| เทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร | การวางแผนบทเรียนและสื่อการสอนก่อนเรียน | 10 ชั้น | การวางแผนบทเรียนสำหรับโรงเรียนประถมศึกษา (FGOS) | การคำนวณทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขตำแหน่ง

บทที่ 15
§12. การคำนวณทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขตำแหน่ง

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขตำแหน่ง

การดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขตำแหน่งพร้อมฐาน qทำตามกฎคล้ายกับกฎที่พบในระบบตัวเลขที่สิบ

ในตอนต้นของโรงเรียนเพื่อการศึกษาของเด็กมีตารางการพับและการคูณ ตารางที่คล้ายกันสามารถนำมารวมกันได้ ไม่ว่าจะเป็นระบบตัวเลขตำแหน่ง

12.1. การบวกตัวเลขในระบบตัวเลขด้วย substava q

ดูภาคผนวกของตารางเสริมในระบบตัวเลข ternary (ตาราง 3.2) ที่สิบหก (ตาราง 3.4) และหมายเลขที่สิบหก (ตาราง 3.3)

ตารางที่3.2

การบวกในระบบเลขฐานสาม

ตาราง 3.3

การบวกในระบบตัวเลขที่สิบหก

ตาราง 3.4

บวกกับระบบตัวเลขสูงสุด

qเอาผลรวม สสองตัวเลข แต่і บี, คุณต้องเพิ่มตัวเลขที่ได้รับการอนุมัติ สำหรับอันดับ ฉันซ้ายไปขวา:

ยักโช a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
ถ้า i + b i q ดังนั้น s i \u003d a i + b i - q ตัวเลขที่อาวุโส (i + 1) จะเพิ่มขึ้น 1

นำมาใช้:

12.2. Vіdnіmannyaของตัวเลขในระบบตัวเลขด้วย subdstava q

Schob ที่หมายเลขระบบพร้อมพื้นฐาน qเอาส่วนต่างออกไป Rสองตัวเลข แต่і ที่ข้อกำหนดคือการคำนวณส่วนต่างและอนุมัติตัวเลขสำหรับอันดับ ฉันซ้ายไปขวา:

ถ้า i ≥ b i ดังนั้น ri = a i - b i ตัวเลขอาวุโส (i + 1) จะไม่เปลี่ยนแปลง
ยัคโช อะ ไอ< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

คุณสามารถป้อนเป็นจำนวนเต็มได้ เช่น 34 และเศษส่วน เช่น 637.333 สำหรับตัวเลขเศษส่วน ความแม่นยำของการแปลหลังโคมิจะถูกระบุ

ในเวลาเดียวกันกับเครื่องคิดเลขซิม คุณสามารถใช้สิ่งต่อไปนี้:

ช่องทางการส่งเลข

อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งเป็นอีกระบบหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 1



การแปลจากระบบตัวเลข 2 เป็น 8 ถึง 16
Qi ของระบบเป็นผลคูณของสอง ดังนั้นการแปลจะขึ้นอยู่กับตารางหลักฐานเพิ่มเติม (div. ด้านล่าง)

ในการแปลงตัวเลขจากระบบสองเท่าของตัวเลขเป็นตัวเลขแปดเท่า (สิบหก) จำเป็นต้องแยกตัวเลขสองหลักออกเป็นกลุ่มสาม (chotiri - สำหรับลำดับที่สิบหก) เพิ่มศูนย์ไปยังกลุ่มสุดขั้ว ในกรณีที่จำเป็น. กลุ่มสกินจะถูกแทนที่ด้วยเลขฐานแปดสองหรือสิบหกหลัก

ตัวอย่างที่ 2 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ที่นี่ 001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1

เมื่อแปลเป็นระบบที่สิบหกจำเป็นต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นส่วน ๆ ตามหลักถึงกฎเดียวกัน
ตัวอย่างที่ 3 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
ที่นี่ 0010 = 2; 1011=ข; 1,010 = 12; 1011 = 13

การแปลงตัวเลขจาก 2, 8 และ 16 เป็นระบบการคำนวณที่สิบจะดำเนินการโดยวิธีการแบ่งตัวเลขเป็นการคูณแบบเดียวกันของ yogo บนพื้นฐานของระบบ (จากที่ตัวเลขถูกเลื่อน) ลิงก์ที่ ฟุตจะคล้ายกับหมายเลขซีเรียลในหมายเลขที่จะแปล ที่หมายเลขนี้ พวกเขาจะนับเลขทางด้านซ้ายในรูปของโคมิ (หมายเลขแรกคือ เลข 0) โดยมีตัวเลขเพิ่มขึ้น และทางด้านขวามีตัวเลขลดลง (ซึ่งเป็นเครื่องหมายลบ) นำผลลัพธ์ที่ได้เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างหมายเลข 4
ก้นแปลจากระบบเลขสองถึงสิบ

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2+1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 108.5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 108.5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256 +0 +8 +0.3125 = 264.3125 10

อีกครั้ง เราทำซ้ำอัลกอริทึมสำหรับการแปลตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งเป็น PSS . อื่น

1. จากระบบเลขสิบ:
   • แยกเลขตามระบบเลขโอน
   • รู้ส่วนเกินในrozpodіluทั้งส่วนของจำนวน
   • เขียนส่วนเกินทั้งหมดในrozpodіluในลำดับที่กลับกัน
2. Z dvіykovoїระบบตัวเลข
   • ในการถ่ายโอนไปยังระบบตัวเลขที่สิบ จำเป็นต้องทราบผลรวมของการสร้าง แทนที่ 2 สำหรับอันดับสูงสุด
   • สำหรับการแปลจำนวน visimkov จำเป็นต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นสามส่วน
     ตัวอย่างเช่น 1000110 = 1000110 = 106 8
   • ในการแปลงตัวเลขจากระบบเลขคู่เป็นระบบตัวเลขที่สิบหก จำเป็นต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่ม 4 หลัก
     ตัวอย่างเช่น 1000110 = 100 0110 = 46 16

ตารางแปลเป็นระบบตัวเลข

ตัวอย่างที่ 2 แปลงตัวเลข 100.12 จากระบบตัวเลขที่สิบ y เป็นระบบตัวเลขที่สิบสองกลับ อธิบายสาเหตุของความแตกต่าง
สารละลาย.
1 เวที. .

ส่วนเกินในrozpodіluจะถูกบันทึกในลำดับที่กลับกัน เราใช้ตัวเลขจากระบบตัวเลขที่ 8: 144
100 = 144 8

ในการแปลเศษส่วนของตัวเลข ให้คูณส่วนที่เป็นเศษส่วนด้วยฐาน 8 ตามลำดับ ในผลลัพธ์นั้น ส่วนของการสร้างทั้งหมดจะถูกเขียนลงไป
0.12 * 8 = 0.96 (จำนวนชิ้นส่วน 0 )
0.96 * 8 = 7.68 7 )
0.68 * 8 = 5.44 5 )
0.44 * 8 = 3.52 3 )
เราใช้ตัวเลขจากระบบตัวเลขที่ 8: 0753
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2 เวที. การแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบเป็นระบบตัวเลข.
Zvorotniy แปลจากระบบVіsіmkovoїนับเป็นสิบ

ในการถ่ายโอนส่วนทั้งหมด จำเป็นต้องคูณลำดับของตัวเลขด้วยขั้นตอนที่สองของคำสั่ง
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

ในการถ่ายโอนส่วนที่ยิง จำเป็นต้องแบ่งลำดับของตัวเลขเป็นลำดับถัดไปของลำดับ
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
ความแตกต่างใน 0.0001 (100.12 - 100.1199) อธิบายได้จากข้อผิดพลาดของการปัดเศษเมื่อแปลงตัวเลขเป็นระบบตัวเลข คุณสามารถเปลี่ยน qiu เป็น kill เพื่อให้คุณสามารถปลดปล่อยได้มากขึ้น (เช่น ไม่ใช่ 4 แต่ 8)

การดำเนินการเลขคณิตสำหรับระบบตัวเลขสองระบบ

กฎสำหรับเลขคณิตของตัวเลขสองตัวนั้นถูกกำหนดโดยตารางการบวกซึ่งแสดงการคูณนั้น

กฎของการพับการดำเนินการ vykonannya จะเหมือนกันสำหรับระบบตัวเลขทั้งหมด: เมื่อผลรวมของตัวเลขที่รวมกัน มากหรือมากกว่านั้นยืนยันระบบของตัวเลข จากนั้นระบบหนึ่งจะถูกโอนไปยังหมวดหมู่ถัดไปที่ถนัดซ้าย เมื่อคุณเห็นมันจำเป็นต้องหย่อนอิริยาบถของคุณ

ในทำนองเดียวกัน ตัวเลขทางคณิตศาสตร์จะถูกนับในระบบตัวเลขสูงสุด สิบหก และระบบตัวเลขอื่นๆ หากจำเป็น จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่ามูลค่าของการโอนไปยังตำแหน่งที่น่ารังเกียจเมื่อพับไปยังตำแหน่งของตำแหน่งอาวุโสเมื่อนำมาจะถูกกำหนดโดยค่าพื้นฐานของระบบตัวเลข

การดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขฐานแปด

สำหรับการแทนค่าตัวเลขในระบบฐานแปด ตัวเลขจะมีชัยในทุกหลัก (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) ชาร์ดเป็นพื้นฐานของระบบฐานแปดของเลข 8 การดำเนินการทั้งหมดทำได้โดยดูจากตัวเลขแปดหลัก การดำเนินการของการเพิ่มและการคูณในระบบฐานแปดของตัวเลขนั้น viroblyayutsya สำหรับตารางที่ก้าวหน้าเพิ่มเติม:

ตารางการพับและการคูณในระบบตัวเลขสูงสุด

การดำเนินการเลขคณิตในระบบตัวเลขที่สิบหก

เพื่อแสดงตัวเลขในระบบตัวเลขที่สิบหกจะมีการเขียนตัวเลขสิบหกหลัก: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. ในหมายเลขที่สิบหก ระบบเขียนสิบหกหลักจามรี10. การนับเลขคณิตในระบบที่สิบหกนั้นดำเนินการเหมือนในระบบทศนิยม และเมื่อดำเนินการคำนวณตามจำนวนที่มาก จำเป็นต้องเติมตารางให้สมบูรณ์และเพิ่มการคูณตัวเลขในระบบตัวเลขที่สิบหก

ตารางเพิ่มเติมในระบบตัวเลขที่สิบหก

ตารางสูตรคูณเลขระบบที่สิบหก

การพับของการแสดงตัวเลขนั้นในระบบตำแหน่งของตัวเลขใดๆ จะถูกนับทีละบิต สำหรับ znakhodzhennya sumi หน่วยของหนึ่งและประเภทเดียวกันจะถูกเพิ่มโดยเริ่มจากหน่วยของประเภทที่หนึ่ง (มือขวา) ทันทีที่ผลรวมเป็นหนึ่งในคำสั่งที่มีการเพิ่มจำนวนจะถูกเปลี่ยนเท่ากับระบบจากนั้นผลรวมของผลรวมจะถูกมองว่าเป็นหนึ่งในคำสั่งอาวุโสและจะเพิ่มไปยังคำสั่งศาลของ ความชั่วร้าย. การเพิ่มนี้สามารถทำได้โดยไม่หยุดชะงัก เช่นเดียวกับในระบบที่สิบใน "stovpchik" ตาราง vikoristovuyuchi ของการพับตัวเลขหลักเดียว

ตัวอย่างเช่น ในระบบตัวเลขที่รองรับ 4 โต๊ะพับอาจมีลักษณะดังนี้:

ตารางที่ง่ายกว่าคือการเพิ่มในระบบเลขคู่:

วิดนิมานยา vykonuєmoเช่นนั้นเช่นเดียวกับในระบบที่สิบ: ลงนามในการเปลี่ยนแปลงตัวเลขและทำให้ตัวเลขหนักใจในอันดับเริ่มต้นจากครั้งแรก เป็นไปไม่ได้ที่จะเห็นคนเดียวในระดับ "ยืม" ความเหงาจากตำแหน่งที่ใหญ่กว่าและเราสามารถสร้างมันขึ้นมาใหม่จากความเหงาของตำแหน่งที่ถูกต้องของศาล

ใช้การแปลตัวเลขจากระบบตัวเลขต่างๆ

ก้น #1
โอนเลข 12 จากหลักสิบ เป็นระบบเลขสองตัว
สารละลาย

มาโอนหมายเลข 12 10 ไปที่ระบบ 2-ichnu ของตัวเลขกันสำหรับการแบ่งย่อยต่อเนื่องเป็น 2 ท่าเทียบเรือจะไม่เท่ากับศูนย์อย่างเป็นส่วนตัวมากขึ้น เป็นผลให้จำนวนที่เหลือจะถูกลบออกจากการเขียนลงมือขวา

ก้น #2
โอนเลข 12.3 จากหลักสิบ เป็นระบบเลขสองตัว

12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2

มาย้ายส่วนจำนวนเต็มของวันที่ 12 ของ 12.3 10 ไปที่ระบบเลข 2-ichnu สำหรับส่วนย่อยที่ต่อเนื่องกันเพิ่มเติมเป็น 2 ท่าเทียบเรือจะไม่เท่ากับศูนย์ เป็นผลให้จำนวนที่เหลือจะถูกลบออกจากการเขียนลงมือขวา

เราโอนเศษส่วน 0.3 ของหมายเลข 12.3 10 ไปยังระบบ 2-ichnu ของตัวเลขสำหรับการคูณต่อเนื่องเพิ่มเติมด้วย 2, doti จนกว่าเศษส่วนของการสร้างจะไม่เห็นศูนย์ มิฉะนั้นจำนวนสัญญาณที่จำเป็นหลังจาก Komi จะเข้าไม่ถึง เนื่องจากการคูณส่วนจำนวนเต็มไม่เท่ากับศูนย์ จึงจำเป็นต้องแทนที่ค่าของส่วนจำนวนเต็มด้วยศูนย์ เป็นผลให้จำนวนของการสร้างสรรค์ทั้งหมดจะถูกลบออกเขียนชั่วร้ายไปทางขวา

ก้น #3
โอนเลข 10011 จากสองระบบไประบบเลขสิบ
สารละลาย

เราโอนหมายเลข 10011 2 ไปยังระบบหมายเลขสิบซึ่งเราเขียนตำแหน่งของหมายเลขสกินเป็นหมายเลขที่ถูกต้องโดยเริ่มจากศูนย์

ตำแหน่งสกินของตัวเลขจะเป็นขั้นของเลข 2 แต่ระบบตัวเลขคือ 2-a จำเป็นต้องคูณหมายเลขสกิน 10011 2 ตามลำดับด้วย 2 ขั้นตอนของตำแหน่งที่สองของตัวเลข จากนั้นจึงเพิ่มขั้นตอนต่อไปของตำแหน่งที่สองด้วยการเพิ่มขั้นต่อไปของขั้นตอนของตำแหน่งที่สอง

10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10

ก้น #4
โอนเลข11.101จากสองระบบไประบบเลขสิบ

11.101 2 = 3.625 10

เราแปลหมายเลข 11.101 2 จากระบบตัวเลขที่สิบซึ่งเราเขียนตำแหน่งของหมายเลขสกินในตัวเลข

ตำแหน่งสกินของตัวเลขจะเป็นขั้นของเลข 2 แต่ระบบตัวเลขคือ 2-a จำเป็นต้องคูณหมายเลขสกิน 11.101 2 ด้วย 2 ขั้นตอนของตำแหน่งที่สองของตัวเลขตามลำดับจากนั้นเพิ่มขั้นตอนของตำแหน่งที่สองด้วยการเพิ่มขั้นตอนถัดไปของตำแหน่งที่สอง

11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10

ก้น #5
โอนเลข 1583 จากระบบที่สิบไประบบเลขสิบหก

1583 10 = 62F 16

มาโอนหมายเลข 1583 10 ไปที่ระบบหมายเลข 16 กันเถอะ สำหรับการแบ่งย่อยเพิ่มเติมเป็น 16 ท่าเทียบเรือจะไม่เป็นส่วนตัวมากขึ้นเท่ากับศูนย์ เป็นผลให้จำนวนที่เหลือจะถูกลบออกจากการเขียนลงมือขวา

ก้น #6
โอนเลข 1583.56 จากระบบที่สิบไประบบเลขสิบหก

1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16

มาโอนเลขจำนวนเต็ม 1583 ของตัวเลข 1583.56 10 ไปที่ระบบตัวเลข 16 หลักกัน สำหรับการแบ่งย่อยเพิ่มเติมที่ต่อเนื่องกันเป็น 16 ท่าเทียบเรือจะไม่เท่ากับศูนย์ เป็นผลให้จำนวนที่เหลือจะถูกลบออกจากการเขียนลงมือขวา

ลองย้ายเศษส่วน 0.56 ของจำนวน 1583.56 10 ไปยังระบบตัวเลข 16 อันสำหรับการคูณแบบต่อเนื่องเพิ่มเติมด้วย 16, doti จนกว่าคุณจะเห็นศูนย์ในส่วนที่เป็นเศษส่วนของการสร้าง มิฉะนั้น จำนวนสัญญาณที่จำเป็นหลังจาก โคมิจะเข้าไม่ถึง เนื่องจากการคูณส่วนจำนวนเต็มไม่เท่ากับศูนย์ จึงจำเป็นต้องแทนที่ค่าของส่วนจำนวนเต็มด้วยศูนย์ เป็นผลให้จำนวนของการสร้างสรรค์ทั้งหมดจะถูกลบออกเขียนชั่วร้ายไปทางขวา

ก้น #7
การโอนหมายเลข A12DCF จากระบบที่สิบหกไปยังระบบหมายเลขที่สิบ

A12DCF 16 = 10563023 10

เราโอนหมายเลข A12DCF 16 ไปยังระบบตัวเลขที่สิบซึ่งเราเขียนตำแหน่งของตัวเลขผิวเป็นตัวเลขที่ถูกต้องโดยเริ่มจากศูนย์

ตำแหน่งสกินของตัวเลขจะเป็นขั้นของเลข 16 แต่ระบบจะเป็นเลข 16 จำเป็นต้องคูณหมายเลขสกิน A12DCF 16 ตามลำดับด้วยขั้นตอนที่ 16 ของตำแหน่งที่สองของตัวเลข จากนั้นจึงเพิ่มขั้นตอนถัดไปของตำแหน่งที่สองด้วยการเพิ่มถัดไปของขั้นตอนถัดไปของตำแหน่งที่สอง
2

A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 ⋅ 1

1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10

มาโอนหมายเลข 675 10 ไปที่ระบบหมายเลข 16 เพื่อความช่วยเหลือของการหารต่อเนื่องด้วย 16 ท่าเทียบเรือจะไม่เป็นส่วนตัวมากขึ้นเท่ากับศูนย์ เป็นผลให้จำนวนที่เหลือจะถูกลบออกจากการเขียนลงมือขวา