Винесення за дужки. Винесення за дужки загального множника, як правило, приклади. Винесення загального множника за дужки

У цій статті ми зупинимося на винесення за дужки загального множника. Спочатку розберемося, у чому полягає зазначене перетворення висловлювання. Далі наведемо правило винесення загального множника за дужки і розглянемо докладно приклади його застосування.

Навігація на сторінці.

Наприклад, доданки у виразі 6 x + 4 y мають загальний множник 2 , який не записаний явно. Його можна побачити лише після того, як уявити число 6 у вигляді твору 2·3, а 4 у вигляді твору 2·2. Отже, 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y). Ще приклад: у виразі x 3 +x 2 +3 x складники мають загальний множник x , який стає явно видно після заміни x 3 на x x 2 (при цьому ми використовували) і x 2 x x. Після винесення його за дужки отримаємо x · (x2 + x +3).

Окремо скажемо про винесення мінусу за дужки. Фактично винесення мінуса за дужки означає винесення мінус одиниці за дужки. Для прикладу винесемо за дужки мінус у виразі −5−12·x+4·x·y . Вихідний вираз можна переписати у вигляді (−1)·5+(−1)·12·x−(−1)·4·x·yзвідки чітко видно загальний множник −1 , який ми й виносимо за дужки. В результаті прийдемо до виразу (−1)·(5+12·x−4·x·y) , у якому коефіцієнт −1 замінюється просто мінусом перед дужками, у результаті маємо −(5+12·x−4·x· y). Звідси добре видно, що при винесенні мінуса за дужки в дужках залишається вихідна сума, в якій змінено знаки всіх її доданків на протилежні.

На закінчення цієї статті зауважимо, що винесення за дужки загального множника застосовується дуже широко. Наприклад, з його допомогою можна раціональніше обчислювати значення числових виразів. Також винесення за дужки загального множника дозволяє подавати вирази у вигляді твору, зокрема, на винесенні за дужки заснований один із методів розкладання багаточлена на множники.

Список літератури.

• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.

Продовжуємо розбиратися із основами алгебри. Сьогодні ми попрацюємо з , а саме розглянемо таку дію, як винесення загального множника за дужки.

Основний принцип

Розподільний закон множення дозволяє помножити число на суму (або суму на число). Наприклад, щоб знайти значення виразу 3 × (4 + 5) можна помножити число 3 на кожне доданок у дужках і скласти отримані результати:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Число 3 і вираз у дужках можна поміняти місцями (це випливає з переміщувального закону множення). Тоді кожен доданок, який у дужках, буде помножено на число 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Поки не будемо обчислювати конструкцію 3×4+3×5 і складати отримані результати 12 та 15. Залишимо вираз у вигляді 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Нижче воно буде потрібно саме в такому вигляді, щоб зрозуміти суть винесення загального множника за дужки.

Розподільний закон множення іноді називають внесенням множника усередину дужок. У виразі 3×(4+5) множник 3 був за дужками. Помноживши його на кожен доданок у дужках, ми по суті внесли його в дужку. Для наочності можна так і записати, хоч і не прийнято так записувати:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Оскільки у виразі 3 × (4 + 5)число 3 множиться на кожен доданок у дужках, це число є загальним множником для доданків 4 і 5

Як говорилося раніше, помноживши цей загальний множник на кожен доданок у дужках, ми вносимо його в дужку. Але можливий і зворотний процес - загальний множник можна винести за дужки. В даному випадку у виразі 3×4 + 3×5загальний множник видно, як у долоні — це множник 3 . Його і треба винести за дужки. Для цього спочатку записується сам множник.

і поруч у дужках записується вираз 3×4 + 3×5але вже без загального множника 3 , оскільки він винесений за дужки

3 (4 + 5)

В результаті винесення загального множника за дужки виходить вираз 3 (4 + 5) . Цей вираз тотожно дорівнює попередньому виразу 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Якщо обчислити обидві частини здобутої рівності, то отримаємо тотожність:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Як відбувається винесення загального множника за дужки

Винесення загального множника за дужки по суті є зворотною операцією внесення загального множника у дужку.

Якщо при внесенні загального множника всередину дужок, ми множимо цей множник на кожен доданок у дужках, то при винесенні цього множника назад за дужки, ми повинні розділити кожен доданок у дужках на цей множник.

У виразі 3×4 + 3×5, Яке було розглянуто вище, так і відбувалося. Кожне доданок було поділено на загальний множник 3 . Твори 3 × 4 і 3 × 5 є складовими, оскільки якщо їх обчислити, ми отримаємо суму 12 + 15

Тепер ми можемо детально побачити, як відбувається винесення спільного множника за дужки:

Видно, що загальний множник 3 спочатку винесений за дужки, потім у дужках відбувається розподіл кожного доданку на цей загальний множник.

Розподіл кожного доданку на загальний множник можна виконувати не тільки розділяючи чисельник на знаменник, як це було показано вище, а й скорочуючи ці дроби. В обох випадках вийде той самий результат:

Ми розглянули найпростіший приклад винесення загального множника за дужки, аби зрозуміти основний принцип.

Але не все так просто, як здається на перший погляд. Після того, як число помножено на кожен доданок у дужках, отримані результати складають, і загальний множник зникає.

Повернемося до прикладу 3 (4 + 5) . Застосуємо розподільчий закон множення, тобто помножимо число 3 на кожне доданок у дужках і складемо отримані результати:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Після того, як обчислено конструкцію 3 × 4 + 3 × 5 ми отримуємо новий вираз 12 + 15 . Бачимо, що загальний множник 3 зник з поля зору. Тепер у отриманому виразі 12 + 15 спробуємо назад винести загальний множник за дужки, але щоб винести цей загальний множник спочатку потрібно його знайти.

Зазвичай під час вирішення завдань зустрічаються саме такі висловлювання, у яких загальний множник спочатку потрібно знайти, як його виносити.

Щоб у виразі 12 + 15 винести загальний множник за дужки, потрібно знайти найбільший загальний дільник (НДД) доданків 12 і 15. Знайдений НОД і буде загальним множником.

Отже, знайдемо НОД доданків 12 і 15. Нагадаємо, що для знаходження НОД необхідно розкласти вихідні числа на прості множники, потім виписати перше розкладання та прибрати з нього множники, які не входять до розкладання другого числа. Множники, що залишилися, потрібно перемножити і отримати шуканий НОД. Якщо ви відчуваєте труднощі на цьому моменті, обов'язково повторіть .

НОД доданків 12 і 15 це число 3. Дане число є загальним множником доданків 12 і 15. Його потрібно виносити за дужки. Для цього спочатку записуємо сам множник 3 і поруч у дужках записуємо новий вираз, в якому кожен доданок вирази 12 + 15 поділено на загальний множник 3

Ну і подальше обчислення не складає особливих труднощів. Вираз у дужках легко обчислюється. дванадцять розділити на три буде чотири, а п'ятнадцять поділити на три буде п'ять:

Таким чином, при винесенні загального множника за дужки у виразі 12 + 15 виходить вираз 3 (4 + 5). Докладне рішення виглядає так:

У короткому рішенні пропускають запис у якому показано, як кожен доданок розділений на загальний множник:

приклад 2. 15 + 20

Найбільший загальний дільник доданків 15 та 20 це число 5. Дане число є загальним множником доданків 15 та 20. Його і винесемо за дужки:

Набули вираз 5(3 + 4).

Вираз 5(3 + 4), що вийшов, можна перевірити. Для цього достатньо помножити п'ятірку на кожен доданок у дужках. Якщо ми все зробили правильно, то маємо отримати вираз 15 + 20

приклад 3.Винести загальний множник за дужки у виразі 18+24+36

Знайдемо НОД доданків 18, 24 і 36. Щоб знайти , потрібно розкласти ці числа на прості множники, потім знайти добуток загальних множників:

НОД доданків 18, 24 і 36 це число 6. Це число є загальним множником доданків 18, 24 і 36. Його і винесемо за дужки:

Перевіримо вираз, що вийшов. Для цього помножимо число 6 на кожне доданок у дужках. Якщо ми все зробили правильно, то маємо отримати вираз 18 + 24 + 36

приклад 4.Винести загальний множник за дужки у виразі 13 + 5

Доданки 13 та 5 є простими числами. Вони розкладаються тільки на одиницю та самих себе:

Це означає, що у доданків 13 і 5 немає загальних множників, крім одиниці. Відповідно немає сенсу виносити цю одиницю за дужки, оскільки це нічого не дасть. Покажемо це:

Приклад 5.Винести загальний множник за дужки у виразі 195 + 156 + 260

Знайдемо НОД доданків 195, 156 та 260

НОД доданків 195, 156 і 260 це число 13. Це число є загальним множником для доданків 195, 156 і 260. Його і винесемо за дужки:

Перевіримо вираз, що вийшов. Для цього помножимо 13 на кожен доданок у дужках. Якщо ми все зробили правильно, то маємо отримати вираз 195 + 156 + 260

Вираз, у якому потрібно винести загальний множник за дужки, може бути не лише сумою чисел, а й різницею. 16 − 12 − 4. Найбільшим загальним дільником чисел 16, 12 та 4 це число 4. Дане число і винесемо за дужки:

Перевіримо вираз, що вийшов. Для цього помножимо четвірку на кожну кількість у дужках. Якщо ми все зробили правильно, то маємо отримати вираз 16 − 12 − 4

Приклад 6.Винести загальний множник за дужки у виразі 72 + 96 − 120

Знайдемо НОД чисел 72, 96 та 120

НОД для 72, 96 і 120 це число 24. Це число є загальним множником доданків 195, 156 і 260. Його і винесемо за дужки:

Перевіримо вираз, що вийшов. Для цього помножимо 24 на кожну кількість у дужках. Якщо ми все зробили правильно, то маємо отримати вираз 72+96−120

Загальний множник, що виноситься за дужки, може бути негативним. Наприклад, винесемо загальний множник за дужки у виразі −6 − 3. Винести загальний множник за дужки у такому виразі можна двома способами. Розглянемо кожен із них.

Спосіб 1.

Замінимо віднімання додаванням:

−6 + (−3)

Тепер знаходимо спільний множник. Спільним множником даного виразу буде найбільший спільний дільник доданків -6 і -3.

Модуль першого доданка це 6. А модуль другого доданка це 3. НОД(6 і 3) дорівнює 3. Дане число є загальним множником доданків 6 і 3. Його і винесемо за дужки:

Вираз отриманий у такий спосіб вийшов не дуже акуратним. Багато дужок та негативних чисел не надають виразу простоти. Тому можна скористатися другим способом, суть якого полягає в тому, щоб винести за дужки не 3, а −3.

Спосіб 2.

Як і минулого разу замінюємо віднімання додаванням

−6 + (−3)

На цей раз ми винесемо за дужки не 3, а −3

Вираз отриманий цього разу виглядає набагато простіше. Запишемо рішення коротше, щоб зробити його ще простіше:

Дозволяти виносити негативний множник за дужки пов'язано з тим, що розкладання чисел −6 та (−3) можна записати двома видами: спочатку зробити множину негативним, а множник позитивним:

−6 = −2 × 3

−3 = −1 × 3

у другому випадку множимо можна зробити позитивним, а множник негативним:

−6 = 2 × (−3)

−3 = 1 × (−3)

Отже ми вільні виносити за дужки той співмножник, який захочемо.

Приклад 8.Винести загальний множник за дужки у виразі −20 − 16 − 2

Замінимо віднімання додаванням

−20 − 16 − 2 = −20 + (−16) + (−2)

Найбільшим загальним дільником доданків −20, −16 та −2 є число 2. Це число є загальним множником цих доданків. Подивимося, як це виглядає:

−20 = −10 × 2

−16 = −8 × 2

−2 = −1 × 2

Але наведені розкладання можна замінити тотожно рівні розкладання. Відмінність буде в тому, що загальним множником буде не 2, а −2

−20 = 10 × (−2)

−16 = 8 × (−2)

−2 = 1 × (−2)

Тому для зручності за дужки можна винести не 2 , а −2

Запишемо наведене рішення коротше:

А якби ми винесли за дужки, то вийшло б не зовсім акуратне вираз:

Приклад 9.Винести загальний множник за дужки у виразі −30 − 36 − 42

Замінимо віднімання додаванням:

−30 + (−36) + (−42)

Найбільшим загальним дільником доданків -30, -36 і -42 це число 6. Дане число є загальним множником для цих доданків. Але за дужки ми винесемо не 6, а −6 оскільки числа −30, −36 та −42 можна так:

−30 = 5 × (−6)

−36 = 6 × (−6)

−42 = 7 × (−6)

Винесення мінуса за дужки

При вирішенні завдань іноді може бути корисним винесення мінусу за дужки. Це дозволяє спростити вираз та зробити його простіше.

Розглянемо наступний приклад. Винести мінус за дужки у виразі −15 + (−5) + (−3)

Для наочності укладемо цей вираз у дужки, адже йдеться про те, щоб винести мінус за ці дужки.

(−15 + (−5) + (−3))

Отже, щоб винести мінус за дужки, потрібно записати перед дужками мінус і в дужках записати всі доданки, але з протилежними знаками. Знаки операцій (тобто плюси) залишаємо без змін:

−(15 + 5 + 3)

Ми винесли мінус за дужки у виразі -15 + (-5) + (-3) і отримали - (15 + 5 + 3) . Обидва вирази дорівнюють тому самому значенню −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Тому між виразами −15 + (−5) + (−3) та −(15 + 5 + 3) можна поставити знак рівності, тому що вони рівні одному й тому ж значенню:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

−23 = −23

Насправді при винесенні мінуса за дужки знову ж таки спрацьовує розподільчий закон множення:

a(b + c) = ab + ac

Якщо поміняти місцями ліву та праву частину цієї тотожності, то вийде, що співмножник aвинесено за дужки

ab + ac = a(b+c)

Те саме відбувається, коли ми виносимо загальний множник в інших виразах і коли виносимо мінус за дужки.

Вочевидь, що з винесення мінуса за дужки, виноситься не мінус, а мінус одиниця. Раніше ми говорили, що коефіцієнт 1 прийнято не записувати.

Тому і утворюється перед дужками мінус, а знаки доданків, які були в дужках, змінюють свій знак на протилежний, оскільки кожен доданок розділений на мінус одиницю.

Повернемося до попереднього прикладу та детально побачимо, як насправді виносився мінус за дужки

приклад 2.Винести мінус за дужки у виразі -3 + 5 + 11

Ставимо мінус і поруч у дужках записуємо вираз −3 + 5 + 11 із протилежним знаком у кожного доданка:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Як і в попередньому прикладі, тут за дужки винесено не мінус, а мінус одиниця. Докладне рішення виглядає так:

Спочатку вийшло вираз −1(3 + (−5) + (−11)) , але ми розкрили в ньому внутрішні дужки та отримали вираз −(3 − 5 − 11) . Розкриття дужок це тема наступного уроку, тому якщо цей приклад викликає у вас труднощі, можете поки що пропустити його.

Винесення загального множника за дужки у буквеному виразі

Виносити спільний множник за дужки у буквальному виразі набагато цікавіше.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Нехай є вираз 3 a + 2 a. Винесемо загальний множник за дужки.

У даному випадку, загальний множник видно неозброєним оком – це множник a. Його й винесемо за дужки. Для цього записуємо сам множник aі поруч у дужках записуємо вираз 3a + 2a, але вже без множника aоскільки він винесений за дужки:

Як і у випадку з числовим виразом, тут відбувається розподіл кожного доданка на загальний множник. Виглядає це так:

В обох дробах змінні aбули скорочені на a. Замість них у чисельнику та у знаменнику вийшли одиниці. Одиниці вийшли через те, що замість змінної aможе стояти будь-яке число. Ця змінна розташовувалася і в чисельнику, і в знаменнику. А якщо в чисельнику і знаменнику розташовуються однакові числа, то найбільший спільний дільник для них буде саме це число.

Наприклад, якщо замість змінної aпідставити число 4 , то конструкція набуде наступного вигляду: . Тоді четвірки в обох дробах можна буде скоротити на 4:

Виходить те саме, що й раніше, коли замість четвірок стояла змінна a .

Тому не слід лякатися побачивши скорочення змінних. Змінна це повноправний множник, хай навіть виражений буквою. Такий множник можна виносити за дужки, скорочувати та виконувати інші дії, які допустимі до звичайних чисел.

Буквене вираз містить як числа, а й букви (змінні). Тому загальний множник, який виноситься за дужки часто буває буквеним множником, що складається з числа та літери (коефіцієнта та змінної). Наприклад, такі вирази є буквеними множниками:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Перш ніж виносити такий множник за дужки, потрібно визначитися, яке число буде в числовій частині загального множника і яка змінна буде в літерній частині загального множника. Іншими словами, потрібно дізнатися який коефіцієнт буде у загального множника і яка змінна буде в нього входити.

Розглянемо вираз 10 a + 15a. Спробуємо винести у ньому загальний множник за дужки. Спочатку визначимося з чого складатиметься загальний множник, тобто дізнаємося його коефіцієнт і яка змінна входитиме в нього.

Коефіцієнтом загального множника має бути найбільший загальний дільник коефіцієнтів буквеного виразу 10 a + 15a. 10 і 15 , які найбільший спільний дільник це число 5 . Значить, число 5 буде коефіцієнтом загального множника, що виноситься за дужки.

Тепер визначимося яка змінна входитиме до загального множника. Для цього потрібно подивитися на вираз 10 a + 15aі знайти літерний співмножник, який входить у всі доданки. В даному випадку, це співмножник a. Цей помножувач входить у кожен доданок 10 a + 15a. Значить змінна aвходитиме в літерну частину загального множника, що виноситься за дужки:

Тепер залишилося винести спільний множник 5aза дужки. Для цього розділимо кожне доданок вирази 10a + 15aна 5a. Для наочності коефіцієнти та числа будемо відокремлювати знаком множення (×)

Перевіримо вираз, що вийшов. Для цього помножимо 5aна кожне доданок у дужках. Якщо ми все зробили правильно, то отримаємо вираз 10a + 15a

Літерний множник не завжди можна винести за дужки. Іноді загальний множник складається лише з числа, оскільки нічого придатного для літерної частини у виразі немає.

Наприклад, винесемо загальний множник за дужки у виразі 2a − 2b. Тут загальним множником буде лише число 2 а серед літерних співмножників загальних множників у виразі немає. Тому в даному випадку буде винесено лише множник 2

приклад 2.Винести загальний множник виразі 3x + 9y + 12

Коефіцієнтами цього виразу є числа 3, 9 і 12, їх НІД дорівнює 3 3 . А серед літерних співмножників (змінних) немає спільного множника. Тому остаточний загальний множник це 3

приклад 3.Винести загальний множник за дужки у виразі 8x + 6y + 4z + 10 + 2

Коефіцієнтами цього виразу є числа 8, 6, 4, 10 і 2, їх НІД дорівнює 2 . Значить коефіцієнтом загального множника, що виноситься за дужки, буде число 2 . А серед літерних співмножників немає спільного множника. Тому остаточний загальний множник це 2

приклад 4.Винести спільний множник 6ab + 18ab + 3abc

Коефіцієнтами цього виразу є числа 6, 18 та 3,їх НІД дорівнює 3 . Значить коефіцієнтом загального множника, що виноситься за дужки, буде число 3 . У літерну частину загального множника входитимуть змінні aі b,оскільки у виразі 6ab + 18ab + 3abcці дві змінні входять у кожний доданок. Тому остаточний загальний множник це 3ab

При докладному рішенні вираз стає громіздким і незрозумілим. У цьому прикладі це більш ніж помітно. Це з тим, що ми скорочуємо множники в чисельнику і в знаменнику. Найкраще робити це в розумі і одразу записувати результати поділу. Тоді вираз стане коротким та акуратним:

Як і у випадку з числовим виразом у літерному виразі загальний множник може бути негативним.

Наприклад, винесемо загальний множник за дужки у виразі −3a − 2a.

Для зручності замінимо віднімання додаванням

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Спільним множником у даному виразі є множник a. Але за дужки можна винести не лише a, але і −a. Його й винесемо за дужки:

Вийшов акуратний вираз −a (3+2).Не слід забувати, що множник −aнасправді виглядав як −1aі після скорочення в обох дробах змінних aУ знаменниках залишилися мінус одиниці. Тому в результаті і виходять позитивні відповіді у дужках

Приклад 6.Винести загальний множник за дужки у виразі −6x − 6y

Замінимо віднімання додаванням

−6x−6y = −6x+(−6y)

Винесемо за дужки −6

Запишемо рішення коротше:

−6x − 6y = −6(x + y)

Приклад 7.Винести загальний множник за дужки у виразі −2a − 4b − 6c

Замінимо віднімання додаванням

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Винесемо за дужки −2

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Подання багаточлена у вигляді твору кількох багаточленів (або одночленів)

Наприклад,

Винесення загального множника за дужки

Необхідно проаналізувати кожен член многочлена, знайти загальну частину (якщо така є). Наприклад, у виразі кожен член має y. Змінну yможна винести за дужки.

Змінні, що входять до кожного члена багаточлена виносять за дужки в ступенях з найменшим показником, який зустрічається. У прикладі зустрічається y 2, y 5і y 4. Виносимо за дужки y 2.

Що залишиться від кожного члена після винесення загального множника за дужки? Що записати у дужках? Необхідно кожен член розділити на загальний множник, який виносимо за дужки. Наприклад, при винесенні y 2за дужки у нашому прикладі

Якщо числові коефіцієнти кожного члена многочлена мають найбільший спільний дільник, його теж можна винести за дужки. У прикладі НОД(18; 30; 6)=6

Якщо за дужки виносять множник "-1" (ще говорять "виносять мінус"), то у дужках знак кожного доданка змінюється на протилежний

Спільним множником можуть бути і багаточлени. Наприклад, для вираження загальним множником є ​​багаточлен

Виносимо за дужки, отримаємо

Завжди можна перевірити, чи правильно виконано винесення загального множника за дужки. Для цього необхідно виконати множення загального множника на багаточлен у дужках і перевірити, що отриманий вираз повністю збігається з початковим.

Спосіб угруповання

Якщо члени многочлена немає загального множника, слід спробувати розкласти його шляхом угруповання.

Для цього треба об'єднати у групи ті члени, які мають спільні множники, та винести за дужки спільний множник кожної групи. Після цього може виявитися загальний множник многочлен у груп, які виходять за дужки.

Групувати члени многочлена можна по-різному. Не при кожному угрупованні вдасться розкласти багаточлен на множники.

Розкладання многочлена іноді неможливе відомими методами. Тоді розкласти багаточлен можливо, знайшовши один корінь і

Чичаєва Дарина 8в клас

У роботі учениця 8 класу розписала правило розкладання многочлена на множники шляхом винесення загального множника за дужки з докладним ходом розв'язання безлічі прикладів на цю тему. На кожний розібраний приклад запропоновано по 2 приклади для самостійного рішення, яких є відповіді. Робота допоможе вивчити цю тему тим учням, які з якихось причин її не засвоїв під час проходження програмного матеріалу 7 класу та (або) при повторенні курсу алгебри у 8 класі після літніх канікул.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Муніципальна бюджетна освітня установа

середня загальноосвітня школа №32

«Асоційована школа ЮНЕСКО «Еврика-розвиток»

м. Волзького Волгоградської області

Роботу виконала:

Учениця 8В класу

Чичаєва Дарина

м. Волзький

2014

Винесення загального множника за дужки

• - Одним із способів розкладання багаточлена на множники євинесення загального множника за дужки;
• - При винесенні загального множника за дужки застосовуєтьсярозподільна властивість;
• - Якщо всі члени багаточлена містятьзагальний множник цей множник можна винести за дужки.

При розв'язанні рівнянь, у обчисленнях та інших завданнях буває корисно замінити многочлен добутком кількох многочленов (серед яких може бути і одночлени). Подання многочлена як твори двох чи кількох многочленів називають розкладання многочлена на множники.

Розглянемо багаточлен 6a 2 b+15b 2 . Кожен його член можна замінити твором двох множників, один з яких дорівнює 3b: →6a 2 b = 3b * 2a 2 + 15b 2 = 3b * 5b →з цього ми отримаємо: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

Отримане вираз з урахуванням розподільного властивості множення можна як твори двох множників. Один з них – спільний множник 3b , а інший – сума 2а 2 і 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Таким чином ми розклали багаточлен: 6a 2 b+15b 2 на множники, представивши його у вигляді твору одночлена 3b та багаточлена 2a 2 +5b. Цей спосіб розкладання многочлена на множники називають винесення загального множника за дужки.

Приклади:

Розкладіть на множники:

а) kx-px.

Множник х х виносимо за дужки.

kx: x = k; px: x = p.

Отримаємо: kx-px = x * (k-p).

б) 4a-4b.

Множник 4 є і в 1 доданку і в 2 доданку. Тому 4 виносимо за дужки.

4а:4=а; 4b:4=b.

Отримаємо: 4a-4b = 4 * (a-b).

в) -9m-27n.

9m та -27n поділяються на -9 . Тому виносимо за дужки числовий множник-9.

9m: (-9) = m; -27n: (-9) = 3n.

Маємо: -9m-27n=-9*(m+3n).

г) 5y 2 -15y.

5 та 15 діляться на 5; y 2 і у діляться на у.

Тому виносимо за дужки спільний множник 5у.

5y 2 : 5у = ​​у; -15y: 5у = ​​-3.

Отже: 5y 2 -15y = 5у * (у-3).

Примітка: З двох ступенів з однаковою основою виносимо ступінь із меншим показником.

д) 16у 3 +12у 2 .

16 та 12 діляться на 4; y 3 та y 2 діляться на y 2 .

Значить, загальний множник 4y 2 .

16y 3 : 4y 2 = 4y; 12y 2: 4y 2 =3.

В результаті ми отримаємо: 16y 3 +12y 2 = 4y 2 * (4у +3).

е) Розкладіть на множники многочлен 8b(7y+a)+n(7y+a).

У даному виразі ми бачимо, присутній той самий множник(7y+a) , який можна винести за дужки. Отже, отримаємо:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

ж) a(b-c)+d(c-b).

Вирази b-c та c-b є протилежними. Тому, щоб зробити їх однаковими, перед d змінюємо знак "+" на "-":

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Приклади для самостійного вирішення:

1. mx+my;
2. ах+ау;
3. 5x+5y;
4. 12x +48y;
5. 7ax+7bx;
6. 14x+21y;
7. -ma-a;
8. 8mn-4m 2;
9. -12y 4 -16y;
10. 15y 3 -30y 2;
11. 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
12. 8m(a-3)+n(a-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Відповіді.

1) m(х+у); 2) а(х+у); 3) 5(х+у); 4) 12(х+4у); 5) 7х(a+b); 6) 7(2х+3у); 7) -а(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y 3+4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c) (5с + у 2); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7) (3a-5b).