножити кожне число 11.101 2 на 2 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.

11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10

Приклад №5
Перекладемо число 1583 з десяткової системиу шістнадцяткову систему числення

1583 10 = 62F 16

Переведемо число 1583 10 в 16-ичную систему числення, за допомогою послідовного поділу на 16, до тих пір, поки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.

Приклад №6
Переведемо число 1583.56 з десяткової системи до шістнадцяткової системи числення

1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16

Переведемо цілу частину 1583 числа 1583.56 10 в 16-ичную систему числення, за допомогою послідовного поділу на 16, доки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.

Переведемо дробову частину 0.56 числа 1583.56 10 в 16-ичну систему числення, за допомогою послідовного множення на 16, доти, поки в дробовій частині твору не вийде нуль або не буде досягнуто необхідної кількості знаків після коми. Якщо в результаті множення ціла частина не дорівнює нулю, необхідно замінити значення цілої частини на нуль. В результаті буде отримано число з цілих частин творів, записане зліва направо.

Приклад №7
Переведемо число A12DCF з шістнадцяткової системи до десяткової системи числення

A12DCF 16 = 10563023 10

Переведемо число A12DCF 16 в десяткову систему числення, для цього спочатку запишемо позицію кожної цифри в числі права наліво, починаючи з нуля

Кожна позиція цифри буде ступенем числа 16, оскільки система 16-річна числення. Необхідно послідовно помножити кожне число A12DCF 16 на 16 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної позиції.
2

A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 ⋅ 16

1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10

Переведемо число 675 10 в 16-ічну систему числення, за допомогою послідовного поділу на 16, доки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.

Калькулятор дозволяє переводити цілі та дробові числа з однієї системи числення до іншої. Підстава системи числення може бути менше 2 і більше 36 (10 цифр і 26 латинських букв все-таки). Довжина чисел не повинна перевищувати 30 символів. Використовуйте символ для введення дробових чисел. або, . Щоб перевести число з однієї системи до іншої, введіть вихідне число в перше поле, основа вихідної системиобчислення у друге та основа системи обчислення, в яку потрібно перевести число, у третє поле, після чого натисніть кнопку "Отримати запис".

Початкове число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ой системі числення.

Хочу отримати запис числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системі числення.

Отримати запис

Виконано перекладів: 3336969

Також може бути цікаво:

• Калькулятор таблиці істинності. СДНФ. СКНФ. Поліном Жегалкіна

Системи числення

Системи числення поділяються на два типи: позиційніі не позиційні. Ми користуємося арабською системою, вона є позиційною, а є ще римська – вона якраз не позиційна. У позиційних системах становище цифри у числі однозначно визначає значення цього числа. Це легко зрозуміти, розглянувши на прикладі якогось числа.

Приклад 1. Візьмемо число 5921 у десятковій системі числення. Пронумеруємо число праворуч наліво починаючи з нуля:

Число 5921 можна записати в наступному вигляді: 5921 = 5000 +900 +20 +1 = 5 · 10 3 +9 · 10 2 +2 · 10 1 +1 · 10 0 . Число 10 є характеристикою, що визначає систему числення. В якості ступенів взято значення позиції даного числа.

Приклад 2. Розглянемо дійсне десяткове число 1234.567. Пронумеруємо його починаючи з нульової позиції числа від десяткової точки вліво та вправо:

Число 1234.567 можна записати в наступному вигляді: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Найбільш простим способомпереведення числа з однієї системи числення в іншу, є переведення числа спочатку в десяткову систему числення, а потім отриманого результату в необхідну систему числення.

Переказ чисел з будь-якої системи числення до десяткової системи числення

Для переведення числа з будь-якої системи числення в десяткову достатньо пронумерувати його розряди, починаючи з нульового (розряд зліва від десяткової точки) аналогічно прикладам 1 або 2.

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десяткову систему числення.
Рішення: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Відповідь: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десяткову систему числення.
Рішення: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Відповідь: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Переклад чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення

Для переведення чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення цілу та дробову частини числа потрібно переводити окремо.

Переклад цілої частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Ціла частина переводиться з десяткової системи числення в іншу систему числення за допомогою послідовного поділу цілої частини числа на основу системи числення до отримання цілого залишку, меншої основи системи числення. Результатом перекладу буде запис із залишків, починаючи з останнього.

3. Перевести число 273 10 у восьмирічну систему числення.
Рішення: 273/8 = 34 і залишок 1, 34/8 = 4 і залишок 2, 4 менший за 8, тому обчислення завершено. Запис із залишків матиме такий вигляд: 421
Перевірка: 4 · 8 2 +2 · 8 1 +1 · 8 0 = 256 +16 +1 = 273 = 273, результат збігся. Отже переклад виконано правильно.
Відповідь: 273 10 = 421 8

Розглянемо переведення правильних десяткових дробів у різні системи числення.

Переведення дробової частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Нагадаємо, правильним десятковим дробом називається речове число з нульовою цілою частиною. Щоб перевести таке число в систему числення з основою N потрібно послідовно множити число на N до тих пір, поки дробова частина не обнулиться або не буде отримана необхідна кількість розрядів. Якщо при множенні виходить число з цілою частиною, відмінне від нуля, то ціла частина далі не враховується, тому що послідовно заноситься до результату.

4. Перевести число 0.125 10 у двійкову систему числення.
Рішення: 0.125·2 = 0.25 (0 - ціла частина, яка стане першою цифрою результату), 0.25·2 = 0.5 (0 - друга цифра результату), 0.5·2 = 1.0 (1 - третя цифра результату, оскільки дробова частина дорівнює нулю , то переклад завершено).
Відповідь: 0.125 10 = 0.001 2